2024年高考数学二轮复习解题思维提升专题11立体几何小题部分训练手册VIP

PAGEPAGE1专题11立体几何小题部分【训练目标】驾驭三视图与直观图之间的互换，会求常见几何体的体积和表面积；驾驭空间点线面的位置关系，以及位置关系的判定定理和性质定理；并能依此推断命题的真假；驾驭空间角即异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的求法；驾驭等体积法求点面距；驾驭几何体体积的几种求法；驾驭利用空间向量解决立体几何问题。驾驭常见几何体的外接球问题。【温馨小提示】立体几何素来都是高考的一个中点，小题，大题都有，一般在17分到22分之间，对于大多数人来说，立体几何就是送分题，因为只要有良好的空间感，熟记那些判定定理和性质定理，然后娴熟空间角和距离的求法，特殊是驾驭了空间向量的方法，更觉得拿分轻松。【名校试题荟萃】1、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（

）A.B.C.D.【答案】A2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)A.B.C.D.【答案】A3、如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（

）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意得，该多面体为如下几何体，其中BD,ED,CD两两相互垂直，最长的棱长为，故选C．4、如图，在棱长为的正方体中，给出以下结论：①直线与所成的角为；②若是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是；③若是线段上的动点，且，则四面体的体积恒为.其中，正确结论的个数是(

)A.个B.个C.个D.个【答案】D③连接，设到平面的距离为，则，到直线的距离为，则四面体的体积，正确．∴正确的命题是①②③．5、一个直棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为(

)A.B.C.D.【答案】A6、某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（

）A.B.C.D.【答案】A7、一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（

）A.1B.2C.3D.4【答案】B8、如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如图所示，还原几何体的直观图是棱长为3的正方体中的四棱锥，因此该几何体的外接球的半径，该几何体的外接球的表面积为，选C.9、《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓，高丈尺，容纳米斛（丈=尺，斛为容积单位，斛≈立方尺，），则圆柱底面周长约为（

）A.丈尺B.丈尺C.丈尺D.丈尺【答案】B10、已知四面体的四个顶点都在球的球面上，若平面，，且，，则球的表面积为（

）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵平面，，在四面体的基础上构造长方体如图，可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，长方体的对角线就是外接球的直径，即，∴，∴球的表面积。11、如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B12、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形是矩形，棱，，，和都是边长为的等边三角形，则这个几何体的体积是()A.B.C.D.【答案】C13、如图，正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线和所成角的大小是（

）A.B.C.D.【答案】D【解析】补一个相同的正三棱柱，如图所示，把正三棱柱补成直四棱柱，设棱长为，取中点，则，所以为异面直线和所成的角，在中，,在中，由余弦定理得：，所以。14、在四棱锥中，底面是菱形，底面，是棱上一点．若，则当的面积为最小值时，直线与平面所成的角为（

）A.B.C.D.【答案】B15、已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,，，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（

）A.B.C.D.【答案】A16、如图，在棱长为的正方体中，给出以下结论：①直线与所成的角为；②若是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是；③若是线段上的动点，且，则四面体的体积恒为.其中，正确结论的个数是(

)A.个B.个C.个D.个【答案】D【解析】①中，每条边都是，即为等边三角形，∴与所成角为，又，∴直线与所成的角为，正确；②由正方体可得平面平面，当点位于上，且使平面时，直线与平面所成角的正弦值最大为，当与重合时，连接交平面所得斜线最长，直线与平面所成角的正弦值最小等于，∴直线与平面所成角的正弦值的取值范围是，正确；③连接，设到平面的距离为，则，到直线的距离为，则四面体的体积为，正确．∴正确的命题是①②③．17、如图，在矩形中，，，点为的中点，现分别沿将翻折，使得点重合于，此时二面角的余弦值为（

）A.B.C.D.【答案】B18、如图所示，在直三棱柱中，，⊥，，分别是，的中点，给出下列结论：①⊥平面；②⊥；③平面平面；其中正确结论的序号是______．【答案】①②③19、已知三条不重合的直线，两个不重合的平面，有下列命题：①若且，则；②若且，则；③若，则；④若，则.其中真命题的个数是_______．【答案】2【解析】①中与可能相交；②对；③中要求与为两异面直线时才成立；④为面面垂直的性质定理，正确．20、已知四边形是矩形，.沿将折起到，使平面平面，是的中点，是上一点，给出下列结论：①存在点，使得平面;②存在点，使得平面;③存在点，使得平面;④存在点，使得平面;其中正确的结论是______.（写出所以正确结论的序号）【答案】①②③21、设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：①；②；

③；

④.其中，正确的命题是________.【答案】①③【解析】①中平行于同一平面的两平面平行是正确的；②中可能平行，相交或直线在平面内；③中由面面垂直的判定定理可知结论正确；④中可能线面平行或线在面内.22、如图，在直角梯形中，，，分别是的中点，将三角形沿折起，下列说法正确的是________.（填上全部正确的序号）①不论折至何位置（不在平面内）都有平面；②不论折至何位置都有；③不论折至何位置（不在平面内）都有；④在折起过程中，肯定存在某个位置，使.

【答案】①②④【解析】将三角形沿折起后几何体如图所示：①为分别是的中点，所以不论折至何位置（不在平面内）都有，∴平面所以①正确；②,则，所以②正确；③与是异面直线，所以③错；④当时，因为,∴平面,∴,所以存在某个位置，使，所以④正确；故答案为①②④．23、已知空间四边形中,

,

,

,若平面平面,则该几何体的外接球表面积为_______.【答案】24、设、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，则的一个充分条件为________.①，，；

②，，；③，，；

④，，．【答案】②、③【解析】①中由已知条件可知或在内或斜交或平行；②由可知、平行，由可得；③由面面垂直的性质可得成立；④由可知、平行或相交只有平行时才有.25、如图，一直立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点动身，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，则该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（

）A.B.C.D.【答案】C【解析】作出该圆锥的侧面绽开图，如下图所示：该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理可得，∴．设底面圆的半径为，则有，∴．故项正确．26、已知空间个球，它们的半径均为，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这个球都外切，则这个小球的半径（

）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意可知，小球球心为正四面体的中心，到顶点的距离为，从而所求小球的半径.故选.

27、

三棱锥中,底面,,点分别是的中点，则点到平面的距离为_______.【答案】【解析】如图,以所在直线为轴,所在直线轴,建立空间直角坐标系,则,,设平面的一个法向量,则取,则平面的一个法向量,则点到平面的距离为．28、如图，长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，则异面直线与的夹角的余弦值是________．【答案】【