北京市延庆县高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.6 简单的计数问题教学设计 新人教B版选修2-3VIP

北京市延庆县高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.6简单的计数问题教学设计新人教B版选修2-3科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）北京市延庆县高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.6简单的计数问题教学设计新人教B版选修2-3教学内容分析哈喽，亲爱的同学们！今天我们要一起探索数学世界里的一个奇妙领域——排列与组合，这是第一章《计数原理》中非常重要的一部分。我们将在新人教B版选修2-3的教材中，深入挖掘1.2.6这一小节，也就是“简单的计数问题”。这节课，我们将通过一些实际的例子，让你感受到数学计数原理的强大魅力。准备好了吗？让我们一起走进这个充满智慧和趣味的数学世界吧！🌟📚🧮核心素养目标本节课旨在培养学生以下核心素养：

1.**逻辑推理能力**：通过排列与组合的概念，学生将学会如何运用逻辑推理来解决问题，提高推理的严密性和准确性。

2.**数学建模能力**：学生将学会如何将实际问题转化为数学模型，运用计数原理解决实际问题。

3.**创新思维**：通过探索不同的计数问题，学生将培养出创造性解决问题的能力，学会从不同角度思考问题。

4.**应用意识**：学生将理解数学在现实生活中的应用，增强数学学习的实用性意识。重点难点及解决办法重点：

1.排列与组合的定义和区别：这是理解后续计数问题的基础，需要学生准确把握。

2.计数问题的实际应用：将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。

难点：

1.排列与组合的计算方法：学生可能对组合数公式的推导和应用感到困难。

2.解决复杂计数问题：学生可能难以从复杂情境中提取关键信息，建立合适的数学模型。

解决办法与突破策略：

-对于重点，通过实例讲解和小组讨论，帮助学生深入理解概念。

-针对难点，设计阶梯式练习，从简单到复杂，逐步引导学生掌握计算方法。同时，鼓励学生自主探索，培养解决问题的创新思维。教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的方法，确保学生能系统理解排列与组合的基本概念。

2.设计小组合作活动，让学生通过解决实际问题来应用排列与组合的知识，提高团队协作能力。

3.运用多媒体教学，展示计数问题的实际应用场景，增强学生的直观感受。

4.举办“数学竞赛”游戏，让学生在轻松愉快的氛围中复习巩固排列与组合的相关知识，激发学习兴趣。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。

例如，提前一天发布关于排列与组合的预习视频，要求学生观察并总结排列与组合的基本概念。

-设计预习问题：围绕排列与组合，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

问题如：“你能找到生活中哪些场景可以用排列与组合来解释？”

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

通过查看学生提交的预习成果，了解预习情况。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解排列与组合的基本概念。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

学生可能提出：“排列和组合有什么区别？”

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解排列与组合，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出排列与组合课题，激发学生的学习兴趣。

例如，用一个关于生日蛋糕装饰的案例引入排列与组合的概念。

-讲解知识点：详细讲解排列与组合的知识点，结合实例帮助学生理解。

如，讲解排列数的计算公式和组合数的计算公式。

-组织课堂活动：设计小组讨论、角色扮演、实验等活动，让学生在实践中掌握技能。

小组讨论可以围绕如何解决一个具体的排列与组合问题展开。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

如，学生提出：“为什么排列数比组合数大？”时，老师可以解释排列与组合的计数原理。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论、角色扮演、实验等活动，体验排列与组合知识的应用。

-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解排列与组合的知识点。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握技能。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解排列与组合的知识点，掌握技能。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据排列与组合课题，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

例如，布置一些应用排列与组合解决实际问题的作业。

-提供拓展资源：提供与排列与组合相关的拓展资源（如书籍、网站、视频等），供学生进一步学习。

如，推荐一些关于概率论和统计学的在线课程。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的排列与组合知识点和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。教学资源拓展一、拓展资源

1.排列与组合的实际应用

-经济学中的排列与组合：在经济学中，排列与组合可以用来分析市场中的不同产品组合，例如，零售商如何根据市场需求组合商品以最大化销售。

-概率论与排列组合的关系：了解排列与组合在概率论中的应用，比如计算随机事件发生的概率。

2.排列与组合的历史背景

-排列与组合的历史起源：探讨排列与组合在数学史上的发展，包括著名的数学家如帕斯卡和欧拉对这一领域的贡献。

-排列与组合在不同文化中的表现：研究排列与组合在不同数学文化中的表现形式，例如，中国数学家在组合数学方面的成就。

3.排列与组合的数学证明

-排列与组合的公式证明：深入研究排列数和组合数的公式推导过程，理解数学证明的逻辑。

-排列与组合的特殊情况：探讨排列与组合在特定条件下的性质，如重复元素排列与组合的计算。

4.排列与组合的计算机实现

-排列与组合算法：了解计算机科学中用于生成排列和组合的算法，如生成函数和回溯算法。

-排列与组合在编程中的应用：探讨排列与组合在编程中的实际应用，如排序算法和组合生成。

二、拓展建议

1.经济学实践

-让学生分析市场上不同品牌的手机组合，计算其可能的市场组合数，并讨论如何优化产品组合以吸引更多消费者。

2.概率论学习

-通过实例，让学生计算某些事件发生的概率，如彩票中奖的概率或掷骰子得到特定点数的概率。

3.数学史研究

-组织学生研究排列与组合在数学史上的发展，撰写报告或进行口头演讲。

4.数学证明探索

-鼓励学生尝试自己证明排列数和组合数的公式，或研究排列与组合在特定条件下的性质。

5.编程挑战

-提供编程任务，要求学生编写程序来生成排列或组合，或解决与排列组合相关的实际问题。

6.数学竞赛准备

-指导学生参加数学竞赛，特别是那些涉及排列与组合问题的竞赛，以提升他们的数学技能和竞赛经验。

7.数学俱乐部活动

-在学校数学俱乐部中组织关于排列与组合的专题讨论，邀请其他学生参与，共同学习和解决问题。

8.家庭作业扩展

-在家庭作业中包含一些涉及排列与组合的拓展问题，鼓励学生在课外进行深入研究。教学评价1.课堂评价

-提问策略：在课堂上，我将通过提问的方式评估学生对排列与组合概念的理解程度。例如，提出如“在排列中，如果我们有n个不同的球放入m个不同的盒子，有多少种不同的放法？”等问题，观察学生的回答是否准确，是否能正确运用排列公式。

-观察学生参与度：通过观察学生在课堂活动中的参与情况，如小组讨论、角色扮演等，评估他们对排列与组合的兴趣和掌握程度。

-课堂测试：定期进行小测验，以快速评估学生对排列与组合知识点的掌握情况。测试可以包括选择题、填空题和简答题，涵盖排列数、组合数以及它们在实际问题中的应用。

-反馈与纠正：对于学生的回答，无论是正确还是错误，都要给予及时的反馈。对于错误答案，要耐心解释原因，帮助学生纠正错误。

2.作业评价

-详细批改：对学生的作业进行认真批改，确保每个问题都得到检查。批改时要注意作业的准确性、逻辑性和完整性。

-定期反馈：在批改作业后，及时将反馈信息传达给学生。反馈可以是书面评语，也可以是面对面交流，针对学生的具体错误和进步给予指导。

-作业展示：定期在课堂上展示学生的优秀作业，鼓励学生相互学习和借鉴。

-作业拓展：对于完成作业速度较快或质量较高的学生，可以提供额外的练习题或拓展题目，以巩固他们的知识并提高他们的解题能力。

3.形成性评价

-小组评价：鼓励学生参与小组评价，通过同伴互评的方式，学生可以互相学习，共同进步。

-自我评价：引导学生进行自我评价，反思自己在学习过程中的表现和进步，培养他们的自我监控能力。

-定期评估：通过定期的形成性评估，如课堂表现、作业完成情况等，全面了解学生的学习情况，为后续教学提供依据。

4.总结性评价

-期末考试：通过期末考试，对学生在整个学期内对排列与组合知识的掌握情况进行总结性评价。

-学生自评：期末时，要求学生对自己的学习成果进行自我评价，包括对知识点的掌握程度、学习方法的适用性等。

-教师评价：教师根据学生的学习表现、作业完成情况、课堂参与度等方面进行综合评价。板书设计①排列与组合的基本概念

-排列：指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列的方法数。

-组合：指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑顺序的方法数。

②排列数与组合数的计算公式

-排列数公式：A(n,m)=n!/(n-m)!

-组合数公式：C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]

③排列与组合的性质

-互换性：排列数A(n,m)=A(n,n-m)

-线性性质：A(n,m)=A(n-1,m)+A(n-1,m-1)

-组合数的对称性：C(n,m)=C(n,n-m)

-组合数的递推关系：C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)

④排列与组合的实际应用

-排列的应用：如选举、排列组合游戏等。

-组合的应用：如抽奖、概率问题等。

⑤计数原理的应用

-排列与组合在概率论中的应用。

-排列与组合在计算机科学中的应用，如算法设计。典型例题讲解1.例题一：

问题：从5名男生和4名女生中选出3人参加比赛，要求男女各至少有一人，求不同的选法数。

解答：首先，选出1名男生和2名女生，有C(5,1)*C(4,2)种选法；

然后，选出2名男生和1名女生，有C(5,2)*C(4,1)种选法；

最后，选出3名男生，有C(5,3)种选法。

因此，总的选法数为C(5,1)*C(4,2)+C(5,2)*C(4,1)+C(5,3)=70种。

2.例题二：

问题：从0到9这10个数字中任选3个数字，组成一个没有重复数字的三位数，求这个三位数的总数。

解答：由于三位数的百位、十位和个位不能为0，所以百位有9种选择，十位有9种选择（排除百位选的数字），个位有8种选择（排除百位和十位选的数字）。

因此，总数为9*9*8=648个。

3.例题三：

问题：5名运动员参加接力赛，要求每名运动员跑不同的距离，求不同的跑步顺序数。

解答：5名运动员有5个不同的跑步位置，所以总的跑步顺序数为5的阶乘，即5!=120种。

4.例题四：

问题：从10个不同的球中取出5个，求取出的球中恰好有2个白球和3个黑球的取法数。

解答：首先，从3个白球中选出2个，有C(3,2)种取法；

然后，从7个黑球中选出3个，有C(7,3)种取法。

因此，总的取法数为C(3,2)*C(7,3)=35种。

5.例题五：

问题：从5名男生和4名女生中选出2人参加篮球比赛，要求选出的2人中有1名男生和1名女生，求不同的选法数。

解答：首先，从5名男生中选出1名，有C(5,1)种选法；

然后，从4名女生中选出1名，有C(4,1)种选法。

因此，总的选法数为C(5,1)*C(4,1)=20种。教学反思哎，这节课终于结束了，我坐在讲台上，心里想着今天的课，既有收获，也有遗憾。首先，我想说说我对今天课堂的总体感受。

这节课我们学习了排列与组合，这是数学中一个非常重要的概念