2025年春北师版数学九年级下册导学案 3.7 切线长定理 导学案

第三章圆*3.7切线长定理学习目标：1．理解切线长的定义；(重点)2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．(难点)自主学习自主学习一、复习回顾1.直线和圆有哪些位置关系？2.如何判断直线和圆相切？(常用方法)合作探究合作探究要点探究知识点一：切线长的定义探究一：已知⊙O和⊙O外一点P，你能过点P画出⊙O的切线吗？这样的直线能画几条？知识点二：切线长定理合作探究如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点.(1)这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？(2)在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由.动手实践请证明你的猜想.已知：如图，PA，PB是☉O的两条切线，A，B为切点.求证：PA=PB.合作探究思考图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？如何验证我们的猜想是否正确？知识要点切线长定理合作探究如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，图中的线段之间有哪些等量关系？例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，求⊙O的半径.链接中考1.(西宁)如图，PA，PB与☉O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝()2.(天津)如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°.(1)求∠P的大小；(2)若AB=2.求PA的长(结果保留根号).二、课堂小结当堂检测当堂检测1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4，∠APB=40°，则∠APO=，PB=.2.如图，已知点O是△ABC的内心，且∠ABC=60°，∠ACB=80°，则∠BOC=.3.△ABC的内切圆☉O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3，BD+CE=12，则△ABC的周长是.(湖州)如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC=40°，求∠BOD的度数.参考答案一、创设情境，导入新知1.相离、相交、相切.2.(1)数量关系法(证明d=r)；(2)判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.小组合作，探究概念和性质知识点一：切线长的定义探究一：已知⊙O和⊙O外一点P，你能过点P画出⊙O的切线吗？这样的直线能画几条？知识点二：切线长定理合作探究(1)是轴对称图形，对称轴是直线OP.(2)证明：连接 OA、OB.∵PA，PB是☉O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°.在Rt△POA和Rt△POB中，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△POA≌Rt△POB.∴PA=PB.合作探究思考图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？猜想：∠APO=∠BPO合作探究结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.即AD＋BC＝AB＋CD.例1解：连接OD，OE，OF，则OD=OE=OF，设OD=r.在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，∵⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD=BE，AD=AF，CE=CF.又∵∠C=90°，∴四边形OECF为正方形.∴CE=CF=r.∴BE=24–r，AF=10–r.∴AB=BD+AD=BE+AF=34–2r.而AB=26，∴34–2r=26. ∴r=4，即⊙O的半径为4.链接中考1.B2.解：(1)PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB.∴∠BAP=90°.∵∠BAC=30°，∴∠CAP=90°-∠BAC=60°.又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA=PC.∴△PAC为等边三角形.∴∠P=60°.(2)如图，连接BC，则∠ACB=90°.在Rt△ACB中，AB=2，∠BAC=30°.∴