陕西省咸阳市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

陕西省咸阳市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

姓名:班级:成绩:

亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧!

一、最佳安排和选择方案（共20题；共103分）

1.（1分）（2019二下•麻城期末）在下面的方格中，每行每列都有2、4、6、8这四个数，并且每行、每列

2.（5分）三个连续偶数的和是54,这三个偶数分别是多少？

3.（5分）（2019二下•通榆期末）有甲、乙、丙三人，一个是语文老师，一个是数学老师，一个是体育老

师。甲和乙经常和体育老师学打羽毛球，乙带学生去找数学老师辅导数学。甲、乙、丙分别是什么老师？

4.（5分）在神话王国内，居民不是骑士就是骗子，骑士不说谎，骗子永远说谎，有一天国王遇到该国的居

民小白、小黑、小蓝，小白说：“小蓝是骑士，小黑是骗子.”，小蓝说：“小白和我不同，一个是骑士，一个是

骗子."国王很快判断出谁是骑士，谁是骗子.你能判断出吗？

5.（10分）五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的

女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩也大4岁，求最大的男孩的岁数.

6.（5分）在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角形中，

至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。

7.（5分）3个人3天用3桶水，9个人9天用几桶水？

8.（10分）一个挂钟敲六下要30秒，敲12下要几秒？

9.（5分）一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手都与其余9名选手

第1页共11页

各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得。分，平局双方各得0.5分.结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平

均得3.6分，丙队选手平均得9分.那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少？

10.（2分）证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相

同的两位数.

11.（5分）塑料袋里有六个橘子，如何均分给三个小孩，而塑料袋里仍有二个橘子？（不可以分开橘子）

12.（5分）班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局.每局胜者得2分，平者各得1分，负者

得0分.已知甲、乙、丙三名同学得分分别为3分、4分、4分，且丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有

平局，那么丁同学得分是多少？

13.（5分）张红因病在家休息了几天，这期间的气候是：⑴下了8次雨，时间是上午或下午；⑵当下午下雨

时，当天上午是晴天；⑶有9个下午是晴天；⑷有13个上午是晴天。问她一共在家休息了几天？

14.（5分）一斤白菜5角钱，一斤萝卜6角钱，那一斤排骨多少钱？

15.（5分）猴子每分钟能掰一个玉米，在果园里，一只猴子5分钟能掰几个玉米？

16.（5分）三个小朋友去买文具，他们分别要买铅笔、转笔刀和尺子。

我要买〕供要买的,,我要买词^

艮子区是恬芜JI是什么？（

17.（5分）传说有个说谎国，这个国家的男人在星期四、五、六、日说真话，在星期一、二、三说假话；女

人在星期一、二、三、日说真话，在星期四、五、六说假话.有一天，一个人到说谎国去旅游，他在那里认识了一

男一女.男人说：“昨天我说的是假话”，女人说：“昨天也是我说假话的日子”.这下，那个外来的游人可发愁

了，到底今天星期几呢？请同学们根据他们说的话，判断一下今天是星期几呢？

18.（5分）有三个盒子，甲盒装了两个1克的祛码，乙盒装了两个2克的祛码，丙盒装了一个1克、一

个2克的祛码.每只盒子外面所贴的标明祛码重量的标签都是错的.聪明的小明只从一个盒子里取出一个祛码，

放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了.你知道这是为什么吗？

19.（5分）分配角色

第2页共11页

二年级二班同学们开班会，张强、王刚、李红、刘丽分别担任主持人、歌唱演员、相声演员。李红的歌唱得很

好，张强不是相声演员又不会跳舞，刘丽只会跳舞。你知道他们可能担任什么角色吗？画一个表来帮助你分析，把

你知道的信息记录下来。

主持人歌唱演员舞跳演员相声演员

________________________

张强

王刚

_______________

李红

刘西

张强担任（），王刚担任（），

李红担任（）,刘丽担任（）。

20.（5分）10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，无平局.其中有两队并列第一，两队并列第三,

有两个队并列第五，以后无并列情况.请计算出各队的得分.

二、染色与赋值问题（共11题；共60分）

21.（5分）在世界杯小组赛上，每四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局则两

队各得1分.小组赛结束后，总积分高的两队出线，进入下一轮比赛，如果总积分相同，还要按进一步的规则排

序.那么一个队至少要积几分才能保证本队必然出线？若有一个队总积分是5分，则这个队可能出线吗？

22.（5分）小刚、小丁、小佳在小制作组、绘画组、书法组活动，根据下面的条件，你能判断出他们分别在

什么组活动吗？

小刚不在绘画组，也不在书法组；小丁不在小制作组；小佳不在绘画组。

23.（5分）三名学生进行了若干科目的考试，以考得的名次进行记分.考得第一名得分最多，其次是第二名，

第三名得分最少。各科都是如此记分.已知甲最后得22分，乙最后得9分，丙也是得9分.并且已知乙英语考试

得了第一名，问数学第二是谁？

24.（5分）老师让小新把小胖、小贝、小丸子、小淘气、小马虎的作业本带回去，小新见到这五人后就一人

第3页共11页

给了一本，结果全发错了.现在知道：

⑴小胖拿的不是小贝的，也不是小淘气的；

⑵小贝拿的不是小丸子的，也不是小淘气的；

⑶小丸子拿的不是小贝的，也不是小马虎的；

⑷小淘气拿的不是小丸子的，也不是小马虎的；

⑸小马虎拿的不是小淘气的，也不是小胖的.另外，没有两人相互拿错（例如小胖拿小贝的，小贝拿小胖的）.

问：小丸子拿的是谁的本？小丸子的本被谁拿走了？

25.（5分）小明、小华、小强星期天去公园划船，他们都戴了一顶漂亮的太阳帽。太阳帽有三种颜色：红、

黄、蓝。他们戴的分别是什么颜色的帽子?涂一涂。

我叔的不

他们栽的分我戢的不是

别是什么族是红色的

红色的，也不

色的帽子？

涂一涂°是黄色的J

小明小华小强

26.（5分）排课程表。

周四上午笑笑所在班级的四节课有语文、数学、英语、体育，语文老师9：00要参加会议，数学老师第三节要

听课，体育老师前三节没有课。请排出周四上午笑笑所在班级的课程表。（画“J”）

语文数学英语体育

8：10-8：50弟一下

9：00-9：40弟一下

10：00-10：40弟二下

10：50-11：30第四节

27.（5分）四个同学参加网上棋类比赛，每两个人都要赛一场.规定如下：胜者得2分，负者不得分，平

局得1分.比赛结果如下：两名同学并列第一名，两名同学并列第三名.已知比赛中有平局，那么第一名同学得

多少分？

第4页共11页

28.（10分）4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？

29.（5分）甲、乙、丙三人，一个总说谎，一个从不说谎，一个有时说谎.有一次谈到他们的职业.甲说：

“我是油漆匠，乙是钢琴师，丙是建筑师.”乙说：“我是医生，丙是警察，你如果问甲，甲会说他是油漆匠.”

丙说：“乙是钢琴师，甲是建筑师，我是警察."你知道谁总说谎吗？

30.（5分）一次数学考试，共六道判断题.考生认为正确的就画“，认为错误的就画“•”.记分的

方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分.已知」、B、C、D、E、F、G七人的

答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出G的得分.并简单说明你的思路.

ABCDEFG

1JJXX

24XX4XX

34XXXX

444xX

54xJX

64VxXXX

得分155597

31.（5分）小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小

王与农民不同岁；农民比小张年龄小。问：谁是工人？谁是农民？谁是教师？

第5页共11页

参考答案

一、最佳安排和选择方案（共20题；共103分）

【笫1空】2

1-K【第2空】8

解:54+3=1818-2=16

18+2=20

2-1、答：这三个偈数分别是16,18和20.

31、解：甲是数学郴B,乙是语文老颇，丙是体育老师.

4-1、

解：假设小白是骑士（说实话），则小蓝是骑士，小黑是辑子；又因为小蓝是骑士,那么小白、小蓝不同，一个是骑士,一个

是骗子，与小白、小盘均为埼土矛盾.假设小白是翁子（说假话），月弦小蓝是骄子，“柴是猗士，又因为小蓝是骗子，所以

小白、小蓝不同是假话.因此，小白、小蓝是梨子，〃要是殊t.

5-1、

解：假设最4曲男孩4岁.那么最大的女孩有4+4=8（岁）.四个女孩年豁都不同，最小的女孩应是5岁，那么最大的男

藻为5+4=9（岁），与题目说最大的孩子10岁矛盾.所以假设不成立.再假设最小的女孩J岁，那么最大的男读为

4+4=8岁，最大的女屋10岁,爵小的另核10-4=6^＞苻合题息.所以最大男孩是$岁■

6-1、

解：如图，将长方形按中级分为两部分，则由抽屉原孰必然有3个点在同一个区域，那么由这3个点所构成的三角形的面积必

然小于该区域的T,即长方形面的四分之一.

解：1个人3天用水：3+3=1（11）

1个人沃用水：1*3=3（115）

2人9天用水:3*9=27（桶）

7-K察：2人9/27HMC.

8、答案：略

第6页共11页

9-1

解：由篁意可知,这次比赛共需比9+8+7+-+2+1=45（盘）•

因为每盘比赛双方得分的和都是1分（1+0=1或0«5*2=1），所以1咯选手的总得分为1x45=45（分）.每个队的得分

不是初5,就是~&5"这样的，」MK.由于乙队选手平均得3.6分，3.6的50K倍不可能是“&5'这样的，JMS.所以，乙队的怠

得分是18或36.

但36-3力=10.而三个队一共才1昭选手（矛盾）•所以乙队的总分是18分，有选手18-3.6=5（名）・甲、丙两队

共有5名选手.

由于丙队的平均分是粉.这个队忘分片可能是9分,18分（不可能是27分）.因为27+18=45.中队选手忠得分为0

分）,丙队选手人数相应为1名.2名，甲队选手人数相应为4名,3S,经过试脸,甲队4名选手，丙队1名选手.

答:甲队4g选手,乙队活选手,丙队1名选手.

10-1、

解：两位数除以11的余数有11种:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,按余数情况把所有两位数分成H种.12个不同的两

位数放入11个抽卮,必定育至少2个数在同一个抽屉里，这2个数除以11的余数相同，两者的差f能整除11.两个不同的两位

数，差能®11%除，这个差也一定是两位数（如11,22......）,并且个位与十位相同.所以，田812个不同的两位数，其中一

定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数.

1『1、解：当然是f人两个楮子,只是

12、答案：略

13-1、

解：因为（2）当下午下雨时，当天上午恰好是暗天,如果上午下雨,下午也必定是晴天因此每天只可能上午或者下午下雨.设

他M了夜.（X-9）为下午襁的双,（X-13）为上午襁的次数（X-9）+（X-13）=8,2X=30,X=15,fK©了15天

解：10x10=100（钱）

14-1、答：一斤排号1001专.

15、答案：略

16-1,答：小而要买的是铅笔.

17-1、

解：假设男人今天说的是真话,那么今天是星期四、五、六，日其中的气,而且今天的前一^男人说的是假话，所以，根踞

另人的话，确定今天是星期四，所以女人说的话是假话，昨天也就5星期三女人说的是真话，苻合嬖意，所以，今天是星期四.

18-1、

第7页共11页

解：其实不用那么麻烦,我们发现“每只盒子外面所贴的标明总码重量的标签都是错的"这句话说明标签的可能只有两种:

两个1克两个2克f1克一两克

可能1:两个2克/］克一两克两个1克

可能2：T-l克一个两克两个1克两个2克

所以我们可以从标注“fl克一个两克“里面拿f,如果是-155-的就是上面月的情况，否则就是下面另的情况.

19、答案：略

20-1、

解：为简单起见,假定姓队得1分，负队不省分,其它条件不变,此种情况得到的花盍,各队都加上物•就是原题8爰.

因为共赛45场,每队赛9场，所以共产生45分.由两队并列第一,准知并列第T9队至少各输一场.

（1滤设并列第一的队各输1场,各得8分,如果并列第三的两个队各1ft两场，各得7分,另陷前四名的队共1觥场，而它们之间恰

好赛了6场,省以前四名的队胜了后面的所有队.由此推知，并列第五的队至少各输5场,最多各得4分，另眩后四名的队共将

45—（8+7+4）、2=7分，而后四名的得分只能是3.2、1、0,其和不等于7.所以并列第三的两个队不能各输两场,而是各输

三场,各得6分.此时,后6名的得分只能是5、5.4.2.1.0,

10个队的得分依次为：8.8.6,6,5、5.4.2.1,0.

（2湄设并列第一的队各输2场，各得7分,那么并列第三的队只能各输3场，各得6分（如果各输4场，后八名的队的得分只能是

5.5.4,4.3、2、1、0,危分不到45分），后六名的得分只能是5.5、4、3.2、0.此时1S队的得分依次为:7.7,6、

6、5、5、4、3、2、0.

（3渥设并列第一的队至少各输3场，则总分之多为6+6+5+5+4+4+3+2+1+0=36分，不合置意.

,各队得加：17.17.15.15.14.14.13.11.10.9;

或:16.16,15,15.14,14.13.12.11.9.

二、染色与赋值问题（共11题；共60分）

21-1、

解:$个队单单循环赛要赛6场，抵场比赛最多产生3分，则6场比赛最多产生18分.如果某队积6分，则剩下12分.可

能另两个队也各得6分，这样就要按进rm则排序，因此谟队稗可能不出线.如果基队枳7分，则剩下11分，这样另外三

个队中不可能再有两个队积分等于或超过7分,这样该队必然出线.因此T队为了晋级下一轮，至少卿7分才能保证必然

出线.若有f队总积分是5分，则其它三个队共积18-5=13（分），这个队可能排名前两名，所以稗可能出线.

22-1、解：〃甲在，」峋作组，4件在书法组.小丁在绘画组.

23-1、

第8页共11页

解：由乙英语第一，至少乙得3分，且忌分为9分.所以科目不会多于7科，且每科第一名至多得8分.又由甲息分为22分，所以

考试科目不少于3科.因为三人共得40分，而每科分配得分情况相同,故考试科目数应是40的约数，而3,6,7都不是40的约

数,所以只可能是4科或5科.若4科,每科共为1师.按名次分配应有4种：(7.2,1).(6.3.1),(5,4,1),

(5,3,2),由甲共得22分，且至多有3科第一(英语不是第一),则后三种情况不成立,因为即使是3科笫一,1科第二,总

分也这到不了22分.又由乙得9分，目英语第一.如果按(7,2,1)分配，即使其他三科都是最后一名,得1分,忌分也超过9

分.所以,以上几种情况不能成立.若是5科,壑供为8分,按名次分配只有两种：(5,2,1);(4,3,1),而后ftij

不能成立,原因仍然是不能与甲22分助&所以只有(5,2,1)符合题意.按照这种分配方褰:乙的得分情况是5,1,1,

1.1.甲的得分情况是5,5,5,5,2,且得2分的科目只能是英语,所以数字第二H能是丙.

解：根据“全发错了”及条件⑴~(5),可以得到下表：

小库的本小贝的本小丸子的本小海气的本小马虎

小胖XXX

小贝XXX

小丸子XXX

小淘气XXX

小马虎XXX

由表1看出，小海气的本被小丸子拿了.此时，再继续推理分析不大好下手，我们可用假设法.

由上君5］，小胖拿的本不是小丸子的就是〃0虎的.先假设小胖拿了小丸子的本.于是得到下表.

表中小贝勒0虎的本，虎拿小贝的本.两人相互拿错,不自题e.

小胖的本小贝的本小丸子的本小沏气的本小马虎

小林XXJXX

小贝XXXX4

小丸子XXXJX

XXXX

1小马虎XXXX

再假设小胖拿”0虎的本.于是又可得表，经检验，下表符合邈意.

小胖的本小贝的本小丸子的本小洵气的本小马虎

小胖XXXXJ

小贝4XXXX

小丸子XXXX

小海气XJXXX

小马虎XXJXX

24-1,所以小丸子拿了小冷气的本，小丸子的本被小马虎拿去了.

根壁分忻可得：小明藏的是黄色的，小华戴的是红色的，小强戴的是蓝色的，涂色如下：

他们戟.的分我戴的不金栽的不

是红色的

别是什么颜分红色的也不

色的帽子？&黄色的.)

涂一涂。

小明小强

25T、

第9页共11页

语文教学英语体育

8：10-8：50第一节V

9：00-9：40第二节

10：00-10：40第三节V

10：50-11：30第四节V

26-1、

27-1、

解：四个同学共赛4x3-2=6（场），忌分是6x2=12（分）.每名选手的忌分一定是0~6七个数之一，因为有两名同

字并列第一名，所以第一名的同学不可能都是全胜得6分，而且第一名的分数要大于3分♦下面进行枚举.

如果第一名的同学得5分，那么第三名的同学闻（12-5x2）-2=1（分），也就是第一名胜两场，平一场，第三名平一场，

负两场，各得1分；

如果第一名的同学得4分，月眩第三名的同学得（12-4x2）-2=2（分），也就是第一名胜一场，平两场，第三各负一场，

平两场，各得2分；

所以第一名同学得分为4分或5分.

解：分为三步：

第一步：4个男得先排,一共有4x3x2x1=24种不同的排法；

第二步：2个女的排次序一共有渔方法；

第三步：将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间,一共有5个位者可插.

28-1、瑁据季'去原理，一耳自21-25-240蚌雄二■

29-1、

解：甲.如果甲从不说谎,那么乙的最后一句、丙的第一句都对,没有总说谎的人，矛盾；同理，如果丙从不说谎，也将推出

矛盾.

30-1、

第10页共11页

解