数学中考学问点系统总结

数学中考学问点系统总结

专题一数与式

考点、实数的概念与分类

1、实数的分类

有理数：整数（包括：正整数、、负整数）和分数（包括：有限小数和无限环循

21

小数）都是有理数.如：一，药，，…，西，

无理数：无限不环循小数叫做无理数如：兀，一氏…（两个之间依次多个）.

实数；有理数和无理数

-正整数

统府；「有理数［整数（有限或无限循环性数）［负整数为实数.

I分数f正分数

实数《工负分数

一无理数（无限不循环小数）［建蠹

苜理数

「正数Y

।l无理数

「有理数

L负数y

l无理数

、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，它包含两层意思:

是无限小数；二是不循环.二者缺一不行.归纳起来有四类：

0开方开不尽的数，如右,啦等；

0有特定意义的数，如圆周率兀，或化简后含有兀的数，如：等；

0有特定结构的数，如…等；

0某些三角函数，如等

留意：推断一个实数的属性（如有理数、无理数），应遵循：一化简，二辨

析，三推断.要留意：“神似”或"形似"都不能作为推断的标准.

、非负数：正实数与零的统称。（表为：＞）

常见的非负数，有：

（为一切实数）

＜II

-yfa（＞）

性质：若干个非负数的和为，则每个非负担数均为。

、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时,

要留意上述规定的三要素缺一不行）0

解题时要真正驾驭数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应

的，并能敏捷运用。

①画一条水平直线，在直线上取一点表示（原点），选取某一长度作

为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴（“三要

素”）

②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

③假如两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数

的相反数，也称这两个数互为相反数。

作用：.直观地比较实数的大小.明确体现确定值意义.建立点与实数的

一对应关系。

、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零

的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点

对称，假如与互为相反数，则有，一，反之亦成立。即：（）实数。的相反数

是-〃.（）〃和Z?互为相反数oa+Z?=0.

、确定值

一个数的确定值就是表示这个数的点与原点的距离，＞o零的确定值时它

本身，也可看成它的相反数，若，则）；若，则正数大于零，负数小

于零，正数大于一切负数，两个负数，确定值大的反而小。

（）一个正实数的确定值是它本身；一个负实数的确定值是它的相反数；的

确定值是.

即：

〔另有两种写法〕

（）实数的确定值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的确定值就是数轴

上表示这个数的点到原点的距离.

☆（）几个非负数的和等于零则每个非负数都等于零，例如：若

\[a+回+/=0,贝Ua=0,b=0,c=0.

留意：II4符号“II”是“非负数”的标记;数的确定值只有一个;处

理任何类型的题目，只要其中有“||”出现，其关键一步是去掉|”

符号。

、倒数

假如与互为倒数，则有，反之亦成立。倒数等于本身的数是和。零没有倒

数。

即()实数。(〃,)的倒数是

a

()。和〃互为倒数oH=l。

()留意没有倒数.

、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边

第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的全部数字，都叫做这个数的

有效数字。

、科学记数法

把一个数写做±〃xlO〃的形式，其中是整数，这种记数法叫

做科学记数法。

0确定。是只有一位整数数位的数.

0确定：当原数》时，〃等于原数的整数位数减；；当原数〈时，〃是负

整数，它的确定值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位

上的零)。

例如：一=一X,=X".

0.近似值的精确度：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这

个近似数精确到哪一位

0按精确度或有效数字取近似值，确定要与科学计数法有机结合起来.

、实数大小的比较

学问、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要留意

上述规定的三要素缺一不行)。

解题时要真正驾驭数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应

的，并能敏捷运用。

学问、实数大小比较的几种常用方法

0数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

0求差比较：设、是实数，

4-/?>()=〃>人，

a-b=Ooa=b,

〃一/?<()<=>a

()求商比较法：设、是两正实数，

a,a,a,

—>!<=>«>b\—=1。〃=b\—<!<=>«</?;

bbb

0确定值比较法：设、是两负实数，则时>例。。〈人

0平方法：设、是两负实数，则。

、实数的运算(做题的基础，分值相当大)

、加法交换律a+b=b+a

、加法结合律(a+〃)+c=a+(Z?+c)

、乘法交换律ab—ba

、乘法结合律(ab)c=a(bc)

、乘法对加法的安排律a(b+c)=ah^ac

、实数的运算依次

1.先算乘方开方，再算乘除，最终算加减，假如有括号，就先算括

号里面的。

2.(同级运算)从“左”到"右"(如:gx)；(有括号时)由“小”

到“中”到“大”。

、有理数的运算：

加法：①同号相加，取相同的符号，把确定值相加。②异号相加，确定值

相等时和为；确定值不等时，取确定值较大的数的符号，并用较大的

确定值减去较小的确定值。③一个数与相加不变。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，确定值相乘。②任何数与相乘

得。③乘积为的两个有理数互为倒数。

除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②不能作除数。

乘方：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫塞，叫底数，叫

次数。

考点、实数与二次根式

、平方根

假如一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根(或二次方跟)。

一个正数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没

有平方根。

正数的平方根记做“土，？'。

、算术平方根

正数的正的平方根叫做的算术平方根，记作3、

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

「〃N)广4a>0

47=\a\=^；留意右的双重三良为性：

a(a<)a>

留意：算术平方根与确定值

①联系：都是非负数，质II

②区分：II中，为一切实数;右中，为非负数。

、算术平方根的估算方法：两端靠近法.

例如：估算#.（精确到.）

*/22<6<32.*.2<^<3.

又,・,2.42=5.76,2.52=6.25

又.•・更靠近.，

>/6=2.4

、立方根

假如一个数的立方等于，那么这个数就叫做的立方根（或的三次方

根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方

根是零。

留意：心=一温,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

二次根式

、二次根式

式子右（〃20）叫做二次根式，二次根式必需满意：含有二次根号

被开方数必需是非负数。

、最简二次根式

若二次根式满意：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中

不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤:

0假如被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算数平方

根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

0假如被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把

能开得尽方的因数或因式开出来。

、同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式以后，假如被开方数相同，这几个二

次根式叫做同类二次根式。

、二次根式的性质

()(y/a)2=a(a>0)

厂a(a>0)

()c=时二y

J-a(a<0)

()4ab=>[a•4b(a>0,/?>0)

0注：

、根式运算法则：

⑴加法法则(合并同类二次根式)；

⑵乘、除法法则；

⑶分母有理化：击..

・指数

⑴彳巴(。”一帮，乘方运算)

①＞时，②V时，“〃＞（是偶数），/V（是奇数）

⑵零指数：。°（卢）

负整指数：。一「V（#是正整数）

、二次根式混合运算

二次根式的混合运算与实数中的运算依次一样，先乘方，再乘除，最

终加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

考点、代数式与整式

、代数式

用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的

一个数或一个字母也是代数式。

表示方根的代数式叫做根式C

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

‘系数

单项式＜

次数

整式•'项

有理式•

代数式・多项式《次数

排列

■

分式

、无理式

留意：①从外形上推断;②区分：6、S是根式，但不是无理式（是

无理数）。

、单项式

只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

留意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用

带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，全部字

母的指数的和叫做这个单项式的次数。如-5〃3/C是次单项式。

留意：系数与指数：区分与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看

其含义有：

①不含有加、减运算符号.

②字母不出现在分母里.

③单独的一个数或者字母也是单项式.

④不含“符号”.

多项式

、多项式

几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做

这个多项式的次数。

单项式和多项式统称整式。

用数值代替代数式中的字母，依据代数式指明的运算，计算出结果，

叫做代数式的值。

留意：（）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取

值代入。

0求代数式的值，有时求不出其字母的值，须要利用技巧，“整

体”代入。

、同类项

全部字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几

个常数项也是同类项。

条件：①字母相同;②相同字母的指数相同

合并依据：乘法安排律

、去括号法则

0括号前是“二把括号和它前面的号一起去掉，括号里各项都

不变号。

0括号前是把括号和它前面的号一起去掉，括号里各

项都变号。

、整式的运算法则

整式的加减法：()去括号；()合并同类项。

整式的乘法：(孙〃都是正整数)

=。皿(小,〃都是正整数)

(")"二〃》"5都是正整数)

(a-b)(a-b)=a2-b2

(a-b)2=a2+lab+b2

(a-h)2=a2-lab+b2

整式的除法：/+/=亡〃。几〃都是正整数,"0)

留意：()单项式乘单项式的结果仍旧是单项式。

0单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中

多项式的项数相同。

0计算时要留意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符

号，同时还要留意单项式的符号。

0多项式与多项式相乘的绽开式中,有同类项的要合并同类项。

0公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

()。°=Uaw0);。一"=，(〃w0,〃为正整麴

0多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项

式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

考点、整式的乘除同上

考点、因式分解

、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解,

也叫做把这个多项式分解因式。

、因式分解的常用方法

0提公因式法：ab+ac=a(b+c)

0运用公式法:①2=(〃+〃)(〃一份

=

扩展­r=~\---=T-j=~二)I----1V^+

：Jn+yjn—\yjn+J〃-I卜"+-1)

②a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2

扩展：=''+J±2或孑2

同理：(]、2]或，

=x±干

\x±-=x2+-7±2x2^-V|-|2

Ix)x-

③(+)(—+)=+.④(r(++)=—；+=(+);(-)=(+)--

公式拓展：⑥

(x+y+z)3=x3+y3+z3+3x2y+3xy2+3y2z+3yz2+3x2z+3xz2+6xyz

3y322

®x+y4-z-3xyz=(x+y+z)(f+y+z-xy-yz-xz)

®x4+x2y2+y4=(x2+盯+y2)(x2-xy+y2)

⑨]+2+3+…+d)+3”〃J)

⑩1+3+5+…+(2〃-3)+(2〃-1)=〃2

(11)2+4+6H---F(2〃—2)+2n=〃(〃+1)

()分组分解法：ac+ad+be+bd=a(c+d)+b(c+cl)=(a+b)(c+d)

0十字相乘法：a'+(〃+「)〃+网=3+p)(a+4)

、因式分解的一般步骤：

0假如多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

0在各项提出公因式以后或各项没有公因式的状况下，视察多项式

的项数：项式可以尝试运用公式法分解因式；项式可以尝试运用公式法、

十字相乘法分解因式；项式与项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

0分解因式必需分解到每一个因式都不能再分解为止。

考点、分式

、分式的概念

一般地，用、表示两个整式，:就可以表示成4的形式，假如中含有

D

字母，式子4就叫做分式。其中，叫做分式的分子，叫做分式的分母。分

D

式和整式通称为有理式。

、分式的性质

0分式的基本性质：

分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的

值不变。

基本性质：--(W)

aam

0分式的变号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号，变更其中任何两个，分式的值

不变。

符号法则：

、分式的运算法则

acacacadad

—x—=—;—：—=—x-=—;

bdbdbdbcbe

技巧：

、繁分式：①定义：分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式.②化

简方法（两种）通常把繁分式写成分子除以分母的形式，再利用分式的除

法法则进行化简.

专题二方程与不等式

方程的分类

［一元一次方程

有八理E方.程二口V整式方程一元二次方程

方程广I*高次方程

分式方程

*无理方程

考点一元一次方程与可以化为一元一次方程的分式方程

一元一次方程的概念

、方程

含有未知数的等式叫做方程。

、方程的解

能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

、等式的性质

0等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果

仍是等式。

0等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结

果仍是等式。

4--►（金）

、一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元一

次方程，其中方程ar+b=o（x为未知数，a=0）叫做一元一次方程的标准形

式，是未知数的系数，是常数项。

留意：解法

一元一次方程的解法：去分母一去括号一移项-合并同类项一

系数化成一解。验根

说明：对于以x为未知数的最简方程,若没有给出字母和的取值范围,

其解有下面三种状况：

①。声（）时一元一次方程，有唯一解.

②々=（）,人工。时，方程无解.

③。=0,b=0时，方程有多数个解.

分式方程

、分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程，它的一般解

法是：

0去分母，方程两边都乘以最简公分母

0解所得的整式方程

0验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应当

舍去；若不等于零，就是原方程的根。

、分式方程的特殊解法

换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用特别广泛，当分

式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

留意.方程的增根与遗根

（）在方程变形时，能产生不适合原方程的根叫做方程的增根.

0在方程变形时，由于盲目变形,在方程的两边同除以含有未知数的代数

式，从而导致方程遗根.

、常用的相等关系

1.行程问题（匀速运动）

基木关系:

■

甲一相遇处一乙

⑴相遇问题（同时动身）:

S甲S乙"甲=坛

⑵追与问题（同时动身）:

甲一二~捅遇处）

AC+S乙；,甲=f乙(CB)

（甲）一

乙一（相遇处）

若甲动身小时后，乙才动身，而后在处追上甲，则

s甲二s乙；，甲='+七

⑶水中航行：5=船速+水速；”=船速-水速

⑷配料问题：溶质溶液x浓度

溶液溶质溶剂

（5）.增长率问题：册=q（1±r产

（6）.工程问题：基本关系：工作量工作效率X工作时间（常把工作量

看着单位""）。

（7）.几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相像形与

有关比例性质等。

留意语言与解析式的互化

如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、

“扩大了”、……

又如，一个三位数，百位数字为，十位数字为，个位数字为，则这个

三位数为：100a,而不是。

留意从语言叙述中写出相等关系。

如，比大，则或或。又如，与的差为，贝上㈤留意单位换算

如，“小时”“分钟”的换算、、单位的一样等。

列方程（组）解应用题

是中学数学联系实际的一个重要方面。其详细步骤是：

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题

给出和涉与的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。①干脆未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一

般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷找寻相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉与的等量关系

给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程与检验。

⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问

题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方

程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列

方程是解应用题的关键。

考点二元一次方程组

、二元一次方程

含有两个未知数，并且未知项的最高次数是的整式方程叫做二元一次

方程，它的一般形式是（

、二元一次方程的解

使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次

方程的一个解C

、二元一次方程组

两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方

程组。一般形式：（4，3卬%，%Q不全为）

二元一次方程组的解

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的

值，叫做二元一次方程组的解。

、二元一次方程组的解法

基本思想：“消元”

解法：（）代入法0加减法⑶二元一次方程组代入黑^法》一元一次方程

组.

、三元一次方程

把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程。

、三元一次方程组

由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫

做三元一次方程组。（）一般形式：

0解法:

三元一次方程组代人曹F妣）二元一次方程组代入党誉法》一元一次方程

组.

考点一元一次不等式〔组〕

、不等式

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。＞、V、＞、＜、,。

、不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的

值，都叫做这个不等式的解。

对于一个含有未知数的不等式，它的全部解的集合叫做这个不等式的

解的集合，简称这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

、用数轴表示不等式的方法

、不等式基本性质

⑴、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的

方向不变。

⑵、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

⑶、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向变更。

不等式的性质：（1）＞＜—»

⑵--►＞（＞）

（3）＞^-►＜（＜）

⑷（传递性）»-»

、一元一次不等式

⑴、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是，且不等式的

两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。＞、V、＞、＜、*

（力）。

⑵、一元一次不等式的解法（在数轴上表示解集）

解一元一次不等式的一般步骤：

0去分母0去括号0移项。合并同类项0将项的系数化为

即通过去分母、去括号、移项合并同类项，把不等式化为依〉力（或

依＜份（4=0）的形式，再把系数化为得出不等式的解集.

说明：在去分母和化系数为时，需特殊留意不等式两边同时乘以（或除以）

一个负数，要将不等号变更方向，其解集状况如下：

①当。〉0时，（或）.

②当”0时，阈.

③当。=0时，若〃之0,不等式无解（或不等式的解集为一切实数）.

④当。=0时，若〃<0,不等式的解为一切实数（或不等式无解）.

、一元一次不等式组

⑴、一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次

不等式组的解集。

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其

解为空集。

⑵、一元一次不等式组的解法（在数轴上表示解集）

0分别求出不等式组中各个不等式的解集

0利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的

解集。

即先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式的

解集的公共部分，即为不等式组的解集.

两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的一般状况可见下表（其中

a<b).

口诀不等式解集在数轴上表示

组

同小取

x<a

小Clb

同大取

x>bA卜

大Zb

大小取

a<x<l

中—aI:bA

两背为不等式

空组无解ab

考点一元二次方程

、一元二次方程

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次

方程。

、一元二次方程的一般形式

以+c=o（〃5t0）,它的特征是：等式左边H^一个关于未知数的二次

多项式，等式右边是零，其中a/叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一

次项，叫做一次项系数；叫做常数项。

、一元二次方程的解法

①、干脆开平方法

利用平方根的定义干脆开平方求一元二次方程的解的方法叫做干脆开

平方法。干脆开平方法适用于解形如(X+〃)2=〃的一元二次方程。依据平

方根的定义可知，X是的平方根，当〃之。时，x+a=±4b,x=-a±\[b9

当〈时，方程没有实数根°

②、配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用,

而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论依据是完全平方

公式1±2"+b2=(〃+b)2,把公式中的看做未知数，并用代替，则有

x2±2bx+b2=(x±b)2o

③、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方

程的一般方法。

一元二次方程ax2+bx+c=0(〃+0)的求根公式：

x=、；——(b2-4ac>0)

④、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方

法简洁易行，是解一元二次方程最常用的方法。

、一元二次方程根的判别式

根的判别式△=〃-4"

一元二次方程尔+〃x+c=0(aw0)中，b2-4ac叫做一元二次方程

〃/+法+c=0(〃。0)的根的判别式，通常用来表示，BPA=Z?2-4ac

①△)()=方程有两个不相等的实数根.

②△=()=方程有两个相等的实数根.

③△<()=方程无实数根.

④△8)=方程有两个实数根。

反之：

①一元二次方程有两个不等实根=

②一元二次方程有两个相等实根n

③一元二次方程无实根=

④一元二次方程有两个实根n

结论：()若二次三项式。*+法+。是完全平方式，则方程g?+〃x+c=()的

判别式八。

0方程"2+尿+C=O有实数根，包括两种状况：①。工。有两个实数根,

②4=0,只有一个实数根。

说明：根的判别式最常见的用法有：

①不解方程判别一元二次方程根的状况。

②由方程根的状况确定某些字母的值或范围.

、一元二次方程根与系数的关系

假如方程点+"+C=0(。。0)的两个实数根是孙々，那么，。也就是说,

对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数

除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数

所得的商。

留意⑴逆定理：若M+%=，〃，为,％=〃，则以元1，%为根的一元二次方

程是：-V2-nvc+/?=0o

2

⑵常用等式：X：+X；=（X,+x2）-2XIX2

2=（内2

（X[-x2）+x2）-4XXX2

⑶，⑷

、一元二次方程的应用题

（）商品利润问题：每件商品利润售价-进价

涨价时：

商品总利润每件商品利润X商品件数（原来利润涨价）X（原来件数-削

减件数）

降价时：

商品总利涧每件商品利涧X商品件数（原来利润-降价）X（原来件数增

加件数）

0增长率问题：

①41+工）”=力（其中〃是原来数量，〃是增长次数，〃是〃次增长后到达数）

②a+〃（1+x）+a（l+x）2=b

0矩形内修路问题的常用思路是用平移集中法。

列方程（组）解应用题，千万不要死记硬背例题的类型与其解法，要详细问

题详细分析，一般来讲，应按下面的步骤进行：

.审题：弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能找出能够表示应用问

题的全部含义的等量关系.

.设未知数：选择一个或几个适当的未知量，用字母表示，并依据题目的

数量关系，用含未知数的代数式表示相关的未知量.

・列方程（组）：依据等量关系列出方程（组）.

・解方程（组）：其过程可以省略，但要留意技巧和方法。

.检验：首先检查所列方程(组)是否正确，然后检验所得方程的解是否符

合题意.

.写答：不要遗忘单位名称.

、分式方程的解法

①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母.

②特殊解法：换元法.

()验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增

根.因此，验根是解分式方程必不行少的步骤，一般把整式方程的根的值

代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增

根，必需舍去.

说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法.

・二元二次方程组

()由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.

()由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程

组.

基本解法是：消元，转化为解一元二次方程；降次，转化为解二元一次方

程组.

专题三函数

考点位置与坐标

、平面直角坐标系

在平面内画两条相互垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐

标系0

其中，水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做

轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点(即公共的原点)叫做直角坐标

系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被轴和轴分割而成的

四个部分，分别叫做第一象限、其次象限、第三象限、第四象限。

留意：轴和轴上的点，不属于任何象限。

、点的坐标的概念

点的坐标用(，)表示，其依次是横坐标在前，纵坐标在后，中间有

分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当力

时，(，)和(，)是两个不同点的坐标

点的坐标：设点是坐标平面内的任一点，由点向X轴作垂线，垂足对应

着工轴上的一个实数。；由点向y轴作垂线，垂足对应着y轴上一个实数6,

则点的坐标就是(。，b),其中。叫点的横坐标，力叫做点的纵坐标.

说明：点的坐标的定义事实上给出了求点的坐标的一种特别重要的方法，

要留意横坐标与纵坐标的依次不能颠倒.

、不同位置的点的坐标的特征

〔〕、各象限内点的坐标的特征

点()在第一象限>0

点()在其次象限<=>x<0,y>0

点()在第三象限<0

点()在第四象限ox>0,y<0

〔〕、坐标轴上的点的特征

点()在轴上为随意实数

点()在轴上ox=0,为随意实数

点()既在轴上，又在轴上0,同时为零，即点坐标为(，)

(〕、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点()在第一、三象限夹角平分线上o与相等

点()在其次、四象限夹角平分线上。与互为相反数

〔〕、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于轴的直线上的各点的横坐标相同。

〔〕、关于轴、轴或远点对称的点的坐标的特征

点P(x,)，)关于轮的对称点是6(x，-y).

点P(x，y)关于轴的对称点是£(T，y).

点P*，y)关于原点的对称点是4(-弟-)，).

(〕、点到坐标轴与原点的距离

点()到坐标轴与原点的距离：

点()到轴的距离等于3

点()到轴的距离等于忖

点()到原点的距离等于J/+)，2

☆・〔〕()若II轴,则yP=yQ.

•()若II轴，则=XQ.

☆〔〕.若AQ],片)，B(A2,y2),当P3),%)是线段的中点时

*〔〕.若A(x，y),B(X2,y2),则

22

AB=7Ui-x2)+(y1-y2)

〔〕.坐标平面内的点和有序实数对(，)之间建立了一一对应关系.

考点函数的表示

函数的概念

.常量与变量：在某一变更过程中，可以取不同数值的量叫做变量；在某

一变更过程中保持数值不变的量叫做常量.

.函数：在某一变更过程中的两个变量和，假如对于在某一范围内的每一

个确定的值，都有唯一确定的值和它对应，那么就叫做的函数，其中做自

变量，是因变量.

()自变量取值范围的确定

①整式函数自变量的取值范围是全体实数.

②分式函数自变量的取值范围是使分母不为的实数.

③二次根式函数自变量的取值范嗣是使被开方数是非负数的实数，若涉与

实际问题的函数，除满意上述要求外还要使实际问题有意义.

()函数值：对于自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值.

.函数常用的表示方法：解析法、列表法、图象法.由函数的解析式作函

数的图象，一般步骤是：列表、描点、连线.

考点一次函数

、正比例函数和一次函数的概念

一般地，假如)=履+b(,是常数，。)，那么叫做的一次函数。

特殊地，当一次函数)，=&+〃中的为时，y=kx(为常数，工)。这时,

叫做的正比例函数。

☆说明：直线位置与常数的关系

()左确定直线的倾斜角(直线向上的方向与轴的正方向所形成的夹角的大

小).

①k>0=倾斜角为锐角.

②％>()=直线过点(，)且平行于轴的直线.

③A<()o倾斜角为钝角.

()确定直线与轴交点的位置.

①>=直线与轴交点在轴的上方.

②=直线过原点.

③<=直线与轴交点在轴的下方；图

0如图,

()如图，14=tana

()设直线/上有两点，A(%,y),B(w，%)则

图

、一次函数的图像

全部一次函数的图像都是一条直线

自

变

量

函

解析式取图象增减性

数

值

范

围

正

仝

比

体

例

实①当〉时，随增大而

函

数增大；

数

②当〉〈时，随增大

—全

而减小。

次体

函实

数数

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数），=履+〃的图像是经过点（,）的直线；正比例函数），=丘的

图像是经过原点（，）的直线。

的符的符号函数图像图像特征

号

/

图像经过一、二、三

/------------>

>

/象限，随的增大而增大。

>

图像经过一、三、四

<A

7象限，随的增大而增大。

/

图像经过一、二、四

>\、

象限，随的增大而减小

<

图像经过二、三、四

<

------------►

\象限，随的增大而减小。

\

注：当时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

、正比例函数的性质

一般地，正比例函数），=打有下列性质：

0当》时，图像经过第一、三象限，随的增大而增大;

0当〈时，图像经过其次、四象限，随的增大而减小。

、一次函数的性质

一般地，一次函数丁二丘+〃有下列性质：

0当〉时，随的增大而增大

0当〈时，随的增大而减小

、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式），二息（工）中的

常数。确定一个一次函数，须要确定一次函数定义式），=丘+〃（工）中的

常数和。解这类问题的一般方法是待定系数法。

斜率：为直线在轴上的截距

①直线的斜栈式方程，简称斜截式：=+（金）

②由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式：

y=&+b=（tana）x+b=~~~—x（x-x））+y]

x2-x}

③由直线在“轴和、轴上的截距确定的直线的截距

式方程，简称截距式：

④设两条直线分别为，4：y=3+4A：y=k2x+b2若则

有/J/4=占且2=2。若4_L/?o匕g=-1

⑤点（，）到直线（即：）的距离："=号需=也静普

考点、反比例函数

、反比例函数的概念

一般地，函数（是常数，/）叫做反比例函数。反比例函数的解析式

也可以写成），=攵/的形式。自变量的取值范围是。的一切实数，函数的取

值范围也是一切非零实数。

、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第

一、三象限，或其次、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自

变量工，函数工，所以，它的图像与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个

分支无限接近坐标轴，但恒久达不到坐标轴。

、反比例函数的性质

反比例

函数

的符号><

卜

图像LJ

厂

①的取值范围是W,①的取值范围是工，

的取值范围是W；的取值范围是#;

②当,时，函数图像的两个分支分别②当〈时，函数图像的两个分支

性质

在第一、三象限。在每个象限内，分别

随的增大而减小。在其次、四象限。在每个象限

内，

随的增大而增大。

、反比例函数解析式的确定

确定与埃是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个

待定系数，因此只须要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出的

值，从而确定其解析式。

、女的几何意义

设PHy）是反比例函数图象上任一点，过点作工轴、y轴的垂线，垂

足为，则

0△的面积⑻二纲.

0矩形的面积=。4・%=|冲卜同。这就是系数攵的几何意义.并且无论怎

样移动，△的面积和矩形的面积都保持不变。

矩形面积4闷，平行四边形面积2闷

二次函数的概念和图像

、二次函数的概念

一般地，假如广4+法+c（。也c是常数，。=0）,那么叫做的二次函

数。

y=ar+/以+。（。力"是常数，。工0）叫做二次函数的一般式°

、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

、二次函数图像的画法

五点法：

0先依据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶

点，并用虚线画出对称轴

0求抛物线y=+版+。与坐标轴的交点：

当抛物线与轴有两个交点时，描出这两个交点与抛物线与轴的交点，

再找到点的对称点。将这五个点按从左到右的依次连接起来，并向上或向

下延长，就得到二次函数的图像。

当抛物线与轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与轴的交点与对

称点。由、、三点可粗略地画出二次函数的草图。假如须要画出比较精确

的图像，可再描出一对对称点、，然后顺次连接五点，画出二次函数的图

像。

、二次函数的解析式（分）

二次函数的解析式有三种形式：

（）一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,〃工0）

（）顶点式：y=工一〃1十%（.,〃/是常数，a0）

（）当抛物线）=〃/+公+c与轴有交点时，即对应二次好方程

0?+"+。=。有实根玉和与存在时，依据二次三项式的分解因式

2

ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2),二次函数y=♦+bx+c可转化为两根式

y=6Z(X-X1)(x-x2)o假如没有交点，则不能这样表示。

留意：抛物线位置由。、反。确定.

()。确定抛物线的开口方向

①4>0<=>开口向上.

②4<0=开口向下.

0C确定抛物线与轴交点的位置.

①C>0O图象与轴交点在轴上方.

②C=0o图象过原点.

③C<0。图象与轴交点在轴下方.

()。、〃确定抛物线对称轴的位置(对称轴：)

①4、〃同号。对称轴在轴左侧.

②〃=0=对称轴是轴.

③久〃异号。对称轴在轴右侧.

()顶点坐标白字).

()△=b2-4ac确定抛物线与轴的交点状况.、

①△>=抛物线与轴有两个不同交点.

O抛物线与轴有唯一的公共点(相切).

③。抛物线与轴无公共点.

0二次函数是否具有最大、最小值由推断.

①当〉时，抛物线有最低点，函数有最小值.

②当〈时，抛物线有最高点，函数有最大值.

()2ci±b,々士人+c、牝±22?+c的符号的判定:

表达式，请代值，对应值定正负；

对称轴，用处多，三种式子。相约；

》轴两侧判以b,左同右异中为；

的两侧判2〃+〃，左同右异中为；

两侧判2々-〃，左异右同中为.

0函数图象的平移：左右平移变，左右一；上下平移变常数项，上下;

平移结果先知道，反向平移是诀窍；平移方式不知道，通过顶点来找寻。

0对称：+法+C•关于轴对称的解析式为一y=av2+/?x+c,关于轴

对称的解析式为+A(T)+C,关于原点轴对称的解析式为

-y=r/(-x)2+/?(-%)+c,在顶点处翻折后的解析式为)，=-心-〃)2+%(相反,

定点坐标不变)。

0结论：①二次函数)，=以2+云+C(〃HO)与轴只有一个交点=二次函

数的顶点在轴上=A;

②二次函数y=o?+/以+c("0)的顶点在轴上o二次函数的图象关于

轴对称=〃=0;

③二次函数y=cix2+bx+c(a^0)经过原点，则oc=()。

0二次函数的解析式：

①一般式：5=苏2+以+。(4工())，用于已知三点。

2

②顶点式：y=a(x-h)+k,用于已知顶点坐标或最值或对称轴。

0交点式：y=a(XTjxTj,其中芭、工2是二次函数与轴的两个交点的横

坐标。若已知对称轴和在轴上的裁距，也可用此式。

、二次函数的最值(分)

假如自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或

最小值)，即当时,。

假如自变量的取值范围是阳WXWX2,那么，首先要看-2是否在自变

量取值范围RWXW七内，若在此范围内，则当-3时，；若不在此范围内，

2a

则须要考虑函数在为工工工九2范围内的增减性，假如在此范围内，随的增大

而增大，则当元=当时，y最大=渥+g+C,当犬时，y最小=屁+g+C；

假如在此范围内，随的增大而减小，贝I」当工=%时，y最大=渥+如+c,当

aX

X=W时,丁最小=2+"2+C。

、二次函数的性质

二次函数的性质

函二次函数

2

数y=ax+bx+c（a、b,c是常数，a00）

><

i

JL

图1

像

0抛物线开口向上，并向上无限延长；0抛物线开口阿下，并向下无

()对称轴是-二，顶点坐标是(-二，)；

性限延长；

2a2a

质0在对称轴的左侧，即当〈-，时，0对称轴是-?，顶点坐标是

2a2a

随的增大而减小；在对称轴的右侧，2a)

即当＞-2时，随的增大而增大，简（）在对称轴的左侧，即当〈-?

2a2a

记左减右增；时，随的增大而增大；在对

0抛物线有最低点，当-二时，有最称轴的右侧，即当■时，

2a2a

小值，随的增大而减小，简记左增

右减；

（）抛物线有最高点，当-，时，