2024高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时作业13变化率与导数导数的计算文

PAGEPAGE1课时作业13改变率与导数、导数的计算[基础达标]一、选择题1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)解析：∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2∴f′(x)＝3(x2－a2)．答案：C2．[2024·济宁模拟]曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－1B．y＝－3x－1C．y＝3x＋1D．y＝－2x－1解析：由题意得y′＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e0＋2＝3，故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1.答案：A3．[2024·山西名校联考]若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝3cosxB．f(x)＝x3＋x2C．f(x)＝1＋2sinxD．f(x)＝ex＋x解析：A选项中，f′(x)＝－3sinx，其图象不关于y轴对称，解除A选项；B选项中，f′(x)＝3x2＋2x，其图象的对称轴为x＝－eq\f(1,3)，解除B选项；C选项中，f′(x)＝2cosx，其图象关于y轴对称；D选项中，f′(x)＝ex＋1，其图象不关于y轴对称，解除D选项．答案：C4．[2024·郑州市质量检测]曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1,3)B．(－1,3)C．(1,3)和(－1,3)D．(1，－3)解析：f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.答案：C5．[2024·合肥市高三第一次质量检测]已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是()A.eq\f(1,2)B．1C．2D．e解析：由题意知y′＝aex＋1＝2，则a>0，x＝－lna，代入曲线方程得y＝1－lna，所以切线方程为y－(1－lna)＝2(x＋lna)，即y＝2x＋lna＋1＝2x＋1⇒a＝1.答案：B6．[2024·福建福州八县联考]已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满意f(x)＝2xf′(1)＋lneq\f(1,x)，则f(1)＝()A．－eB．2C．－2D．e解析：由已知得f′(x)＝2f′(1)－eq\f(1,x)，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.答案：B7．[2024·湖南株洲模拟]设函数y＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处的切线斜率为g(t)，则函数y＝g(t)图象的一部分可以是()解析：由y＝xsinx＋cosx可得y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.则g(t)＝tcost，g(t)是奇函数，解除选项B，D；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，y>0，解除选项C.故选A.答案：A8．[2024·广州市高三调研考试]已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为()A．ln2B．1C．1－ln2D．1＋ln2解析：由y＝xlnx知y′＝lnx＋1，设切点为(x0，x0lnx0)，则切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，因为切线y＝kx－2过定点(0，－2)，所以－2－x0lnx0＝(lnx0＋1)(0－x0)，解得x0＝2，故k＝1＋ln2，故选D.答案：D9．[2024·广东深圳模拟]设函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)＋b，若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线经过坐标原点，则ab＝()A．1B．0C．－1D．－2解析：由题意可得，f(a)＝a＋eq\f(1,a)＋b，f′(x)＝1－eq\f(1,x2)，所以f′(a)＝1－eq\f(1,a2)，故切线方程是y－a－eq\f(1,a)－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a2)))(x－a)，将(0,0)代入得－a－eq\f(1,a)－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a2)))(－a)，故b＝－eq\f(2,a)，故ab＝－2，故选D.答案：D10．[2024·宝安，潮阳，桂城等八校第一次联考]已知函数f(x)＝x2的图象在点(x0，xeq\o\al(2,0))处的切线为l，若l也与函数y＝lnx，x∈(0,1)的图象相切，则x0必满意()A．0<x0<eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)<x0<1C.eq\f(\r(2),2)<x0<eq\r(2)D.eq\r(2)<x0<eq\r(3)解析：由题意，得f′(x)＝2x，所以f′(x0)＝2x0，f(x0)＝xeq\o\al(2,0)，所以切线l的方程为y＝2x0(x－x0)＋xeq\o\al(2,0)＝2x0x－xeq\o\al(2,0).因为l也与函数y＝lnx(0<x<1)的图象相切，设切点坐标为(x1，lnx1)，易知y′＝eq\f(1,x)，则切线l的方程为y＝eq\f(1,x1)x＋lnx1－1，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0＝\f(1,x1)，,1－lnx1＝x\o\al(2,0)，))又0<x1<1，所以x0>1，所以1＋ln2x0＝xeq\o\al(2,0)，x0∈(1，＋∞)．令g(x)＝x2－ln2x－1，x∈[1，＋∞)，则g′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝eq\f(2x2－1,x)>0，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－ln2<0，g(eq\r(2))＝1－ln2eq\r(2)<0，g(eq\r(3))＝2－ln2eq\r(3)>0，所以存在x0∈(eq\r(2)，eq\r(3))，使得g(x0)＝0，故eq\r(2)<x0<eq\r(3)，故选D.答案：D二、填空题11．已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________.解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3.答案：312．过点P(1,1)与函数y＝eq\f(1,x)相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为________．解析：∵y＝eq\f(1,x)，∴y′＝－eq\f(1,x2)，∴k＝－1，∴切线方程y－1＝－(x－1)．即x＋y－2＝0，∴与x轴交点为(2,0)，与y轴交点为(0,2)，∴S＝eq\f(1,2)×2×2＝2.答案：213．已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－eq\f(1,a)·ex图象的切线，则实数a＝________.解析：设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－eq\f(1,a)·ex0＝－1，∴ex0＝a，又－eq\f(1,a)·ex0＝－x0＋1，∴x0＝2，a＝e2.答案：e214．[2024·陕西省高三教学质量检测]已知函数f(x)＝2lnx和直线l：2x－y＋6＝0，若点P是函数f(x)图象上的一点，则点P到直线l的距离的最小值为________．解析：如图，在同一平面直角坐标系内分别作出函数f(x)的大致图象以及直线l，并平移直线l使之与函数f(x)的图象恰好相切于点Q，由图易知，当且仅当点P与点Q重合时，点P到直线l的距离最短．设点Q(x0，y0)，则由f′(x)＝eq\f(2,x)，可得f′(x0)＝eq\f(2,x0)＝2，解得x0＝1，所以y0＝f(x0)＝f(1)＝0，所以Q(1,0)，故点Q到直线l：2x－y＋6＝0的距离为eq\f(8,\r(5))，即eq\f(8\r(5),5).故点P到直线l的距离的最小值为eq\f(8\r(5),5).答案：eq\f(8\r(5),5)[实力挑战]15．[2024·安徽淮南模拟]已知函数f(x)＝x2－lnx.(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)在函数f(x)＝x2－lnx的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线相互垂直，且切点的横坐标都在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．解析：(1)由题意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－eq\f(1,x)，f′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.(2)假设存在两点满意题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，不妨设x1<x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x1－\f(1,x1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x2)))＝－1，又函数f′(x)＝2x－eq\f(1,x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递增，函数的值域为[－1,1]，故－1≤2x1－eq\f(1,x1)<2x2－eq\f(1,