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文档简介
湖南省衡阳市正源学校2023年高三数学试题模拟考试试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知过点且与曲线相切的直线的条数有().A.0 B.1 C.2 D.32.已知函数,当时,的取值范围为,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.3.已知定义在上的函数在区间上单调递增,且的图象关于对称,若实数满足,则的取值范围是()A. B. C. D.4.已知向量,且,则等于()A.4 B.3 C.2 D.15.设全集,集合,,则()A. B. C. D.6.在中,为中点,且,若,则()A. B. C. D.7.将函数的图象向左平移个单位长度,得到的函数为偶函数,则的值为()A. B. C. D.8.抛掷一枚质地均匀的硬币,每次正反面出现的概率相同,连续抛掷5次,至少连续出现3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.9.党的十九大报告明确提出:在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享,进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响,在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验,根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图,最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是()A. B.C. D.10.已知中内角所对应的边依次为,若,则的面积为()A. B. C. D.11.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座,每艺安排一节,连排六节,则满足“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须分开安排的概率为()A. B. C. D.12.在函数:①;②;③;④中,最小正周期为的所有函数为()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知x,y>0,且,则x+y的最小值为_____.14.对于任意的正数,不等式恒成立,则的最大值为_____.15.数据的标准差为_____.16.已知等差数列的前项和为,且,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某网络商城在年月日开展“庆元旦”活动,当天各店铺销售额破十亿,为了提高各店铺销售的积极性,采用摇号抽奖的方式,抽取了家店铺进行红包奖励.如图是抽取的家店铺元旦当天的销售额(单位:千元)的频率分布直方图.(1)求抽取的这家店铺,元旦当天销售额的平均值;(2)估计抽取的家店铺中元旦当天销售额不低于元的有多少家;(3)为了了解抽取的各店铺的销售方案,销售额在和的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究,求抽取的店铺销售额在中的个数的分布列和数学期望.18.(12分)已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)已知在处的切线与轴垂直,若方程有三个实数解、、(),求证:.19.(12分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=2,点P在棱DF上.(1)若P是DF的中点,求异面直线BE与CP所成角的余弦值;(2)若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为,求PF的长度.20.(12分)已知函数.(Ⅰ)求函数的极值;(Ⅱ)若,且,求证:.21.(12分)这次新冠肺炎疫情,是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难,但从来没有被压垮过,而是愈挫愈勇,不断在磨难中成长,从磨难中奋起.在这次疫情中,全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智.某校高三学生也展开了对这次疫情的研究,一名同学在数据统计中发现,从2020年2月1日至2月7日期间,日期和全国累计报告确诊病例数量(单位:万人)之间的关系如下表:日期1234567全国累计报告确诊病例数量(万人)1.41.72.02.42.83.13.5(1)根据表中的数据,运用相关系数进行分析说明,是否可以用线性回归模型拟合与的关系?(2)求出关于的线性回归方程(系数精确到0.01).并预测2月10日全国累计报告确诊病例数.参考数据:,,,.参考公式:相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.22.(10分)已知函数,(其中,).(1)求函数的最小值.(2)若,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
设切点为,则,由于直线经过点,可得切线的斜率,再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率,建立关于的方程,从而可求方程.【详解】若直线与曲线切于点,则,又∵,∴,∴,解得,,∴过点与曲线相切的直线方程为或,故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,求解曲线的切线的方程,其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.2.C【解析】
求导分析函数在时的单调性、极值,可得时,满足题意,再在时,求解的x的范围,综合可得结果.【详解】当时,,令,则;,则,∴函数在单调递增,在单调递减.∴函数在处取得极大值为,∴时,的取值范围为,∴又当时,令,则,即,∴综上所述,的取值范围为.故选C.【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法,考查了分段函数的性质,属于难题.3.C【解析】
根据题意,由函数的图象变换分析可得函数为偶函数,又由函数在区间上单调递增,分析可得,解可得的取值范围,即可得答案.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象,由于函数的图象关于直线对称,则函数的图象关于轴对称,即函数为偶函数,由,得,函数在区间上单调递增,则,得,解得.因此,实数的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式,注意分析函数的奇偶性,属于中等题.4.D【解析】
由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】因为,且,,则.故选:.【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.5.D【解析】
求解不等式,得到集合A,B,利用交集、补集运算即得解【详解】由于故集合或故集合故选:D【点睛】本题考查了集合的交集和补集混合运算,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于中档题.6.B【解析】
选取向量,为基底,由向量线性运算,求出,即可求得结果.【详解】,,,,,.故选:B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,平面向量基本定理,属于基础题.7.D【解析】
利用三角函数的图象变换求得函数的解析式,再根据三角函数的性质,即可求解,得到答案.【详解】将将函数的图象向左平移个单位长度,可得函数又由函数为偶函数,所以,解得,因为,当时,,故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换,以及三角函数的性质的应用,其中解答中熟记三角函数的图象变换,合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.8.A【解析】
首先求出样本空间样本点为个,再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数,再求出重复数量,可得事件的样本点数,根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】样本空间样本点为个,具体分析如下:记正面向上为1,反面向上为0,三个正面向上为连续的3个“1”,有以下3种位置1____,__1__,____1.剩下2个空位可是0或1,这三种排列的所有可能分别都是,但合并计算时会有重复,重复数量为,事件的样本点数为:个.故不同的样本点数为8个,.故选:A【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理,古典概型的概率计算公式,属于基础题9.D【解析】根据四个列联表中的等高条形图可知,图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大,它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果,故选D.10.A【解析】
由余弦定理可得,结合可得a,b,再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理,得,由,解得,所以,.故选:A.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.11.C【解析】
分情况讨论,由间接法得到“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须分开的事件个数,不考虑限制因素,总数有种,进而得到结果.【详解】当“数”位于第一位时,礼和乐相邻有4种情况,礼和乐顺序有2种,其它剩下的有种情况,由间接法得到满足条件的情况有当“数”在第二位时,礼和乐相邻有3种情况,礼和乐顺序有2种,其它剩下的有种,由间接法得到满足条件的情况有共有:种情况,不考虑限制因素,总数有种,故满足条件的事件的概率为:故答案为:C.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则:①按元素(或位置)的性质进行分类;②按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).12.A【解析】逐一考查所给的函数:,该函数为偶函数,周期;将函数图象x轴下方的图象向上翻折即可得到的图象,该函数的周期为;函数的最小正周期为;函数的最小正周期为;综上可得最小正周期为的所有函数为①②③.本题选择A选项.点睛:求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数的式子,否则很容易出现错误.一般地,经过恒等变形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1【解析】
处理变形x+y=x()+y结合均值不等式求解最值.【详解】x,y>0,且,则x+y=x()+y1,当且仅当时取等号,此时x=4,y=2,取得最小值1.故答案为:1【点睛】此题考查利用均值不等式求解最值,关键在于熟练掌握均值不等式的适用条件,注意考虑等号成立的条件.14.【解析】
根据均为正数,等价于恒成立,令,转化为恒成立,利用基本不等式求解最值.【详解】由题均为正数,不等式恒成立,等价于恒成立,令则,当且仅当即时取得等号,故的最大值为.故答案为:【点睛】此题考查不等式恒成立求参数的取值范围,关键在于合理进行等价变形,此题可以构造二次函数求解,也可利用基本不等式求解.15.【解析】
先计算平均数再求解方差与标准差即可.【详解】解:样本的平均数,这组数据的方差是标准差,故答案为:【点睛】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题.16.【解析】
根据等差数列的性质求得,结合等差数列前项和公式求得的值.【详解】因为为等差数列,所以,解得,所以.故答案为:【点睛】本小题考查等差数列的性质,前项和公式的应用等基础知识;考查运算求解能力,应用意识.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)元;(2)32家;(3)分布列见解析;【解析】
(1)根据频率分布直方图求出各组频率,再由平均数公式,即可求解;(2)求出的频率即可;(3)中的个数的所有可能取值为,,,求出可能值的概率,得到分布列,由期望公式即可求解.【详解】(1)频率分布直方图销售额的平均值为千元,所以销售额的平均值为元;(2)不低于元的有家(3)销售额在的店铺有家,销售额在的店铺有家.选取两家,设销售额在的有家.则的所有可能取值为,,.,,所以的分布列为数学期望【点睛】本题考查应用频率分布直方图求平均数和频数,考查离散型随机变量的分布列和期望,属于基础题.18.(1)①当时,在单调递增,②当时,单调递增区间为,,单调递减区间为(2)证明见解析【解析】
(1)先求解导函数,然后对参数分类讨论,分析出每种情况下函数的单调性即可;(2)根据条件先求解出的值,然后构造函数分析出之间的关系,再构造函数分析出之间的关系,由此证明出.【详解】(1),①当时,恒成立,则在单调递增②当时,令得,解得,又,∴∴当时,,单调递增;当时,,单调递减;当时,,单调递增.(2)依题意得,,则由(1)得,在单调递增,在上单调递减,在上单调递增∴若方程有三个实数解,则法一:双偏移法设,则∴在上单调递增,∴,∴,即∵,∴,其中,∵在上单调递减,∴,即设,∴在上单调递增,∴,∴,即∵,∴,其中,∵在上单调递增,∴,即∴.法二:直接证明法∵,,在上单调递增,∴要证,即证设,则∴在上单调递减,在上单调递增∴,∴,即(注意:若没有证明,扣3分)关于的证明:(1)且时,(需要证明),其中∴∴∴(2)∵,∴∴,即∵,,∴,则∴【点睛】本题考查函数与倒导数的综合应用,难度较难.(1)对于含参函数单调性的分析,可通过分析参数的临界值,由此分类讨论函数单调性;(2)利用导数证明不等式常用方法:构造函数,利用新函数的单调性确定函数的最值,从而达到证明不等式的目的.19.(1).(2).【解析】
(1)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AF为z轴,建立空间直角坐标系,则(﹣1,0,2),(﹣2,﹣1,1),计算夹角得到答案.(2)设,0≤λ≤1,计算P(0,2λ,2﹣2λ),计算平面APC的法向量(1,﹣1,),平面ADF的法向量(1,0,0),根据夹角公式计算得到答案.【详解】(1)∵BAF=90°,∴AF⊥AB,又∵平面ABEF⊥平面ABCD,且平面ABEF∩平面ABCD=AB,∴AF⊥平面ABCD,又四边形ABCD为矩形,∴以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AF为z轴,建立空间直角坐标系,∵AD=2,AB=AF=2EF=2,P是DF的中点,∴B(2,0,0),E(1,0,2),C(2,2,0),P(0,1,1),(﹣1,0,2),(﹣2,﹣1,1),设异面直线BE与CP所成角的平面角为θ,则cosθ,∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为.(2)A(0,0,0),C(2,2,0),F(0,0,2),D(0,2,0),设P(a,b,c),,0≤λ≤1,即(a,b,c﹣2)=λ(0,2,﹣2),解得a=0,b=2λ,c=2﹣2λ,∴P(0,2λ,2﹣2λ),(0,2λ,2﹣2λ),(2,2,0),设平面APC的法向量(x,y,z),则,取x=1,得(1,﹣1,),平面ADP的法向量(1,0,0),∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值为,∴|cos|,解得,∴P(0,,),∴PF的长度|PF|.【点睛】本题考查了异面直线夹角,根据二面角求长度,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.(Ⅰ)极大值为:,无极小值;(Ⅱ)见解析.【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可求出函数的极值;(Ⅱ)得到,根据函数的单调性问题转化为证明,即证,令,根据函数的单调性证明即可.【详解】(Ⅰ)的定义域为且令,得;令,得在上单调递增,在上单调递减函数的极大
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