第七章　§7.6　空间向量的概念与运算2025高考

§7.6空间向量的概念与运算第七章汇报人：20XX1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.课标要求内容索引01第一部分

落实主干知识02第二部分

探究核心题型03课时精练落实主干知识单击此处添加章节页副标题01名称定义空间向量在空间中，具有

和

的量相等向量方向

且模

的向量相反向量长度

而方向

的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相

或

的向量共面向量平行于

的向量大小方向相同相等相等相反平行重合同一个平面1.空间向量的有关概念2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使

.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在

的有序实数对(x，y)，使p＝

.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝

.{a，b，c}叫做空间的一个基底.a＝λb唯一xa＋ybxa＋yb＋zc3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝

.|a||b|cos〈a，b〉(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示坐标表示数量积a·b_______________共线a＝λb(b≠0，λ∈R)________________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)__________________a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

向量表示坐标表示模|a|____________夹角余弦值cos〈a，b〉＝______________________4.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量.(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝01.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.(

)(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(

)(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(

)√×√×√3.(选择性必修第一册P30例3改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝

，则MN与平面BB1C1C的位置关系是A.相交

B.平行C.垂直

D.不能确定√以C1B1，C1D1，C1C所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.所以MN∥平面BB1C1C.4.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝______.10∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.返回探究核心题型单击此处添加章节页副标题02例1

(1)(2023·淮安模拟)设x，y是实数，已知三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y等于A.2

B.3

C.4

D.5√题型一空间向量的线性运算因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ，√用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立.跟踪训练1

(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝

－2a，则x等于A.(0,3，－6) B.(0,6，－20)C.(0,6，－6) D.(6,6，－6)√由b＝

－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20).(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.例2

(1)下列命题正确的是A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B.向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C.若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0D.若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc√题型二空间向量基本定理及其应用若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误；假设a，b，c至少有一个为0，则空间向量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；假设b＝0，若a，c共线，则存在无数个实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，若a，c不共线，则不存在实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，故D错误.(2)(多选)下列说法中正确的是A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件√√由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较√由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.√由空间向量的共面定理可知，点E，A，C，D1四点共面，即点E在平面ACD1上，由等体积法得

＝

，例3如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求线段AC1的长；题型三空间向量数量积及其应用则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1－4＝－2，设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，所以AA1⊥BD.(3)求证：AA1⊥BD.空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.√∵P－ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，0则夹角的余弦值为0.例4如图所示，在长方体ABCD

－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点.(1)求证：B1E⊥AD1；题型四向量法证明平行、垂直(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.存在满足要求的点P.假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z).所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素).(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.跟踪训练4如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC＝2AB，AC＝

，PB⊥AC.(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；在△ABC中，所以AC2＋AB2＝BC2，所以AC⊥AB，又AC⊥PB，PB∩AB＝B，且PB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB，又AC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求

的值；若不存在，说明理由.假设存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.取AB的中点为H，连接PH，则PH⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，设n1＝(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量，连接EF，因为AC∥平面BEQF，AC⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEQF＝EF，所以AC∥EF.设n2＝(x2，y2，z2)是平面BEQF的法向量，由平面BEQF⊥平面PAD知n1⊥n2，则n1·n2＝3λ＋3λ－4＝0，返回课时精练单击此处添加章节页副标题03一、单项选择题1.已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于A.－6

B.6

C.－4

D.4√若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，即3x－2－10＝0，解得x＝4.12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516由长方体的性质可知AD⊥AB，AD⊥BB1，AD∥BC，AD＝BC＝1，3.已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是12345678910111213141516√12345678910111213141516同理可排除C，D；4.如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝

，AC＝1，BD＝2，则CD的长为12345678910111213141516√123456789101112131415165.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D12345678910111213141516√在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1，所以EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确；12345678910111213141516如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则D(0,0,0)，B1(2,2,2)，E(2,1,0)，F(1,2,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，12345678910111213141516设平面B1EF的法向量为m＝(x1，y1，z1)，同理可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1)，平面A1AC的一个法向量为n2＝(1,1,0)，平面A1C1D的一个法向量为n3＝(1,1，－1)，则m·n1＝2－2＋1＝1≠0，1234567891011121415161312345678910111213141516所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误；因为m与n2不平行，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误；因为m与n3不平行，所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误.6.已知梯形CEPD如图(1)所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图(2)所示的几何体.已知当点F满足

(0<λ<1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为√12345678910111213141516由题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0,4,0)，E(4,0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0,0,0)，B(4,0,0)，则(t,0,0)＝(4λ，0,0)，∴t＝4λ，∴F(4λ，0,0)，12345678910111213141516设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，取x＝1，得n＝(1，λ，2λ－2)，设平面PCE的法向量为m＝(a，b，c)，1234567891011121314151612345678910111213141516取a＝1，得m＝(1,1,2)，∵平面DEF⊥平面PCE，二、多项选择题7.下列关于空间向量的命题中，正确的有A.若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥bB.若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c12345678910111213141516D.若{a＋b，b＋c，c＋a}是空间的一个基底，则{a，b，c}也是空间的

一个基底√√√对于A，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a，b为共线向量，即a∥b，故A正确；对于B，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a与c不一定共线，故B错误；1234567891011121314151612345678910111213141516可得A，B，C，D四点共面，故C正确；对于D，若{a＋b，b＋c，c＋a}是空间的一个基底，则对空间中任意一个向量d，存在唯一实数组(x，y，z),使d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c，则{a，b，c}也是空间的一个基底，故D正确.8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为正方形A1B1C1D1的中心，E，F分别为AB，BB1的中点，下列结论正确的是A.C1D∥平面EFG12345678910111213141516D.A1C⊥平面EFG√√建立如图所示的空间直角坐标系，因为E是棱AB的中点，F是棱BB1的中点，G是正方形A1B1C1D1的中心，设正方体的棱长为1，设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，12345678910111213141516123456789101112131415令x＝1，∴n＝(1,2，－1)，∴C1D∥平面EFG，故A选项正确；1612345678910111213141516三、填空题9.已知向量a＝(1,1,0)，则与a同向共线的单位向量e＝_____________.12345678910111213141516因为向量a＝(1,1,0)，12345678910111213141516(－5，－2，6)12345678910111213141516设C(x，y，z)，故点C的坐标为(－5，－2,6).123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516如图，设BC的中点为E，连接AE，PE，PO，则O在AE上且AO＝2OE，1234567891011121314151612345678910111213141516由于S，M，N，O四点共面，四、解答题13.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点.求证：(1)PB∥平面EFH；∵E，H分别是线段PA，AB的中点，∴PB∥EH.∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH.123456789101112131415162345678910111213141516(2)PD⊥平面AHF.104建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，H(1,0,0).∴PD⊥AF，PD⊥AH.∵AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF，∴PD⊥平面AHF.1234567891011121314151612345678910111213141516(1)若O为AC的中点，求证：A1O⊥AO；因为O为AC的中点，12345678910111213141516所以A1O⊥AO.1234567891011121314151612345678910111213141516(2)若FP∥平面D1AE，求线段CP长度的最小值.12345678910111213141516连接A1D，A1B，连接BD，由正方形的性质可得B，O，D三点共线，O为BD的中点，所以A1O⊥BD，由(1)可知A1O⊥AO，AO，BD⊂平面ABCD，AO∩BD＝O，所以A1O⊥平面ABCD，以O为坐标原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，1234567891011121314151612345678910111213141516设平面D1AE的法向量为n＝(x，y，z)，令x＝3，则