江苏省连云港市赣榆区2024-2025学年高一下学期4月期中学业水平质量监测数学试题（A）（原卷版+解析版）

2024-2025学年度第二学期期中学业水平质量监测高一年级数学试题（A）（本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）1.设，若向量，，且，则m的值为（）A. B. C.4 D.92.设复数，（）.若为实数，则（）A. B.2 C. D.43.在中，若，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形4.在中，C是AB上一点，且，若，则实数的值为（）A. B. C.1 D.25已知，，则（）A. B. C. D.6.已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（）A. B. C. D.7.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.8.一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，若该船没有触礁危险，则，满足的条件为（）①②③④A.①③ B.②③ C.①④ D.②④二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）9.已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）A.z的虚部为B.复数z在复平面内对应的点位于第三象限C.z的共轭复数D10.已知，，是三个非零向量，则下列结论正确的是（）A.若，则B若，则C.若，，则D.不与垂直11.在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（）A.若，则为直角三角形B.若，则为等腰三角形C.若，则D.若是锐角三角形，则三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.在中，已知，，，则＝__________．13.已知，则__________.14.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，的面积，若且，则______.四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知向量，，.（1）求；（2）求与夹角.16.已知复数（）（1）若，求实数m的值；（2）若z为虚数，求实数m的取值范围；（3）若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.17.定义向量的“伴随函数”为，函数的“伴随向量”为.（1）写出向量的伴随函数，并直接写出的最大值M；（2）求函数的伴随向量的模.18.在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求证：；（2）若D为BC的中点，，，求AD的长.19.非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足（，且）（1）若，且，求的值；（2）求证：；（3）是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明，若不存在，请给出一个理由.

2024-2025学年度第二学期期中学业水平质量监测高一年级数学试题（A）（本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）1.设，若向量，，且，则m的值为（）A. B. C.4 D.9【答案】D【解析】【分析】根据向量平行得到方程，求出答案.【详解】由题意得，解得.故选：D2.设复数，（）.若为实数，则（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】利用复数除法法则化简，得到，解得.【详解】，为实数，故，解得.故选：B3.在中，若，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形【答案】A【解析】【分析】由正弦定理把已知的等式化边为角，结合两角和的正弦化简，求出，进一步求得，即可得解．【详解】解：由，结合正弦定理可得：，，可得：，，则的形状为等腰三角形．故选：．4.在中，C是AB上一点，且，若，则实数的值为（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】变形得到，故，得到答案.【详解】，所以，故.故选：D5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦和差公式得到方程，求出，利用同角三角函数关系得到答案.【详解】，，联立可得，所以.故选：B6.已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用投影向量的公式得到方程，求出，从而利用向量数量积运算法则得到答案.【详解】在向量上的投影向量为，故，所以，又，所以，所以.故选：C7.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由求得，再用倍角公式求即可.【详解】因为，，，所以，即，所以，解得或（舍），所以，故选：B8.一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，若该船没有触礁危险，则，满足的条件为（）①②③④A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【答案】C【解析】【分析】根据题意，过M作于C，结合正弦定理代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可知，，，过M作于C，设，根据正弦定理可得，，又因为x=BM⋅cos即，故（1）正确，mn>sin故选：C二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）9.已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）A.z的虚部为B.复数z在复平面内对应的点位于第三象限C.z的共轭复数D.【答案】AD【解析】【分析】A选项，利用复数的乘除运算和乘方运算得到，A正确；B选项，写出z在复平面内对应的点坐标，得到所在象限；C选项，根据共轭复数的定义得到C错误；D选项，利用模长公式得到D正确.【详解】A选项，，故虚部为-2，A正确；B选项，z在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限，B错误；C选项，z的共轭复数，C错误；D选项，，D正确.故选：AD10.已知，，是三个非零向量，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.不与垂直【答案】AC【解析】【分析】A选项，利用向量数量积公式得到，所以同向共线，A正确；B选项，只能得到，B错误；C选项，得到，，C正确；D选项，计算出，故D错误.【详解】A选项，，又，，是非零向量，所以，所以同向共线，A正确；B选项，若，则，非零向量，故，故不一定相等，B错误；C选项，若，，设，故，，C正确；D选项，，与垂直，D错误.故选：AC11.在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（）A.若，则为直角三角形B.若，则为等腰三角形C.若，则D.若是锐角三角形，则【答案】ACD【解析】【分析】A选项，由正弦定理得到，从而，得到A正确；B选项，由同角三角函数关系，正弦定理和二倍角公式得到，所以或，B错误；C选项，由大角对大边得到，由正弦定理得到；D选项，根据锐角三角形得到，结合正弦函数单调性和诱导公式比较出大小【详解】A选项，由正弦定理得，故，故，所以，即，则为直角三角形，A正确；B选项，若，则，由正弦定理得，又，故，所以，即，，所以或，所以或，为等腰三角形或直角三角形，B错误；C选项，若，则，由正弦定理得，又，，故，C正确；D选项，若是锐角三角形，则，则，其中，，又在上单调递增，故，故D正确.故选：ACD三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.在中，已知，，，则＝__________．【答案】或.【解析】【分析】利用正弦定理计算即可.【详解】由，且根据正弦定理可知，因为，所以或.故答案为：或.13.已知，则__________.【答案】【解析】分析】由得到，由两角和差余弦公式展开化简即可求解；【详解】由，得：，，，所以，故答案为：14.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，的面积，若且，则______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理和化简得到，求出，由三角形面积公式得到，由余弦定理得到方程，求出，舍去不合要求的解，由正弦定理得到【详解】，故，又，故，所以，因为，所以，故，，因为，所以，由三角形面积公式得，又，故，所以，由余弦定理得，即，所以，方程两边同除以得，解得，又，故，所以满足要求，舍去，故.故答案为：四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知向量，，.（1）求；（2）求与的夹角.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）求出，利用向量数量积运算法则得到，故，求出模长；（2）利用向量夹角余弦公式得到，得到.小问1详解】，故，故，解得，故，所以；【小问2详解】，又，故.16.已知复数（）（1）若，求实数m的值；（2）若z为虚数，求实数m的取值范围；（3）若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.【答案】（1）-1（2）（3）【解析】【分析】（1）根据得到为实数，从而得到方程和不等式，求出答案；（2）由求出答案；（3）根据第四象限的坐标特征得到不等式，求出答案.【小问1详解】，故为实数，，解得；【小问2详解】z为虚数，故，所以；【小问3详解】由题意得，解得17.定义向量的“伴随函数”为，函数的“伴随向量”为.（1）写出向量的伴随函数，并直接写出的最大值M；（2）求函数的伴随向量的模.【答案】（1），，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）先得到伴随函数，由辅助角公式得到最大值；（2）利用三角恒等变换得到，得到伴随向量，利用模长公式得到答案.【小问1详解】向量的伴随函数为，，当，即时，取得最大值，最大值；【小问2详解】，故伴随向量，故.18.在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求证：；（2）若D为BC的中点，，，求AD的长.【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得到方程，计算出；（2）作出辅助线，得到三角形全等，，由余弦定理得到方程，求出，进而求出答案.【小问1详解】由正弦定理得，所以，即，又，故，所以；【小问2详解】由（1）知，，故，延长至点，使得，连接，因为D为BC的中点，所以，又，所以≌，所以，在中，，由余弦定理得，即，解得，所以.19.在非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足（，且）（1）若，且，求的值；（2）求证：；（3）是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满