2025年春北师版数学九年级下册导学案 1.1 第1课时 正切与坡度 导学案

第一章直角三角形的边角关系1.1锐角的三角函数第1课时正切与坡度学习目标：1．理解正切的意义，并能举例说明；(重点)2．能够根据正切的概念进行简单的计算；(重点)3．能运用正切、坡度解决问题．(难点)合作探究合作探究思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？要点探究知识点一：正切的定义梯子是我们日常生活中常见的物体.从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度.从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度.梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角.问题1：在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？思考：如图，梯子AB和EF哪个更陡？问题2：在下图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？想一想如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？(3)如果改变B2在梯子上的位置.(如B3C3)呢？议一议在图中，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？典例精析例1下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？练一练1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则tanA=_____，tanB=_____．2.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.指出∠A和∠B的正切.知识点二：坡度、坡角正切通常也用来描述山坡的坡度.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角；坡度(坡比)：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，即坡度等于坡角的正切.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度(即tanα)就是：例2如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是()米.针对训练4.如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m，求山坡的坡度(结果精确到0.001m).二、课堂小结当堂检测当堂检测1.如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定2.完成下列填空：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，tanA=().(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，tanA=(),tanB=().(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，tanA=，AC=().3.在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求tanB.参考答案小组合作，探究概念和性质知识点一：正切的定义问题1倾斜角越大——梯子越陡思考：当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡问题2：当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.倾斜角越大，梯子越陡.想一想答案：（1）两个直角三角形相似（2）相等（3）相似三角形的对应边成比例典例精析例1练一练1.2.（1）BCAD（2）ACBD知识点