新课标2024高考数学大一轮复习不等式选讲题组层级快练77绝对值不等式文含解析选修4-5

PAGEPAGE6题组层级快练(七十七)1．不等式x2－|x|－2<0(x∈R)的解集是()A．{x|－2<x<2} B．{x|x<－2或x>2}C．{x|－1<x<1} D．{x|x<－1或x>1}答案A解析方法一：当x≥0时，x2－x－2<0，解得－1<x<2，∴0≤x<2.当x<0时，x2＋x－2<0，解得－2<x<1，∴－2<x<0.故原不等式的解集为{x|－2<x<2}．方法二：原不等式可化为|x|2－|x|－2<0，解得－1<|x|<2.∵|x|≥0，∴0≤|x|<2，∴－2<x<2.∴原不等式的解集为{x|－2<x<2}．2．若a，b，c∈R，且满意|a－c|<b，给出下列结论①a＋b>c; ②b＋c>a；③a＋c>b; ④|a|＋|b|>|c|.其中错误的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案A解析eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－c>－b，,a－c<b，))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b>c，,b＋c>a，))∴①，②都正确，③不正确．又|a－c|＝|c－a|≥|c|－|a|，∴|c|－|a|<b＝|b|，∴|a|＋|b|>|c|.④正确．3．ab≥0是|a－b|＝|a|－|b|的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析当ab≥0，a<b时，|a－b|≠|a|－|b|，故条件不充分．当|a－b|＝|a|－|b|时，则ab≥0且|a|≥|b|.故条件必要．综上可知，ab≥0是|a－b|＝|a|－|b|的必要不充分条件．4．若2－m与|m|－3异号，则m的取值范围是()A．m>3 B．－3<m<3C．2<m<3 D．－3<m<2或m>3答案D解析方法一：2－m与|m|－3异号，所以(2－m)·(|m|－3)<0，所以(m－2)(|m|－3)>0.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥0，,（m－2）（m－3）>0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,（m－2）（－m－3）>0.))解得m>3或－3<m<2.方法二：由选项知，令m＝4符合题意，解除B，C两项，令m＝0符合题意，可解除A项．5．(2024·四川成都模拟)对随意实数x，若不等式|x＋2|＋|x＋1|>k恒成立，则实数k的取值范围是()A．k<1 B．k≥1C．k>1 D．k≤1答案A解析由题意得k<(|x＋2|＋|x＋1|)min，而|x＋2|＋|x＋1|≥|x＋2－(x＋1)|＝1，所以k<1，故选A.6．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对随意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1，2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案A解析∵|x＋3|－|x－1|≤|(x＋3)－(x－1)|＝4，∴a2－3a≥4恒成立．∴a∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)．7．(2024·甘肃白银一模)对随意的实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞)C．[－2，2] D．[0，＋∞)答案B解析当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，此时a∈R.当x≠0时，则有a≥eq\f(－1－|x|2,|x|)＝－(|x|＋eq\f(1,|x|))，设f(x)＝－(|x|＋eq\f(1,|x|))，则a≥f(x)max，由基本不等式得|x|＋eq\f(1,|x|)≥2(当且仅当|x|＝1时取等号)，则f(x)max＝－2，故a≥－2.故选B.8．(2024·重庆五区抽测)若函数f(x)＝eq\r(|x＋2|＋|x－m|－4)的定义域为R，则实数m的取值范围为________．答案(－∞，－6]∪[2，＋∞)解析依据题意，不等式|x＋2|＋|x－m|－4≥0恒成立，所以(|x＋2|＋|x－m|－4)min≥0.又|x＋2|＋|x－m|－4≥|m＋2|－4，所以|m＋2|－4≥0⇒m≤－6或m≥2.9．若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________．答案4或－6解析f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|＝|x＋1|＋|x－a|＋|x－a|≥|1＋a|＋|x－a|≥|1＋a|当且仅当x＝a时取等号，令|1＋a|＝5，得a＝4或－6.10．(2024·江西九江一模)已知函数f(x)＝|x－3|－|x－a|.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≤－eq\f(1,2)；(2)若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，求实数a的取值范围．答案(1){x|x≥eq\f(11,4)}(2)(－∞，eq\f(3,2)]解析(1)当a＝2时，f(x)＝|x－3|－|x－2|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≤2，,5－2x，2<x<3，,－1，x≥3，))f(x)≤－eq\f(1,2)等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤2，,1≤－\f(1,2)，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2<x<3，,5－2x≤－\f(1,2)，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥3，,－1≤－\f(1,2)，))解得eq\f(11,4)≤x<3，或x≥3，所以原不等式的解集为{x|x≥eq\f(11,4)}．(2)由不等式的性质可知f(x)＝|x－3|－|x－a|≤|(x－3)－(x－a)|＝|a－3|.所以若存在实数x，使得f(x)≥a成立，则|a－3|≥a，解得a≤eq\f(3,2)，故实数a的取值范围是(－∞，eq\f(3,2)]．11．(2024·河南郑州质量预料)设函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a<4)．(1)若f(x)的最小值为3，求a的值；(2)求不等式f(x)≥3－x的解集．答案(1)1(2)R解析(1)因为|x－4|＋|x－a|≥|(x－4)－(x－a)|＝|a－4|，又a<4，所以当且仅当a≤x≤4时等号成立．故|a－4|＝3，所以a＝1为所求．(2)不等式f(x)≥3－x即不等式|x－4|＋|x－a|≥3－x(a<4)，①当x<a时，原不等式可化为4－x＋a－x≥3－x，即x≤a＋1.所以，当x<a时，原不等式成立．②当a≤x≤4时，原不等式可化为4－x＋x－a≥3－x.即x≥a－1.所以，当a≤x≤4时，原不等式成立．③当x>4时，原不等式可化为x－4＋x－a≥3－x，即x≥eq\f(a＋7,3)，由于a<4时，4>eq\f(a＋7,3).所以，当x>4时，原不等式成立．综合①②③可知：不等式f(x)≥3－x的解集为R.12．(2024·福州市联考试卷)已知f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，a∈R)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．答案(1){x|x≤－4或x≥2}(2)(－2，2)解析(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|＋x－5＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－4，x<\f(1,2)，,3x－6，x≥\f(1,2)，))由f(x)≥0，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)，,－x－4≥0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)，,3x－6≥0，))解得x≤－4或x≥2，故不等式f(x)≥0的解集为{x|x≤－4或x≥2}．(2)令f(x)＝0，得|2x－1|＝－ax＋5，则函数f(x)恰有两个不同的零点转化为y＝|2x－1|与y＝－ax＋5的图像有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图像如图所示，结合图像知当－2<a<2时，这两个函数的图像有两个不同的交点，所以当－2<a<2时，函数f(x)恰有两个不同的零点，故实数a的取值范围为(－2，2)．13．(2024·武汉调研)已知函数f(x)＝x2＋2，g(x)＝|x－a|－|x－1|，a∈R.(1)若a＝4，求不等式f(x)>g(x)的解集；(2)若对随意x1，x2∈R，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．思路(1)利用零点分段法解含有肯定值的不等式；(2)问题等价于f(x)min≥g(x)max，利用肯定值不等式可以得到g(x)max，从而得出实数a的取值范围．答案(1){x|x<－1或x>1}(2)[－1，3]解析(1)当a＝4时，不等式f(x)>g(x)化为x2＋2>|x－4|－|x－1|，g(x)＝|x－4|－|x－1|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3，x≥4，,－2x＋5，1<x<4，,3，x≤1.))①当x≥4时，x2＋2>－3恒成立，所以x≥4.②当1<x<4时，x2＋2>－2x＋5，即x2＋2x－3>0，得x>1或x<－3，所以1<x<4.③当x≤1时，x2＋2>3，则x>1或x<－1，所以x<－1.由①②③可知不等式f(x)>g(x)的解集为{x|x<－1或x>1}．(2)当a≥1时，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a，x≥a，,a＋1－2x，1<x<a，,a－1，x≤1，))所以g(x)的最大值为a－1.要使f(x1)≥g(x2)，只需2≥a－1，则a≤3，所以1≤a≤3.当a<1时，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＋1，x≥1，,2x－a－1，a<x<1，,a－1，x≤a，))所以g(x)的最大值为1－a.要使f(x1)≥g(x2)，只需2≥1－a，则a≥－1，所以－1≤a<1.综上，实数a的取值范围是[－1，3]．14．(2024·课标全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．答案(1){x|－1≤x≤3}(2)[2，＋∞)解析(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．15．(2024·课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．答案(1){x|