锐角三角形-中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）

锐角三角形-中考数学一轮复习精讲+热考

题型（解析版）

专题34锐角三角形

【知识要点】

知识点一锐角三角形

锐角三角函数：如下图，在RtZ\ABC中，NC为直角，则NA的锐角三角函数为（NA可换成

定义表达式取值范围关系

正a0<而上，1

鲍咸6感;需施-1二—J-cosS

弦撷（ZA为锐角）

cosA-k

余

0<cosJ<1

弦锄gg—忑f'CCS.T=-

&b（ZA为锐角）

正皿四彘锚tanJ>0

出.n=:

切/碑豳为！（NA为锐角）

【正弦和余弦注意事项】

LsinA、cosA是在直角三角形中定义的，NA是锐角（注意数形结合，构造直角三角形）。

2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。

3.sinA、cosA的大小只与NA的大小有关，而与直角三角形的边长无关。

0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值（重要）

三角函数30°45°60°

/="

*A/J••垂

足a

-y-偿z

■

*

事*

cosa2

4

正

tana1万

锐角三角函数的关系（互余两角的三角函数关系（A为锐角））：

1、sinA=cos（900-A）:即一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值。

2、cosA=sin（90°-A）:即一个锐角的余弦值等于它余角的余正切值。

正弦、余弦的增减性♦

当0°waw90°时，sin。随a的增大而增大，cos。随a的增大而减小。

正切的增减性：当0°<^<90°时，tan。随a的增大而增大，

知识点二解直角三角形

一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角开

的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.

直角三角形五元素之间的关系：

1.勾股定理（M+b-叱

2.NA+NB=90°

3.

4.

5.

【考查题型】

专题34锐角三角形

考查题型一利用正弦的相关知识求解

典例1（广西河池市•中考真题）在Rt/kABC中，ZC=90°,BC=5,AC=12,则sinB的值

是（）

A.彳B.vC.三D.-

12115

【答案】D

【提示】直接利用勾股定理得出的长，再利用锐角三角函数得出答案.

【详解】解：如图所示：

VZC=90°,BC=\,>46=12,

故选：D.

B

4

变式1-1.（四川雅安市♦中考真题）如图，在豳麹龌中，上煞三魁碱喈二花篆若fC-6,

则的长为（）

A

A.8B.12C.673D.1八8

【答案】C

【提示】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.

【详解】解：:sinB二兰=0.5,

AAB=2AC,

VAC=6,

AAB=12,

：•BC=J.ME。二6J,,

故选c.

变式1-2.（四川南充市♦中考真题）如图，点A,B,C在正方形网格的格点上，则sin/BAC二

()

A.B.3C.D.

13

【答案】B

【提示】作BD_LAC于D,根据勾股定理求出AB、AC,利用三角形的面积求出BD,最后在

直角aABD中根据三角函数的意义求解.

【详解】

解：如图，作BD_LAC于D,

故选：B.

考查题型二利用余弦的相关知识求解

典例2（柳州市中考真题）如图,在Rt△/跋中,ZC=90°,AB=4fAC=3t则cos""=

c.土fD.

【答案】C

【提示】

、接利用勾股定理得出8C的长，再利用锐角三角函数关系得出答案.

【详解】

•・•在RtZkZBU中，ZC=90°,28=4,AC=3,

.尉喉胞

・•砌斓=.

询第

故选：C.

变式2-1.（湖北荆州市•中考真题）如图，在66正方形网格中，每个小正方形的边长都是

【答案】B

【提示】作直径BD,连接CD,根据勾股定理求出BD,根据圆周角定理得到NBAC二NBDC,

根据余弦的定义解答即可.

【详解】解：如图，作直径BD,连接CD,

由勾股定理得，，聪口嫡薄n簿u嫌

在RtABDC中，cos/BDC=,«^a挈“

由圆周角定理得，ZBAC=ZBDC,

cosZBAC=cosZBDC=-^―.

故选:B.

变式2-2.（安徽中考真题）如图，糜国磔中，-C-9产,点力在工C上,“EC-一工.若

就髀晨05，则：n的长度为（）

g?，：<

A.-B.-C.—D.4

454

【答案】C

【提示】根据勰居懒^?乡，求出AB=5,再根据勾股定理求出BC=3,然后根据

-万厂一一4,即可得cos/DBC=cosA=：,即可求出BD.

【详解】VZC=90°,

期

，AB=5,

根据勾股定理可得BC=心-心=3,

,IJDK-4.J，

AcosZDBC=cosA=-,

14

ABD=,

4

故选：C.

考查题型三利用正切的相关知识求解

典例3(四川凉山彝族自治州•中考真题)如图所示，LdC的顶点在正方形网格的格点上，则

i工工的值为()

A.二B.、，C.2D.

一.

【答案】A

【提示】如图，取格点E,连接BE,构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可;

【详解】如图，取格点E,连接BE,

由题意得：一三3-八‘，3E=0"=标记:2s，

故答案选A.

变式3-1.(浙江杭州市•中考真题)如图，在AJBC中，NC=90°,设N4N8NU所对的

边分别为3,b,c,贝I」()

A.c=bs\r\BB.b=cs\v\BC.a=btanBD.b=dan8

【答案】B

【提示】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题.

【详解】5c中，二£.一贝尸，乙洋D8、4?所对的边分别为a、b、c

Ann即》一cin»,则A选项不成立，B选项成立

c

tan5=-,即。-二皿6,则C、D选项均不成立

故选：B.

变式3-2.(贵州安顺市•中考真题)如图，半径为3的。A经过原点0和点C(0,2),B

是y轴左侧。A优弧上一点，则tanNOBC为（）

【答案】C

【解析】试题提示：连结CD,可得CD为直径，在RMOCD中，CD=6,0C=2,根据勾股

定理求得0D=4.万

所以tan/CDO二二f，由圆周角定理得，NOBC=NCDOf,则tanNOBC二二二，故答案选C.

变式3-3.（广东广州市•中考真题）如图，有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30m,

斜坡的倾斜角是NBAC,若勰。本廨匕!，则此斜坡的水平距离AC为（）

V

A.75mB.50mC.30mD.12m

【答案】A

【提示】根据BC的长度和1皿_左（的值计算出AC的长度即可解答.

【详解】解：因为标8年融a絮r，又BC=30,所以，解得：AC=75m,所

以，故选A.

考查题型四特殊角的三角函数求值

典例4.(四川凉山彝族自治州•中考真题)如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于0。,

则.2.二三()

A.“二3B.7：：73C.D.4：二、三

【答案】B

【提示】过点0作au,设圆的半径为r,根据垂径定理可得aOBM与aODN

是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果.

【详解】如图，过点。作QM-3C,。工_.力，设圆的半径为r,

•••△OBM与ZiODN是直角三角形，，乃一05

丁等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于二0,

觌"二皿=笠。，

AR

V二七：•，FK-…——广，

nn

:,心=2Mp《rBC-谣二、各，

,,趣霾?"屐蔻

故答案选B.

变式4-1.（山东泰安市•中考真题）如图，四边形4（0是一张平行四边形纸片，其高・£-］小，

底边大■：,一3-：巴沿虚线，f将纸片剪成两个全等的梯形，若一EEF7T,则公的

长为（）

C.D.12

【答案】D

【提示】过点F作EV一“，AG=2,J-W°,可得BG=FM=2,令AF=x,根据J"-WT

根据正切值可得EM的长，加起来等于BC即可得到结果.

【详解】如图所示，过点F作交BC于点M,

VJiriSC,AG=2,

ABG=FM=2,AF=GM,

令AF=x»

•・•两个梯形全等，

AAF=GM=EC=x,

又・・・乙9£7=3。"

祗

用!f

••t<aii300由,

•••ME=2垂，

又、:BC=6,

:•氏=F-2-x-诲7=6,

•',~j—♦£•

故答案选D.

变式4-2.（广西玉林市•中考真题）sin450的值等于（）

A.；B.丑C.WD.1

【答案】B

【提示】根据特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】sin45°二=.故选B.

变式4-3.（天津中考真题）2sin45°的值等于（）

A.1B../3C.、/5D.2

【答案】B

【详解】解：2sin45°=2x立=J：,故选B

（

考查题型五由三角函数值求锐角

典例5.（辽宁沈阳市•中考真题）如图，在矩形出《0中，.芷-4，SC-1,以点』为圆心,

。长为半径画弧交边3c于点E,连接工£,则5；的长为（）

【答案】C

【提示】先根据矩形的性质可得揩〜着窗型察D四L斯，再根据圆的性质可得

好-然后利用余弦三角函数可得一金也-“，从而可得_乙让一多产，最后利用弧长

公式即可得.

【详解】•・•四边形ABCD是矩形，SC-2

由圆的性质得：，证-XD-2

在白△.在三中，综痛威心邂烂遇

变式5-1.（湖北黄冈市•中考真题）若菱形的周长为16,高为2,则菱形两邻角的度数之比

为（）

A.I1B.?1C.61D.-1

【答案】B

【提示】如图，AH为菱形ABCD的高，AH=2,利用菱形的性质得到AB=4,利用正弦的定

义得到NB=30°,则NC=150°,从而得到NC：NB的比值.

【详解】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH=2,

A

B

He

•・,菱形的周长为16,

•♦.AB=4,

在Rt八ABH中，sinB=T'=-7»

AB々■

AZB=30°,

•；AB〃CD,

/.ZC=150°,

AZC：ZB=5：1.

故选：B.

变式5-2.（山东日照市•中考真题）如图，28是。。的直径，。为。。的弦，于

点£若0=64，/£=9,则阴影部分的面积为（）

9Ll4匚C-

A.6n-二、二B.12TI-9.jjC.3TT-二、“D.9,万

【答案】A

【提示】根据垂径定理得出CE二DE二:CD=3,分，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角

函数关系得出NEOD=60°,进而结合扇形面积求出答案.

【详解】解：・・・/8是。。的直径，。为。。的弦，AB工CD于点、E,

■

:・CE=DE="D=3、h・

设。。的半径为八

在直角△06。中，Oh-DR,即「三件承慨如掰，

解得，r=6,

：.OE=3,

弼第髯

:・/EOD=60。，

C二畸嬲，匐傕i/版$盛q朝

民"一%鬻

根据圆的对称性可得：

故选：4R

3为锐角，且门n《'=!，则()

变式5-3.(湖南怀化市•中考真题)已知一

■

A.分B.45;C.6产D.9产

【答案】A

【提示】根据特殊角的三角函数值解答.

4

【详解】•••—2为锐角，且4。"二：,

■

・・・工「3/.

故选A.

考查题型六解直角三角形

典例6.（辽宁大连市•中考真题）如图，小明在一条东西走向公路的。处，测得图书馆/在

他的北偏东小•方向，且与他相距：W,则图书馆/到公路的距离Hd为（）

D.监

A.B.p0b/、';

【答案】A

【提示】根据题意可得aOAB为直角三角形，ZAOB=30°,OA=200m,根据三角函数定义

即可求得AB的长.

【详解】解：由已知得，ZAOB=90°-60°=30°,OA=200m.

*

则AB==OA=100m.

故选：A.

变式6-1.（吉林长春市•中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示.设塔

顶中心点为点3,塔身中心线二。与垂直中心线•的夹角为.1,过点6向垂直中心线.*?引

垂线，垂足为点通过测量可得V、之力、4,的长度，利用测量所得的数据计算.1的三

角函数值，进而可求.一的大小.下列关系式正确的是（）

【答案】A

【提示】确定一2所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解;

【详解】由题可知，aABD是直角三角形,

」•选项B、C、D都是错误的,

故答案选A.

变式6-2.（广东广州市•中考真题）如图,三」中，—0%工5'''i7,以

点£为圆心，『为半径作二S,当.•一3时,二3与HU的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

【答案】B

【提示】根据EdFC中，_C，Bid二二，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC的

值，比较BC与半径r的大小，即可得出二B与工C的位置关系.

【详解】

解：•・•白a3。中，工。-丸声，8，”

AC

・.・coAsA,二；

AAC=4

当*一3时，二3与的位置关系是：相切

故选：B

变式6-3.（黑龙江牡丹江市•朝鲜族学校中考真题）如图，在zkABC中，sinB二三，tanC=2,

AB=3,则AC的长为（）

A

A.J：B.£C.旧D.2

【答案】B

【提示】过A点作AH±BC于H点，先由sinZB及AB=3算出AH的长，再由tanNC算出

CH的长，最后在RtAACH中由勾股定理即可算出AC的长.

【详解】

解：过A点作AH_LBC于H点，如下图所示：

由獭公翳香里二.且U二，可知，

由潮1&=竺巴或，且/一..可知，,

尔：

・•・在2中,由勾股定理有:那u病叫丽*

故选：B.

变式6-4.（江苏苏州市•中考真题）如图，小明想要测量学校操场上旗杆4的高度，他作了

如下操作：（1）在点（处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高

度wr-a；(3)量得测角仪到旗杆的水平距离切-工利用锐角三角函数解直角三角形的知

识，旗杆的高度可表示为()

toB

3b

A.c-ctXiCB.：AV.JC.,：D.

3工空

【答案】A

【提示】

延长CE交AB于F,得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b,FB=CD=a,在直角三角形ACF

中，利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的

长.

【详解】

延长CE交AB于F,如图，

根据题意得，四边形CDBF为矩形,

ACF=DB=b,FB=CD=a,

在RSACF中，ZACF=a,CF=b,

tanNACF二言

・•・AF二瓣冒名能蒙口编糜黑,

AB=AF+BF=c-hanQ,

故选：A.

考查题型七利用解直角三角形解决实际问题

典例7.（西臧中考真题）如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF,卓玛同学为了探究信号塔

EF的高度，从建筑物一层A点沿直线AD出发，到达C点时刚好能看到信号塔的最高点F,

测得仰角NACF=60°,AC长7米.接着卓玛再从C点出发，继续沿AD方向走了8米后到

达B点，此时刚好能看到信号塔的最低点E,测得仰角NB=30°.（不计卓玛同学的身高）求

信号塔EF的高度（结果保留根号）.

【答案】2#米

【提示】

在/?也忆尸中，根据三角函数的定义得到〃•=/▲的60°=7,万米，在小△28E中，根据三

角函数的定义得到/3730°=15x虫=5、万米，进而得到结论.

【详解】

解：在月公/CF中，-ZACF=60°,ZC=7米，

・•・/4/W⑶760°=7、万米，

•Z80=8米，

，/8=15米，

在/?公/8£中，・・・/8=30°,

・••力£=/8治/7300=15x=5、万米,

:,EF=AF-AE=7拈-5、万=2/（米），

答：信号塔）的高度为2■米.

变式7-1.（甘肃兰州市♦中考真题）如图，斜坡BE,坡顶B到水平地面的距离AB为3米，

坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为：.，6。，求CD的高度।结

果保留根号）

【提示】

作BF_CD于点F,设DF='米，在直角二DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角

二DC.三中表示出CE的长，然后根据BF-CE-AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长.

【详解】

如图，作BF_CD于点F,设DF=\米，

在七二D三F中，的MWa粤，

解得:

则毂*-那端咏;噂9总搂2^《米），

区落

变式7-2.（辽宁葫芦岛市•中考真题）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以

上的高度・；."花观测点t处测得大桥主架顶端H的仰角为30。，测得大桥主架与水面交汇点S

的俯角为14°,观测点与大桥主架的水平距离匚为60米，且二.匚垂直于桥面.（点4S.Cr

在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度八/；（结果保留根号）

（2）求大桥主架在水面以上的高度U.（结果精确到1米）

（参考数据飒时展隆阳通稹礴飒，融娥辿凋潘砒竭）

【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度，，必，为二米；（2）大桥主架在水面以上的高度,4,

约为50米.

【提示】

（1）在RSACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度.

（2）在Rt/kBCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可.

【详解】

解：（1）Q，2垂直于桥面

工甄

在立乙W厂中，面H簿疑鬻n成

噱瞅国祢然■察

0S

G

--murCM=60（米）

答：大桥主架在桥面以上的高度，力/为二“&米・

B水面

（2）在PJ3X中，,n能盘勰=财

巴雌J，舐,缴溷通^鳏金

瞥确亡谶&勃菊

工遴*MSi■富禹捋翎（米）

答：大桥主架在水面以上的高度工3约为50米.

变式7-3.（江苏镇江市•中考真题）如图，点£与树48的根部点4建筑物。的底部点C

在一条直线上，20=106.小明站在点E处观测树顶8的仰角为30°,他从点£出发沿忆

方向前进6/77到点G时，观测树顶8的仰角为45°,此时恰好看不到建筑物。的顶部D（H、

8、。三点在一条直线上）.已知小明的眼睛离地面1.6m,求建筑物Q?的高度（结果精确到

0.1/77）.（参考数据：、/>1.41,4*1.73.）

【答案】19.8/77.

【提示】

延长月”交CD于点、M,交AB于点、N,求。，只需求出。例即可，即只要求出A/V就可

以，在R38/V厂中，设BN=NH=x,则根据tanN88V=二就可以求出x的值，再根据等

腰直角三角形的性质和线段的和可求得Q7的长.

【详解】

解：如图，延长FH,交。。于点M,交28于点N,

•・•4BHN=45Q,BALMH,

则BN=NH,

设BN=NH=x,

B、：W

•:HF=6,/BFN=30°,PLtan/BFN='=

，粽令，册

tan30°=------，

x-t-6

解得依8.22,

根据题意可知：

DM=MH=MN+NH,

•・•MN=AC=10,

则。⑨=10+8.22=18.22,

・・・。=。例+例。=。例+斤=18.22+1.6=19.82^19.8Cm）.

答：建筑物。的高度约为19.8/77.

变式7-4.（内蒙古呼伦贝尔市•中考真题）、.：；两地间有一段笔直的高速铁路,长度为:"km.某

时发生的地震对地面上以点C为圆心，Qkm为半径的圆形区域内的建筑物有影响.分别从L'；

两地处测得点C的方位角如图所示，加…二1二二高速铁路是否会受到地震的影

响.请通过计算说明理由.

【答案】会受到影响，理由见解析

【提示】

首先过C作CD_LAB与D,由题意得AD=CD-tana,BD=CD-tanp,继而可得CD-tana+

CDtanp=AB,则可求得CD的长，再进行比较，即可得出高速公路是否穿过地震区.

【详解】

解：如图，过C作CDJ_AB于D,

AZACD=a,NBCD邛,

山Bn

tanZACD=tana=,tanZBCD=tanB=,

CDKcP

AAD=CDtana,BD=CDtanp,

由AD+BD=AB,得CDtana+CDtanp=AB=100,

・•・高速公路会受到地震影响.

变式7・5.（江苏宿迁市♦中考真题）如图，在一笔直的海岸线上有A,B两个观测站，A在B

的正西方向，AB=2km,从观测站A测得船C在北偏东45。的方向，从观测站B测得船C在

北偏西30°的方向.求船C离观测站A的距离.

［答案］阵

【提示】

如图，过点C作CD_LAB于点D,从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角

三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可.

【详解】

解：如图，过点C作CDLAB于点D,

则NCAD=NACD=451

・・・AD=CD,

设AD=工，则AC-%,

•**BD=AB-AD=1-v,

VZCBD=60°,

在RUBCD中，

•；tanNCBD=-->

BD

--x

解得一3-6，

经检验，t=3-/是原方程的根，

***AC=—J：G-A)=(3J=-)km.

答：船C离观测站A的距离为GW-卡)km.

变式7-6.(内蒙古呼和浩特市•中考真题)如图，一艘船由A港沿北偏东65。方向航行Xhn到

B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向.

(1)直接写出-C的度数；

(2)求A、C两港之间的距离.(结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可)

【答案】(1)62°；(2)(丫、£+空七)km

【提示】

(1)根据两直线平行，内错角相等即可得出答案；

(2)由题意得,ZCAB=65°-20°=45°,ZACB=42°+20°=62°,AB=38,过B作BE_LAC

于E,解直角三角形即可得到答案.

【详解】

解：(1)如图，由题意得：

ZACB=20°+42°=62°；

(2)由题意彳导，ZCAB=65°-20°=45°,ZACB=42°+20°=62°,AB=38,

过B作BE_LAC于E,如图所示：

・•・ZAEB=ZCEB=90°,

在RSABE中，VZEAB=45°,

•♦•△ABE是等腰直角三角形，

•；AB=38,

・・・AE=BE=(AB=NV3，

在RSCBE中,VZACB=62°,tanZACB=—,

・・・CE=-^二壁皂，

•tan"：物卜融

・・・AC=AE+CE=＜、£+^^^,

'的麻萨

AA,C两港之间的距离为km.

变式7-7.（湖南娄底市•中考真题）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019

年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的"娄底

速度”.该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶

端E点距地面从£点处测得。点俯角为30°,斜面EC长为水平面长为二m,

斜面2（?的坡度为1：4,求处于同一水平面上引桥底部U-的长.（结果精确到。：二,

g.1：,『工：F.

【答案】引桥桥墩底端/点到起点8之间的距离为广5tn.

【提示】

延长CD,与，£相交于月过点。、U两点分别作的垂线交，［于点G、H,计算AG,

GH,BH的长度，再求和即可.

【详解】

解：如图，延长CD,与相交于月过点。、C两点分别作的垂线交工4于点G、H,

则在；中，向必嘉

w=蛔=魅勰A辟=*=需,号，

在1中，婚方斯皿巡噩目疆

,43=.4。—次一39=2”，」一：二、】・；6t1“卬1»）

答：引桥桥墩底端2点到起点8之间的距离为「5m.

锐角三角形

（满分：100分时间：90分钟）

班级姓名学号分数

一、单选题（共10小题，每小题3分，共计30分）

1.（山东济南市•中考真题）如图，AABC、VED区域为驾驶员的盲区，驾驶

员视线PB与地面BE的央角/PBE=43°,视线PE与地面BE的夹角NPEB=20°,

点A,F为视线与车窗底端的交点，AFBE,AC_LBE,FD±BE.若A点到B

点的距离AB=1.6m,则盲区中DE的长度是（）（参考数据：sin43°k0.7,

tan43°«0.9,sin20°«0.3»tan20°«0.4)

A.2.6mB.2.8mC.3.4mD.4.5m

【答案】B

【分析】

首先证明四边形ACDF是矩形，利用/PBE的正弦值可求出AC的长，即可得

DF的长，利用/PEB的正切值即可得答案.

【详解】

-/FD±AB,AC±EB,

/.DFllAC,

/AFllEB,

.•・四边形ACDF是平行四边形，

/zACD=90°,

.•・四边形ACDF是矩形，

/.DF=AC,

在RfACB中，vzACB=90°,zABE=43°,

「.AC=ABsin430Hl.6x0.7=1.12(m),

/.DF=AC=1.12(m),

在RfDEF中，•.zFDE=90°,zPEB=20°,

DF

/.tanzPEB=——*0.4,

DE

/.DE«—^=2.8(m),

故选：B.

2.（山东烟台市•中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿

AE折叠，使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC=5,则tan/DAE的

!Q>I

A.-B.—C.7D.T

二2（i53

【答案】D

【分析】

先根据矩形的性质和折叠的性质得AF=AD=BC=5,EF=DE,在RbABF中,

利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE=x,则DE=EF=3-x,然后

在RfECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x,进一步可得

DE的长，再根据正切的定义即可求解.

【详解】

解：•.・四边形ABCD为矩形，

...AD=BC=5,AB=CD=3,

••・矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处,

「.AF=AD=5,EF=DE,

在RfABF中，BF=强宙匚菽=廊与口鲁

/.CF=BC-BF=5-4=1.

设CE=x,则DE=EF=3・x

在RbECF中，•「CE2+FC2=EF2,

.-.X2+12=(3-x)2,解得x==,

Q

..DE=EF=3・x=f，

/.tanzDAE=S®JL

3.（重庆中考真题）如图，垂直于水平面的5G信号塔/8建在垂直于水平面

的悬崖边8点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到。点（点4

B,C在同一直线上），再沿斜坡。E方向前行78米到£点（点4B,C,D,

£在同一平面内），在点F处测得5G信号塔顶端4的仰角为43°,悬崖80的

高为144.5米，斜坡的坡度（或坡比）/=1:2.4,则信号塔的高度约为

（）（参考数据:sin430~0.68,cos430®0.73,tan43°«0.93）

A.23米B.24米C.24.5米D.25

米

【答案】D

【分析】

如图，作EEL8于F,EG工BC于G解直角三角形DEF得日三30米，DF=72

米，得£G=150米，解直角三角形AFG得2G=139.5米，求出AB即可.

【详解】

解：作£7口_。于尸，EGLBC于G.

在RfDEF中,设EF=x米，,7=1:2.4

.•.DF=2.4x米，

「•DE二J丽叮访=也版米

..二口二75,

..430米,

.•.DF=2.4x=72米,

.-.GE=FC=DF+CD=72+78=150米，CG=EF=30米,

在RfAEG中，

AG-EG二IM二一：??：C*9"：汨5米

您口麻舒燔C畿mJ獭鸟曹潴c媒调口翁米.

故选：D.

4.（山东威海市•中考真题）如图，矩形的四个顶点分别在直线

,:上.若直线；＞.:'且间距相等，，4-J,SC-3,则xg的值为（

【答案】A

【分析】

根据题意，可以得到BG的长，再根据NABG=90°,AB=4,可以得到NBAG

的正切值，再根据平行线的性质，可以得到NBAG=N(X,从而可以得到tana的

值.

【详解】

解：作CFJJ4于点F,交卜于点E,设CB交b于点G,

由已知可得GEllBF,CE=EF,

.•.△CEGiCFB,

Cr

,CG1

・・—一,

CS2

.BC=3,

•GB=］，

■

.「bIII4，

「.NO(=NGAB,

••・四边形ABCD是矩形，AB=4,

・•./ABG=90。，

/.tanzBAG=—=«=-,

工343

「•tana的值为，

V

故选：A.

5.（广东深圳市♦中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸

边相距200米的2Q两点分别测定对岸一棵树7■的位置，7"在P的正北方向,

且丁在Q的北偏西70°方向，则河宽（P7"的长）可以表示为（）

A.200tan70。米B.米C.200sin70°

tdll0"

米D.3-米

【答案】B

【分析】

在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及NPQT的度数，进而得到NPTQ的

度数，根据三角函数即可求得PT的长.

【详解】

解：在RNPQT中，

•.zQPT=90°,zPQT=90°-70o=20°,

/.zPTQ=70o,

即河宽磊米‘

故选：B.

6.（湖南娄底市・中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂-：=1cos",

阻力臂：.=.4，如果动力下的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时,

则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）

A.越来越小B.不变C.越来越大D.无法

确定

【答案】A

【分析】

根据杠杆原理及COSN的值随着a的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求

得答案.

【详解】

解：•••动力x动力臂二阻力x阻力臂，

当阻力及阻力臂不变时，动力X动力臂为定值，且定值＞0,

.••动力随着动力臂的增大而减小，

・•,杠杆向下运动时支的度数越来越小，此时COS上的值越来越大，

又二动力臂士=£

此时动力臂也越来越大，

.••此时的动力越来越小，

故选：A.

7.（湖南湘西土家族苗族自治州•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，

矩形.画（:0的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴

匕矩形的边跖虱㈱一黛匈后7B.则点C到x轴的距离等于（）

A.B.C.1三，，re：.D.

【答案】A

【分析】

作CE_Ly轴于E.解直角三角形求出OD,DE即可解决问题.

【详解】

作CE_Ly轴于E.

在Rt^OAD中,

,.zAOD=90°»AD=BC=(>>zOAD=-»

.-0D=旗1物屋獭皿t,

••・四边形ABCD是矩形，

.-.zADC=90°,

/.zCDE+zADO=90°,

X/zOAD+zADO=90°,

/.zCDE=zOAD=x,

.•.在RbCDE中,

,.CD=AB=Q,zCDE=x,

.•.DE=烬群限职

.•.点C到直轴的距离二EO=DE+OD=。—,Cw,

故选：A.

8.（贵州黔南布依族苗族自治州•中考真题）如图，数学活动小组利用测角仪和

皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角..虫尸为55°,测

角仪cD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆4：

的高度为x米，则下列关系式正确的是（）

【答案】B

【分析】

根据仰角的定义和锐角二旃函数解答即可.

【详解】

解：..・在•七中，-4J£-AB--.19-CD-<-1.-550,

故选：B.

9.（云南昆明市•中考真题）某款国产手机上有科学计算器，依次按键:

4区蟀"7］二，显示的结果在哪两个相邻整数之间（）

A.2〜3B.3〜4C.4〜5D.5〜

6

【答案】B

【分析】

用计算器计算得3.464101615……得出答案.

【详解】

解：使用计算器计算得，

4sin60°«3.464101615,

故选：B.

10.（湖南长沙市•中考真题）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰

角是30度，船离灯塔的水平距离为（）

A.米B.:米C.21米D.42米

【答案】A

【分析】

在直角三角形中，己知角的对边求邻边，可以用正切或数来解决.

【详解】

解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42-tan30°=42aA（米）.

故选：A.

二、填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）

11.（广西中考真题）如图，在zC=90°,AB=13,AC=5,则

cosA的值是

【答案】2

【分析】

根据余弦的定义解答即可.

【详解】

AC4

解：在中，cosA=——=—

Ak13

>

故答案为：土.

12.（贵州黔南布依族苗族自治州•中考真题）如图所示，在四边形.4工。中，

二一9凡C5-8.连接若翻皿跳冬，则小长

度是________.

【答案】10

【分析】

根据直角三角形的边角间关系，先计算.人‘，再在直角三角形TO中，利用勾

股定理即可求出爰.

【详解】

解:在一U18C中,

微3

--JL----6.

在义二45c中,

-J&十£-

故答案为：10.

13.(内蒙古鄂尔多斯市•中考真题)计算：上+(7)2-3tan60°+(n-<L)

0=.

【答案】10

【分析】

直接利用零指数品的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数箱的性质分别化

简得出答案.

【详解】

<

解：/T+(T)-2-3tan60°+(TT./J)0

=3—+9-3木+1

=10.

故答案为：10.

14.（辽宁阜新市•中考真题）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数

学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角认一两树间的坡面距离-5-,

则这两棵树的水平距离约为m（结果精确到「：山，参考数据:

血赞瑞也姆蹈普卧W鹦魏堂潮阳里睇）•

【答案】4.7

【分析】

如图所示作出辅助线，得到/BAC=a=20°,AB=5,再利用余弦的定义，得到

那事蠲顿薪勒浮即可解答.

【详解】

解：如图所示，过点A作AC平行于水平面，过点B作BC_LAC于点C,则AC

为所求，

由题意可知：zBAC=a=20°,AB=5,

则嬲*颉始甯^鎏繇立

即融口外常姆备飘豳

故答案为：4.7.

15.（湖南湘潭市•中考真题）计算：*\1

【答案】=

■

【分析】

根据特殊角的三角函数值直接书写即可.

【详解】

**-

故答案为：虫.

三、解答题（共5小题，每小题10分，共计50分）

16.（四川广安市•中考真题）如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横

断面示意图，己知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面。0的

圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB=154cm,zA=30°,另一根辅助支架

DE=78cm,4=60。.

（1）求CD的长度.（结果保留根号）

（2）求OD的长度.（结果保留一位小数.参考数据：方*1.414,4al.732）

【答案】（1）匚0的长度为明J"”；（2）。户的长度为18.9cm

【分析】

（1）首先弄清题意，了傩每条线段的长度与线段之间的关系，在aCDE中利用

三角函数sin600==,求出CD的长.

（2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，表示出CO,AO的长度，根据

直角三角形的性质得到C0=4AO,再代入数计算即可得到答案.

【详解】

解：（1）在P:三中，岂瞬第（=娴年蹒急辎，

答：CD的长度为39小n；

(2)设水箱半径0D的长度为x厘米，则C0=(39£+x)厘米，A0=(154+x)

厘米，

•/zA=30°,

.-.C0=4-A0,

.

39/+x=。(154+x),

解得：x=154-78「-154-135.096~18.9cm.

答：3的长度为18.9cm.

17.(四川中考真题)计算：(-2)与-1、万-2|+(-、)。-：挥-2cos300.

,

【答案】-:二

■

【分析】

首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是

多少即可.

【详解】

F

解：(-2)-2-|、万-2|+(-1)0--2cos300

,

=!