10.3 实际问题与二元一次方程组 第1课时 课件-2024-2025学年人教版数学

人教版（2024）数学七年级下册

第十章

二元一次方程组10.3实际问题与二元一次方程组(第1课时)行程问题甲、乙两人相距42km,若两人同时相向而行，可在6h后相遇；而若两人同时同向而行，乙可在14h后追上甲。求甲、乙两人的速度。分析：题中等量关系为：相遇问题，即甲走6h的路程+乙走6h的路程=42；追及问题，即乙走14h的路程=甲走14h的路程+42.解：设甲的速度为xkm/h,乙的速度为ykm/h.可列方程为6(x+y)=42,14(y-x)=42,解得x=2,y=5.答：甲的速度为2km/h，乙的速度为5km/h。行程问题某旅游船顺流航行，每小时行20km，逆流航行，每小时行16km，求旅游船在静水中的航速及水流速度.分析：题中等量关系为：V顺=V船+V水；V逆=V船-V水.解：设船在静水中的速度为xkm/h,水流的速度为ykm/h.可列方程为x+y=20,x-y=16,解得x=18,y=2.答：船在静水中的速度是18km/h,水流速度为2km/h。变式训练一艘轮船顺流航行时，每小时行32km;逆流航行时，每小时行28km,求轮船在静水中的速度。解：设甲车的速度为xkm/s,乙车的速度为ykm/s.可列方程为(x+y)×10=250+150,(y-x)×100=250+150,解得x=22,y=18.答：甲车的速度是22km/s，乙车的速度是18km/h。分析：题中等量关系为：V顺=V船+V水；V逆=V船-V水.生产中的配套问题某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个.现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套。分析：题中等量关系为：生产A部件的人数+生产B部件的人数=16；生产A部件的总数=生产B部件的总数.解：设安排生产A部件和B部件的工人分别为x人，y人.可列方程为x+y=16,1000x=600y,解得x=6,y=10.答：安排生产A部件和B部件的工人分别为6人，10人。工程问题一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成.问两人每天各做多少个机器零件.分析：题中等量关系为：甲做12天的零件+乙做8天的零件=840个；甲做9天的零件+乙做13天的零件=840个.解：设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个零件.可列方程为(4+8)x+8y=840,9x+(4+9)y=840,解得x=50,y=30.答：甲每天做50个机器零件，乙每天做30个机器零件。据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？列方程组解决几何问题探索新知转换成数学语言ADCB已知：长方形ABCD，AB=CD=200m，AD=BC=100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2.目标：甲、乙两种作物的总产量的比是3:4探索新知01竖着画，把长分成两段，则宽不变1.大长方形的长=200m2.甲、乙两种作物总产量比=3:4设AE＝xm，BE＝ym.S长方形AEFD=100xS长方形EFCB=100y甲：100x×1乙：100y×2100x:200y=3:41:2ADCFBExy200m100如何设未知数呢？则列方程为x+y=200总产量=单位面积产量×面积探索新知先求出两种作物的面积再写出两种作物的总产量则列方程为01竖着画，把长分成两段，则宽不变根据题意列方程组为

100x:200y=3:4x+y=200，解得x=120，y=80解：过点E作EF⊥AB，交CD于点F.设AE＝xm，BE＝ym.

答：将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.

ADCFBExy200m100探索新知甲种作物乙种作物02横着画，把宽分成两段，则长不变解：过点E作EF⊥AD，交BC于点F.

x+y=100200x:400y=3:4x=60，y=40解得根据题意列方程组为ADCBExyF乙种作物甲种作物200y200x200m100m答：将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.

探索新知

设DE＝xm，AE＝ym.练一练：

8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长

方形地砖的长和宽分别是多少?（单位cm）解:设小长方形地砖的长为x,宽为y.

解此方程组得：x=45,y=15.答:小长方形地砖的长为45cm,宽为15cm.探索新知由题意,得x+y=60，x=3y60列方程组解决行程问题

小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？探索新知走平路的时间+走下坡路的时间=________，走上坡路的时间+走平路的时间=_______．小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.平路：60m/min1015探索新知分析下坡路：80m/min上坡路：40m/min方法一（直接设元法）平路时间坡路时间总时间上学放学解：设小华家到学校平路长xm，下坡路长ym.根据题意，可列方程组：答：小明家到学校的距离为700m.探索新知解方程组，得方法二（间接设元法）平路距离坡路距离上学放学解：设小华下坡路所花时间为xmin,上坡路所花时间为ymin.根据题意，可列方程组：答：小明家到学校的距离为700m.故平路距离：60×（10-5）=300（m）坡路距离：80×5=400（m）探索新知解方程组，得例2

甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.典例精析（1）同时出发，同向而行甲出发点乙出发点4km乙2h行程甲2h行程（2）同时出发，相向而行甲出发点乙出发点4km相遇地甲0.5h行程乙0.5h行程典例精析甲追上乙甲2h行程=4km+乙2h行程甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.典例精析根据题意，得解方程组，得练一练：我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南京约有450千米的路程，某船从九江出发9个小时就能到达南京；返回时则用多了1个小时.求此船在静水中的速度以及长江水的平均流速.解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，长江水的平均流速为y千米/时.

答：轮船在静水中的速度为47.5千米/时，长江水的平均流速为2.5千米/时.典例精析解得1.计划若干节车皮装运一批货物.如果每节装15.5吨，则有4吨装不下，如果每节装16.5吨，则还可多装8吨.问有多少节车皮？多少吨货物？解：设有x节车皮，y吨货物，根据题意列出方程组得y=15.5x+4，y=16.5x-8课堂练习解得答：有12节车皮，190吨货物.2.某班有40名同学看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元.请问甲种和乙种票各多少张？答：甲种票25张，乙种票15张.课堂练习解：设购买甲种x张，乙种票y张.根据题意得：解得3.课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样的一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各多少只？答：鸡有23只，兔有12只.课堂练习解：设鸡有x只，兔有y只.解得头数脚数鸡兔合计xy352x4y944.有甲、乙两数，甲数的3倍与乙数的2倍之和等于47，甲数的5倍比乙数的6倍小1，这两个数分别是多少？课堂练习解：设甲数是x,乙数是y.解得答：甲数为10，乙数为.5.甲、乙两店共有练习本200本，某月甲店售出19本，乙店售出97本后，甲、乙两店所剩的练习本数目相等，则甲店和乙店原有练习本各多少？答：甲店原有练习本61本，乙店原有练习本139本.课堂练习解：设甲店原有练习本x本，乙店原有练习本y本.解得6.某船顺流航行36km用3h，逆流航行24km用3h，则水流速度和船

在静水中的速度各是多少？答：船在静水中的速度为10km/h，水流速度为2km/h.课堂练习解：设和船在静水中的速度是xkm/h,水流速度是ykm/h.解得隔壁听到人分银，不知人数不知银。每人五两多六两，每人六两少五两。多少人数多少银？由题意得：

5x+6=y,6x-5=y7.古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：解得：

x=11,

y=61答：有11个人，61两银.课堂练习解：设有x个人，y两银.解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时,则答：甲的速度为4千米/时，乙的速度为12千米/时.课堂练习8.甲、乙两人都从A地到B地，甲步行，乙骑自行车，如果甲先走6千米乙再动身，则乙走小时后恰好与甲同时到达B地；如果甲先走1小时，那么乙用小时可追上甲，求两人的速度．AB6km解得AB例1

某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？题中的未知量有胜的场数和平的场数胜场平场合计场数得分x3xyy1127典例精析分析胜的场数+平的场数=11；胜场得分+平场得分=27.等量关系解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得答：该市第二中学足球队胜8场，平3场.通过上述两题，总结用二元一次方程组解决实际问题的步骤典例精析解得：一审二设三列四解五验六答四解利用__________法或___________解出未知数的值；三列根据___个等量关系列出方程组；二设用___________表示题目中的未知数；一审弄清题意和题目中的_________；数量关系字母2代入消元加减消元法典例精析用二元一次方程组解决实际问题的步骤五验检验所求的解是否符合实际意义；六答写出答语.练一练1：某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费.甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元.”乙说：“我乘这种出租车走了23km，付了35元.”请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过3km后，每千米的车费是多少元？

0～3km的车费+超过3km的车费=总车费典例精析等量关系起步价超过3km后的费用合计费用甲乙xx（11-3）y（23-3）y1735解设出租车的起步价是x元,超过3km后每千米收费y元.解设出租车的起步价是x元,超过3km后每千米收费y元.解这个方程组，得答：这种出租车的起步价是5元，超过3km后每千米收费1.5元.典例精析5头牛、2只羊共价值10两“金”；2头牛、5只羊共价值8两“金”.问每头牛、每只羊各价值多少“金”？解:设每头牛值“金”x两,每只羊值“金”y两,典例精析5x+2y=10,2x+5y=8.由题意,得解得答:羊值“金”两,牛值“金”两.商品销售问题一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%，如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及进价、标价和售价，设此商品的定价为x元，进价为y元，打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，列得方程0.9x-y=20%;打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.解：设此商品的定价为x元，进价为y元.可列方程为0.9x-y=20%y,0.8x-y=10,解得x=200,y=150.答：商品的定价为200元。知识点：(1)销售问题中的等量关系：(2)提价问题中的等量关系：变式训练解得x=600,y=400.答：甲商品的进价为600元，乙商品的进价为400元。分析：题中等量关系为：甲商品的利润+乙商品的利润=46元；甲商品的利润+乙商品的利润=44元.解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元.可列方程为5%x+4%y=46,4%x+5%y=44,有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%，乙商品的利润率为4%，共可获利46元。价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？增长率问题某城市现在人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市现在的城镇人口与农村人口。分析：题中的等量关系为：城镇人口+农村人口=42万；城镇人口×(1+0.8%)+农村人口×(1+1.1%)=42×(1+1%)解：设现在城镇人口为x万，农村人口为y万.可列方程为x+y=42,(1+0.8%)x+(1+1.1%)y=42×(1+1%),解得x=14,y=28.答：现在城镇人口为14万，农村人口为28万。变式训练解得x=2000,y=1800.答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元。分析：题中等量关系为：去年总产值-总支出=200万元；今年的总产值-总支出=780万元.解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元.可列方程为x-y=200,(1+20%)x-(1-10%)y=780,某工厂去年的利润(总产值-总支出）为200万元.今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%.今年利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？储蓄问题小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25%的教育储蓄，另一种是年利率为2.25%的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱.解：设教育储蓄存款x元，存一年定期存款为y元.可列方程为x+y=2000,(1+2.25%)x+[1+2.25%(1-20%)]y=2042.75,解得x=1500,y=500.答：教育储蓄存款1500元，一年定期存款500元。教育储蓄定期储蓄合计现在xy2000一年后(1+2.25%)x[1+2.25%(1-20%)]y2042.75变式训练解得x=2.25%,y=0.99%.答：两种储蓄的年利率分别是2.25%，0.99%。分析：题中等量关系为：两种储蓄的税后利息和=43.92元；两种储蓄的年利率和=3.24%.解：设两种储蓄的年利率分别是x、y.可列方程为x+y=3.24%,(2000x+1000y)×80%=43.92,李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元；已知这两种储蓄年利率的和为3.24%，求这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：利息所得税=利息金额×20%）数字问题两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y.可列方程为x+y=68,(100x+y)-(100y+x)=2178,解得x=45,y=23.答：这两个数是45和23。分析：题中等量关系为：两个两位数的和为68；前一个数比后一个数大2178.变式训练解得x=5,y=6.答：这个两位数为56。分析：这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，则这个两位数表示为_________解：设这个两位数的十位数字为x，个位上的数字为y.可列方程为10x+y-3(x+y)=23,10x+y=5(x+y)+1,一个两位数，减去它的各位数之和的3倍，结果是23，这个两位数除以它的各位数之和，商是5，余数是1.这个两位数是多少？10x+y年龄问题今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？解：设现在的父亲的年龄为x岁，儿子的年龄为y岁.可列方程为x=5y,x+6=3(y+6),解得x=30,y=6.答：现在父亲的年龄是30岁，儿子的年龄是6岁。分析：6年后父子俩都长了6岁，题中等量关系为：父亲的年龄是儿子的5倍；6年后父亲的年龄是儿子的3倍.变式训练解得x=12,y=60.答：今年小李的年龄是12岁。分析：题中等量关系为：今年小李年龄是爷爷年龄的；12年后，小李的年龄是爷爷的.解：设今年小李的年龄为x岁，则今年爷爷的年龄是y岁.可列方程为x=y,x+12=(y+12),和、差、倍、分问题"爱心"帐篷厂和"温暖"帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此，全体职工加班加点，"爱心"帐篷厂和"温暖"帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务.求在赶制帐篷的一周内，"爱心"帐篷厂和"温暖"帐篷厂各生产帐篷多少千顶？解：设原计划"爱心"帐篷厂生产帐篷x千顶，"温暖"帐篷厂生产y千顶.可列方程为x+y=9,1.6x+1.5y=14,解得x=5,y=4.∴1.6x=1.6×5=8(千顶），1.5y=1.5×4=6(千顶）分析：题中等量关系为："爱心"帐篷厂和"温暖"帐篷厂原计划每周生产9千顶帐篷；灾区急需14千顶，一周内制作帐篷数分别达到原来的1.6倍和1.5倍.变式训练解得x=33,y=86.答：去年有33个城市参加了此项活动，今年有86个城市参加。分析：题中等量关系为：中国去年和今年共119个城市参加活动；今年参加活动的城市个数=去年的3倍-13个.解：设中国内地去年、今年分别有x、y个城市参加了此项活动.可列方程为x+y=119,y=3x-13,"地球一小时"是每年3月最后一个星期六20时30分～21时30分熄灯一小时.中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动.几何问题小明用8个完全相同的小长方形拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了连长是1的正方形小洞.(1)设每个小方形的宽为x，由图乙可知每个小长方形的长可表示为__________.(2)求小长方形的长和宽.分析：题中等量关系为：由图乙知，3×长度=5×宽度；根据两图中长与宽的数量关系得方程.(2)依题得：2x-1=x解得x=×3x=5

变式训练解得x=15,y=9.答：正方形的面积比矩形面积大9cm2分析：题中等量关系为：周长为48cm；长边-3cm=短边+3cm.解：设长方形的长边为xcm，宽为ycm.可列方程为2(x+y)=48,x-3=y+3,用长48cm的铁丝弯成一个长方形，若将长方形的长边剪掉3cm，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比长方形的面积大多少？优化方案类问题某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案.方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？分析：方案一：把140吨蔬菜全部粗加工，每吨获利4500元；方案二：15天精加工，每天加工6吨，每吨获利7500；剩下的50吨直接销售，每吨获利1000元；方案三：精加工天数+粗加工天数=15，精加工吨数+粗加工吨数=140.解：①方案一获利为：4500×140=630000(元）②方案二获利为：7500×(6×15)+1000×(140-6×15)=675000+50000=725000(元).③设x天进行粗加工，y天进行精加工.由题意得，x+y=15,16x+6y=140,解得x=5y=10∴方案三获利为：7500×6×10+4500×16×5=810000(元)∵810000＞72