第八章　§8.1　直线的方程2025高考

§8.1直线的方程章节副标题011.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式).课标要求第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型课时精练内容索引落实主干知识章节副标题021.直线的方向向量设A，B为直线上的两点，则

就是这条直线的方向向量.2.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，

与直线l_____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为

.x轴正向向上0°≤α<180°3.直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的

叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝

.(α≠90°)(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝

.正切值tanα名称方程适用范围点斜式_______________不含直线x＝x0斜截式_________不含垂直于x轴的直线两点式____________________________不含直线x＝x1和直线y＝y1y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b4.直线方程的五种形式名称方程适用范围截距式_________不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式________________________平面直角坐标系内的直线都适用Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)1.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.3.斜率为k的直线的一个方向向量为(1，k).1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角.(

)(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大.(

)(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tanα.(

)(4)经过P0(x0，y0)的任意直线方程可表示为y－y0＝k(x－x0).(

)√×××2.(选择性必修第一册P55T4改编)已知点A(2,0)，B(3，

)，则直线AB的倾斜角为A.30°

B.60°

C.120°

D.150°√∵0°≤α<180°，∴α＝60°.3x－2y＝0或x＋y－5＝0当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.所以直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.3.(选择性必修第一册P67T7)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_______________________.4.(选择性必修第一册P80T16改编)直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为__________.返回(1，－1)直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化为m(y＋1)＋y＋x＝0，探究核心题型章节副标题03例1

(1)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，

)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是√题型一直线的倾斜角与斜率本例(1)条件不变，则直线l的倾斜角的取值范围是_________.√设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π)，√(2)(2024·广州模拟)在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为

，则边AC所在直线斜率的一个可能值为_____________.设直线AB的倾斜角为α，设直线AC的倾斜角为θ，则kAC＝tanθ，因为在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，所以θ＝α±60°，当θ＝α＋60°时，tanθ＝tan(α＋60°)当θ＝α－60°时，tanθ＝tan(α－60°)例2

求符合下列条件的直线方程：题型二求直线的方程(3)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍.当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，又直线过点(2,1)，当横截距与纵截距都不为0时，综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式.(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数.跟踪训练2

(1)过点P(1,4)在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有A.1条

B.2条C.3条

D.4条√当截距为0时，设直线方程为y＝kx，将P(1,4)代入y＝kx，求得k＝4，故方程为y＝4x；当截距不为0时，故方程为x＋y＝5.故方程为x－y＋3＝0.一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条.(2)在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则∠BAC的角平分线所在直线l的方程是A.2x－y＋1＝0 B.2x－y－1＝0C.2x－3y－2＝0 D.3x－y－1＝0√如图所示，设∠BAC的角平分线所在直线l与横轴的交点为D(a,0)，例3

已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.题型三直线方程的综合应用方法一设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，因为直线l过点M(2,1)，即x＋2y－4＝0.1.在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.即k＝－1时等号成立.此时直线l的方程为x＋y－3＝0.2.在本例条件下，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程.直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决.(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决.跟踪训练3

(1)(2023·贵州联考)若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为√因为l经过第四象限，√由kx－y＋2k－2＝0，得y＝k(x＋2)－2.∴直线kx－y＋2k－2＝0恒过定点(－2，－2)，即A(－2，－2)，∵点A在直线mx＋ny＋2＝0上，∴m＋n＝1，返回课时精练章节副标题04一、单项选择题1.(2023·阜阳模拟)在x轴与y轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为A.45°

B.135°

C.90°

D.180°√由题意知直线过点(－2,0)，(0,2)，设直线斜率为k，倾斜角为α，123456789101112131415162.已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c不过A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√1234567891011121314151612345678910111213141516√3.已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为12345678910111213141516因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，12345678910111213141516√12345678910111213141516∴其倾斜角为60°，∴直线l的倾斜角为120°，5.(2023·南通联考)已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4,3)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为A.4x－3y＋1＝0 B.3x－4y－1＝0C.4x＋3y＋1＝0 D.3x＋4y－1＝0√因为直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4,3)，所以4a1＋3b1＋1＝0,4a2＋3b2＋1＝0.由上式可得点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)都在直线4x＋3y＋1＝0上，即过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为4x＋3y＋1＝0.1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516二、多项选择题7.已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列判断正确的是A.若ab>0，则直线l的斜率小于0B.若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90°C.直线l可能经过坐标原点D.若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0°√12345678910111213141516√√12345678910111213141516将(0,0)代入ax＋by－2＝0中，显然不成立，故C错误；8.(2023·盐城模拟)下列说法正确的是A.直线的倾斜角越大，其斜率就越大B.倾斜角相等的两直线的斜率一定相等C.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－

y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，

回到原来的位置，则该直线l的斜率为√√1234567891011121314151612345678910111213141516对于C，当x1＝x2时，经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为x＝x1，此时适合(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)；当y1＝y2时，经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为y＝y1，此时适合(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)；也即(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故C正确；对于D，设直线l为y＝kx＋b，由题意得y＝k(x＋3)＋b＋2＝kx＋3k＋b＋2，则3k＋b＋2＝b，即k＝

，故D正确.12345678910111213141516三、填空题9.已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为__________.1234567891011121314151610.过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为______________________.1234567891011121314151612345678910111213141516过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数，当截距不为0时，设所求直线方程为x－y＝a，代入M的坐标，可得a＝－3－5＝－8，即直线方程为x－y＋8＝0.1234567891011121314151611.已知点A(2,4)，B(4,2)，直线l：y＝kx－2，则直线l经过定点________，若直线l与线段AB有公共点，则k的取值范围是_______.(0，－2)[1,3]12345678910111213141516要使直线l与线段AB有公共点，由图可知k∈[1,3].12.若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________.1234567891011121314151616123456789101112131415又因为C(－2，－2)在该直线上，又因为ab>0，故a<0，b<0.故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16.16四、解答题13.根据所给条件求直线方程.(1)直线过点A(1,2)，倾斜角α的正弦值为

；即3x－4y＋5＝0或3x＋4y－11＝0.12345678910111213141516依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，解得m＝2或m＝4，即所求直线方程为3x＋y－6＝0或x＋y－4＝0.12345678910111213141516(2)直线过点A(1,3)，且在两坐标轴上的截距之和为8；12345678910111213141516(3)直线过点A(2,4)，B(－2,8).则所求直线方程为y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0.14.已知直线l：x－ky＋2＋k＝0(k∈R).(1)若直线l不经过第一象限，求k的取值范围；12345678910111213141516当k＝0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为x＝－2，不经过第一象限；要使直线不经过第一象限，综上，k的取值范围为[－2,0].1234567891011121314151612345678910111213141516(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程.123456789101112131415由题意可得k>0，由x－ky＋2＋k＝0，令y＝0，得x＝－2－k