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第1页共1页以上仅为参考答案，简答、论述题均只列及主要的解题知识点，请您结合自我理解和课本内容进行知识掌握和巩固。如对答案等有疑义，请及时登录学院网站“辅导论坛”栏目，与老师交流探讨！《拓扑学》参考答案一、单项选择1.B,2.D,3.D,4.D,5.D,6.B,7.D,8.C,9.A,10.D,11.B,12.B,13.A,14.D,15.B,16.D,17.C,18.A,19.C,20.C21.B,22.D,23.B,24.B,25.A,26.D,27.C,28.B,29.D,30.C,31.A,32.A,33.B,34.A,35.D,36.D,37.C,38.C,39.C,40.C二、证明题1.，，。又为连续映射，为开集，因此为开集，2.设U是Y中的任意开集，则。由于，因此，由f是满射知，。从而，由f是单射知，，（3分），是开集，连续。3.4.设中任一闭集，则。，又。。中闭集。是连续映射。5.假设由于A,B是X中隔离子集，中隔离子集。又是不连通子集。矛盾，从而必有或者。6.假设，令，因此Y不连通，矛盾，从而或者。7.假设中即开，且闭子集，又A为非空真子集，因此A不连通，矛盾，从而8.假设是一个即开，且闭集。又A是非空真子集，因此A是一个不连通子集。矛盾，故。9.设，由性知开集。再由正则性知：开集。因此有且是开集。因此X是空间。10.（1），则，而，故存在R的R-拓扑以为基。（2），，而=因此11.设是Y的任意一个开覆盖的一个开覆盖，由X的紧致性知的开覆盖，从而的开覆盖，也是的有限子覆盖，故Y是紧致子集。12.（1），且对。必有，因此，存在R的唯一拓扑以为基。（2）因为，而，因此（a，b）∈13.（1）（a）(b)若。（c）设，则，若，则，因此是X的一个拓扑。（2），，不是闭集，不是空间。14.(1)（a）有限，（b）,若或者或者，则若中有限子集，中有限子集，（c）设;若。从而中的有限集。中有限集，综上述知，的一个拓扑。（2）由的定义知中的闭集为中的有限集和任一含有的集合。对于任意，及闭集。（a），则F必为中有限集，因此中的元素，F亦为中元素，故（b）为开集，再取亦为开集，故使得，故是正则空间。15.（1）。又，必有，存在R的唯一拓扑T以B为基。（2），故16.（1）(a)，又有限，（b）设，若或，必有，若中有限集，为有限集，（c）设，若，则，从而若为有限集，从而为有限集，。由(a),(b),(c)知是拓扑空间。（2）设是X*的任意开覆盖，则存在从而由为有限集令，由是开覆盖知：的有限子覆盖，是紧致空间。17.：

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