重庆市大学城第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

重庆市大学城第一中学校高届（下）3月月考数学试题考生注意：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.第Ⅰ卷选择题（满分分）85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式可得出所求代数式的值.【详解】．故选：B.2.对于非零向量，“”是“”的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据相反向量一定共线向量，共线向量不一定是相反向量可求解.【详解】对于非零向量，，因为，所以，则，即“”能推出，第1页/共16页但当时，，显然不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.已知，，，则的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数，对数函数，正弦函数的性质判断，，的范围，比较，，的大小即可.【详解】由指数函数性质得，由对数函数性质得，由正弦函数性质得，则，故B正确.故选：B.4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据，结合诱导公式即可求解.【详解】因为.又因为，所以.故选：D5.函数，的增区间是（）A.B.第2页/共16页C.D.【答案】C【解析】，再用整体代换的方法即可求出单调增区间.【详解】由题意，得.令，解得.所以函数的单调增区间为.因为，所以令，则得函数，的单调增区间为.故选：C.6.函数的最小值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据和可立即得到，再验证当时有，即可得到函数的最小值是.【详解】①一方面，显然，，故.②另一方面，当时，有.综合①②两方面，可知的最小值是.第3页/共16页故选：C.7.已知函数，若在上有且只有3个零点，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合的范围及正弦函数的图象和性质，求出的取值范围即可．【详解】由辅助角公式得，因为，所以，因为在上有且只有3个零点，所以结合正弦函数图象可知，解得，则，故A正确.故选：A8.函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】图象，分类讨论，将题意转化为函数与交点个数问题，根据二次函数性质求解即可.第4页/共16页【详解】当时，的图象如图所示，则，令，则方程为，，又，当时，若方程在内有两个不同的解，只需只有一解，即函数与，只有一个交点，又函数在上单调递减，所以，即；当时，，方程的解为和，当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意；当时，，方程的解为和，当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意；当时，若方程在内有两个不同的解，只需有两个不同的解，即函数与，有两个不同的个交点，又函数在上单调递增，在上单调递减，第5页/共16页所以，所以；综上所述，实数的取值范围为.故选：D.【点睛】关键点点睛：此类问题的常用解法是将函数的零点问题转化为方程根的问题，利用数形结合法得等式，解出即可.36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.下列各式的值为的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】正切公式可求AB倍角的余弦公式可求解C；利用二倍角的余弦公式可求解D；【详解】对于A：因为，所以原式，A不符合；对于B：原式，B符合；对于C：原式，C符合；对于D：原式，D符合.故选：BCD.第6页/共16页10.已知函数的部分图象如图所示（分隔直线右侧函数的零点为）A.函数的最小正周期为B.C.D.函数在上单调递增【答案】BC【解析】【分析】根据给定的函数图象，求出周期及，进而求出解析式，再根据正切函数的性质逐项判断即可.【详解】对于A，由图可知，函数的最小正周期，故A错误；对于B，由，所以，因为，则，则，因为，则，故B正确；对于C，，又，所以，所以，第7页/共16页所以，故C正确；对于D，由，得，而，即时，没有意义，故D错误；故选：BC.定义在上的函数满足的图象关于对称，设，则（）A.为奇函数B.为偶函数C.的图象关于点中心对称D.【答案】BCD【解析】【分析】由函数图象变换可得对称性，进而可得周期性，可得答案.【详解】对于A，函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到，直线向右平移个单位可得直线，因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线，即轴对称，函数为偶函数，故A错误；对于BC，由A可知，由，则，所以函数的图象关于成中心对称，由，则函数的图象可由函数向左平移个单位，再向下平移个单位得到，由点与轴向左平移个单位，再向下平移个单位得到点与直线，第8页/共16页则点与直线分别是函数图象的对称中心与对称轴，易知函数图象的对称中心与对称轴分别是点与直线，，当时，直线是函数图象的对称轴，函数是偶函数，故B正确，当时，点是函数图象的对称中心，故C正确，对于D，由，则，易知函数的最小正周期，则，易得，，，，所以，故D正确.故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题）35分填结果，不写过程）12.向量化简后等于______【答案】【解析】【分析】直接根据向量的加法法则写出结果即可.【详解】由向量加法的运算法则，可得.故答案为：13.在中，若，则的值为__________.【答案】2【解析】【分析】利用三角形内角和可求得，进而利用两角和的正切公式的变形公式可求解.【详解】在三角形ABC中，因为，所以第9页/共16页.故答案为：.14.式子的值为__________.【答案】【解析】【分析】先应用二倍角余弦公式，正弦公式及切化弦化简求出，再结合两角和正弦公式计算化简即可.【详解】故答案为：5分各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）15.平面直角坐标系中，角的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为第10页/共16页（1）求，；（2）化简并求值：.【答案】（1），（2），【解析】1）由三角函数的定义求出，再由二倍角的正切公式即可求出.（2）由诱导公式和同角三角函数的商数关系化简已知式即可得出答案.【小问1详解】根据三角函数定义：，，则，.【小问2详解】.16已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】1）利用平方关系、和角的正弦公式求值.第11页/共16页（2）利用平方关系、诱导公式及和角的余弦公式求值.【小问1详解】由，得，而，则，所以.【小问2详解】由，得，而，则，所以.17.建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系.（1）求的表达式：（2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.【答案】（1）（2）8小时【解析】1）根据三角函数的图像即可求得表达式；（2）根据正弦函数的图像与性质解即可得.【小问1详解】第12页/共16页因为图象上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，所以，所以，解得，将代入解析式，有，故，解得，由，故，所以；【小问2详解】由（1）得，，所以，所以，解得，因为，所以，所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时.18.已知函数的最大值为.（1）求的值和的对称轴；（2）求在上的单调递减区间；（3）若，成立，求的取值范围.【答案】（1），的对称轴方程为（2）第13页/共16页（3）【解析】1的最大值可求得的值，利用正弦型函数的对称性可求得函数的对称轴方程；（2可求出在上的减区间；（3在区间的最大值，即可得出实数的取值范围.【小问1详解】由题知，因为的最大值为，所以，可得，所以，由得.所以函数的对称轴方程为.【小问2详解】因为，令，则，因为的单调递减区间是，由，得，所以在的单调递减区间是.【小问3详解】第14页/共16页由题意知，由，可得，故当时，函数取最大值，所以，，因此，实数的取值范围是.19.已知函数．（1）若的终边经过点，求的值；（2）将的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象，求的最小值；（3）若函数在上的最大值为整数，求的值．【答案】（1）2；（2）；（3）．【解析】1）根据三角函数定义求出角，然后代入函数解析式计算可得；（2）通过配方，结合平方关系和辅助角公式化简，然后由平移变换和奇偶