考点04指对幂函数(核心考点讲与练)-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练(新高考专用)(解析版)

考点04指对幕函数(核心考点讲与练)

I.幕函数

⑴帚国数的定义

一般地，形如匚回的函数称为幕困数，其中X是自变量，«大常数.

(2)常见的5种幕函数的图象

⑶幕函数的性质

①鬲函数在(0,+8)上都有定义；

②当«>0时，幕函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增；

③当«<0时，幕函数的图象都过点(I,I),且在(0,+8)上单调递减.

2.分数指数幕

ffltl

(1)规定：正数的正分数指数幕的意义是*:夜心(),m，生N+,且心1)；正数的负分数

mI

指数鬲的意义是go，，〃，伯N+,且心1)；o的正分翻旨数幕等于o；o的负分

夜

数指数幕没有意义.

(2)有理指数鬲的运算性质：a'(f=a^.；(«r)'=«Z；(ab)r=a^,其中aX),bX),r,②Q.

3.指数国数及其性质

⑴概念：函数,，二d3>0且行I)叫恻旨数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R,

”是底数.

⑵指数函数的图象与性质

Cl>l0<«<1

图象一卡1.尸1

1*d|~~

定义域R

值域(0,+8)

过定点QLU,即x=0时，y=1

当x>0时，住1；当x<0时，回；

崛

当x<0时,0<v<1当x>0时，0<v<l

在(-8,+8)上是增函数在(-8,+8)上是减函数

4.对数的概念

一般地，对于指数式4N,我们把'以"为底N的对数加记作此胆，即b=log^(«>0,且

用1).其中，数里叫做对数的底数,乂叫做真数，读作"等于以〃为底N的对数二

5.对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①d呜产;且；②10gMz^仇心。，且M).

⑵对数的运算法则

如果a>0且，/1,MX),N>0,那么

①logJMN)=lognA/+logq/V；

M

②log为=-log“N；

③log“M"二川og，M〃£R)；

④loga"也"=,且〃?知).

⑶换底公式：血此喘(a,b均大于零且不等于I).

6.对数函数及其性质

(I)概念：函数y=log,M〃>0,且在1)叫做对数函数，其中X是自变量，函数的定义域是(0,

+8).

⑵对数函数的图象与性质

6>10<«<1

沪尸皿X=1

图象■))]

5

定义域：(0,+00)

值域：R

当x=1时，y=0,即过定点

当x>\时，y>Q;当QI时，y<0;

当0<\<1时,y<0当0<r<l时，y>0

在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

7.指数、对数、幕函数模型性质比较

国数y=ax>'=1。&述y=./

31)31)5>0)

在(0,+0C)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

1.鬲函数y=k(a£R)图象的特征

«>0时，图象过原点和(1.1)点，在第一象限的部分，上升”；«<()时，图象不过

原点，经过(1,1)点在第一象限的部分“下降,反之也成立.

2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令1得到底数的值再进

行比较.

3》旨数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数。与1的大小关系不确定时应

分0<6/<1和6/>1两种情况分类讨论.

4.对数值取正、负值的规律

当1且1或0<a<1且0<b<I时,log«Z?>0；

当1且0<b<1或0<。<1且1时，log”b<0.

5.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是，、同底

法，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.

6上戚幕、对数大小有两种常用方法：（1）数形结合；（2）找中间量结合函数单调性.

7.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线）'=1交点的

横坐标进行判定.

指数函数

一、单选题

I（2022・江苏・金陵中学模拟预测）已知《〃是正实数，函数），=4讹1+）的图象经过点（2.1）,

则■!■+：的最小值为（）

ab

A.3+2&B.9C.3-2&D.2

【答案】B

【分析】将（2，1）代入），=4比“2+。，得到〃，〃的关系式，再应用基本不等式r“的代换求

最小值即可.

【详解】由函数y=4aeE+〃的图象经过（2,1）,则，即4a+〃=l（a>0力>0）.

二扑4"〃）=卜+1+宗系「5+2厝=9,当且仅当〃=2*时取到等

a

故选：B.

2.(2022.江西上饶.二模(理))函数/(A)=式广的大致图像为()

【答案】B

【分析】根据函数为奇函数排除C,取特殊值排除AD得到答案.

【详解】当/")=3一,f(r)=VF=-"x),函数为奇函数，排除C；

9?1

，排除从口；

故选：B.

3.(2022河北秦皇岛二模)设〃=In2,26=5,c=202，则()

A.a>h>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

【答案】B

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.

02

【详解】因为《=ln2e(0,l),^=log25>log24=2,c=2e(l,2),

所以〃>C>4.

故选：B

4.(2022•浙江嘉兴二模)已知集合A=何2飞8},8={x|-lWxW6},则入3=()

A.(-8,6]B.[-1,6]C.D.(0,6]

【答案】A

【分析】先解出集合A,再计算A5即可.

【详解】人=1|2"£8}=卜卜43}，故AJ8=(—8,6].

故选：A.

二、多选题

5.（2022・广东汕头•二模）设〃/，c都是正数，且4"=6"=9：则下列结论正确的是（）

121

A.ab+bc=2acB.ab+bc=acC.4"・9'=4"-9'D.-=--------

cba

【答案】ACD

【分析】设4“-6〃-9,T,根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数器的运算法则，

逐一验证四个选项得答案.

【详解】解：设4"=6"=9'=，>1,则&=log/,/>=log,J,c=log/,

lg£lg£

所以以"四+她:=陋+眄

人calog/log/]g£Jg£

lg9Ig4

2

_1Q9।Ig4^1.g94-lg4_lg（9x4）_lg6_2

lg6Ig6lg6lg6lg6

BP-+-=2，所以，所以，故D正确；

cacabcha

由%2=2，所以必+加=2/%故A正确，B错误；

ca

因为4"9=4。.4"=（4"『，4*-9A=（4x9）h=（62）/，=（66）2,

又4〃=6=夕，所以（行二的“，即4叽9:4。.9。，故C正确；

故选：ACD

三、填空题

6.（2022.江苏南通模拟预测）若e<e'=e>wR，则2x-）的最小值为.

【答案】I+21n2

【分析】把表示成e'的函数，再借助均值不等式求解作答.

【详解】依题意，e'=e'+e,e'>0,贝!J

e"，=j:①=e'+j+2e32\「三+2e=4e,

eeeVe

当且仅当e>=G,即y=l时取“=”，此时，（2x-XU=l+2ln2,

所以，当x=l+ln2,y=l时，2x-y取最小值|+21n2.

故答案为：l+2ln2

一,x<0

7.（2022.辽宁锦州.一模）已知函数/（x）=*的值域为R,则实数。的取值范围

2A-,+1,x>0

.

【答案】卜8,-1

【分析】首先分别求分段函数两段的值域，再根据值域为R,列式求实数。的取值范围.

【详解】当x<0时，L。，当GO时，+?,

x323

因为函数的值域为R,所以：+?匕。,解得：”W-白.

故答案为：

8（2022・山西•二模（理））已知函数给出下列结论:①/（人）是偶函数

在（0,+8）上是增函数；③若/>0,则点（八/⑺）与原点连线的斜率恒为正.其中正确结论

的序号为

【答案】①③

【分析】对于①：利用偶函数的定义进行证明；

对于②：取特殊值：/（2）J（10）,否定结论；

对于③：直接表示出点亿〃川与原点连线的斜率为不J,并判断

2-22—2

【详解】

函数"X）=不」的定义域为（f，°）U（0,m）.

2—2

对于①：因为/（T）=WJ=FKT=/（X），所以是偶函数.故①正确；

2—22—2

8_32，/…1000-

对于②：取特殊值：由八,一二—记,-1024—L，得到/⑵,/（10），

41024

不符合增函数，可得②错误；

对于③:当"。时，点("(f))与原点连线的斜率为=因为，>0，所以231,

1—02—2

所以2,—2T>0，所以组U•故③正确；

所以正确结论的序号为①③.

故答案为：①③

9.(2022・福建龙岩•一模)已知函数f(x)=9i♦3、+机+6,若方程9(-幻+/(A)=0有解，

则实数，〃的取值范围是_________.

【答案】［2疝+4,内)

【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解.

【详解】由题意得：9'+9-〃心+3-*)+2,〃+12=0有解

令T+3-x=t(tN2),则T+9一工=产-2

+2m+10=0有解,即/2)=〃+10有解，显然/=2无意义

.-./>2,4/-2=j(y>0)

.,〃=():+2)-+10=)，+3+4»2至+4,当且仅当,，二%,即尸相时取等，

yyy

/Z/G［2VF4+4,+oo)

故答案为：［2714+4,-^).

10.(2022.海南.模拟预测)已知函数〃工)=亚匚二的定义域为［2,xo),则。=.

【答案】4

【分析】由已知可得不等式2、-屋0的解集为［2,+co),可知x=2为方程2'-。=0的根,即

可求得实数〃的值.

【详解】由题意可知，不等式2，-心0的解集为口内),则2、〃=。，解得。=4,

当4=4时，由2*-420,可得2"24=2?,解得入22,合乎题，意.

故答案为：4.

一、单选题

1.（2022辽宁锦州一模）若4,=5,=3,z=log"，，则1，），，z的大小关系为（）

Ay<x<zBz<x<ycx<y<zDz<y<x

【答案】A

【分析】首先指对互化得％=bg,3-v=log,3,再结合对数函数的性质判断北）•的范围和大

小，再结合对数函数的单调性比较》z的大小关系.

【详解】4*=3,.1.x=log43,5>=3,"=喝3,

0<log43<log44=l,.*.（）<%<1,0<log53<log55=l,.•.（）<），<1,且log^vlog4？，

即）YX//.0<y<x<l,

根据函数的单调性可知，logj>log,x=l,即z>l

/.y<x<z.

故选：A

2.（2022•广东惠州.一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香

农公式：C=Wlog2（l+得），它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率。取决

于信道带宽卬、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中?叫做

信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带

宽W,而将信噪比《从1000提升至5000,则C大约增加了（）（附：及2。0.3010）

N

A.20%B.23%C.28%D.50%

【答案】B

【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.

S

【详解】将信噪比方从1000提升至5000时，。大约增加了

Wlog/1+5000)-Wlog?(【+1。00)

Wlog?(1+1000)

lg5000IglOOO

lg2-lg2^lg5

log25001-log,1001

logJOOIIglOOO—3

馆2

故选：B.

3.(2022.北京顺义.二模)函数”x)=«+ln(2-x)的定义域为()

A.[0,2)B(f2)C.[O,+8)D.(0,2)

【答案】A

【分析】由对数函数的性质和二次根式的性质求解.

(x>0

【详解】由题意、、八，解得.

，一X>U

故选：A.

4.(2022河南新乡二模(文))函数〃x)=ainW的部分图象大致为()

【答案】B

【分析】先利用定义砌口奇偶性排除选项D,再利用特殊值排除选项A、C.

【详解】因为/⑺的定义域为{小，()},

且/(-x)=(-%)2•InIT=x2.In国=/(x),

所以为偶函数，其图象关于y轴对称,

故排除选项D；

又/(；)=-野<0,所以排除选项A；

又/(2)=4ln2>。，所以排除选项C.

故选：B.

5.(2021.吉林东北师大附中模拟预测(理))已知函数尸%(丁-"+3。)在［1,同上为

减函数，则实数〃的取值范围是()

A.a<2B.a<2

C.--<a<2D.--<a<2

22

【答案】c

【分析】分析可知内层函数“=/_z+%在四位)上为增函数，且有小n=1+2。>。,可

得出关于实数"的不等式组，由此可解得实数〃的取值范围.

【详解】令”=/一依+3a,因为外层函数户1弋"为减函数，

所以内层函数〃…+3。在卜+8)上为增函数，则泊，得心2,

且有%皿=1+2〃>0，解得

综谜，-g<aK2.

故选：C.

3

6(2022•山西二梅理))已知“是/("=一./一耳/+6*一5的一个零点力是g(x)=e'+x+l

的一个零点，。=2嗔5，则()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.a<c〈b或cvbva

【答案】A

【分析】利用导数研究函数/3的单调性得/(x)仅有I个零点，且"-3，结合函数4⑺

的单调性与零点的存在性定理得根据对数运算得c=-log,25，进而_3<C、<-2,

再根据范围得大小.

【详解】解：因为/(%)=—/一542+6工一5,r(x)=-^2-3x+6=-3(x+2)(x-l),

所以“力在(—,-2)上是减函数，在(-2,1)上是增函数，在(Lxc)上是减函数，

因为〃1)=-5<。，所以/(A仅有।个零点，

IQ

因为/(-3)=-5<。，所以av-3,

因为g(x)=e*+x+l是增函数，且g(-l)，>0,^(-2)=1-1<0,

ce

所以,

因为c=21og[5=-k)g3252<log,25<3,

所以-3vc<-2,所以

故选：A.

二.多选题

7.(2021诃北石家庄.模拟预测)已知函数/("=In是偶函数，则()

e

A.a=-\B./(x)在(0,+。)上是单调函数

C.“X)的最小值为1D.方程，(力=2有两个不相等的实数根

【答案】BD

【分析】根据偶函数定义求得“，由复合函数的单调性得出八幻的单调性，从而可判断各选

项.

已-2*I14.1I1v11

【详解】/⑶是偶函数，则h】==In=W,『Je?12ay2x恒

eeee

成立,所以a=l,A错；

e2c+1

/(x)=ln__,

e

由勾形函数性质知〃=，+；在年1时是增函数，又r=S在/0时有壮I且为增函数，

所以/(x)=ln(e，+p)在xw(0,E)上是增函数，B正确，

“X)为偶函数,因此/⑴在(―，。)上递减，所以/(幻口=」2,C错;

易知XTy时，f(x)->内，即/")的值域是IIn2,+OO),

所以〃幻=2有两个不相等的实根.D正确.

故选：BD.

2川+2-修一2,xWO

8.(2020.全国.模拟预测)已知函数f(力=・

AX

|log2|,>0

/(%)=/(%)=/(芍)=/(%),且〈覆<七，则()

A.A-+x,=-1B.x3x4=1

C.x3<\<xi<\/2D.0<A]+x2+x+x4<-2

【答案】BCD

【分析】首先根据函数的解析式得到F=2“'+2〜-2关于直线x=-1对称，那么函数/(%)

图像只取.v=25+2-i-2,。的部分图像，〃x)(x>0)的图像将对数函数在工轴下方的

图像翻到上方即可，从而得到西，与，0匕的范围，进而判断AB选项；令

/(百)=/(毛)=/(玉)=〃七)=。得到。<“弓，从而得到工&；又

14工《正时，X+&+.q+X,=-2+X,+V,再根据基木不等式求解范围即可

【详解】当xWO时，〃”=2川+2+，一2.

设函数《(”=2'+2-'-2,则有g(—x)=g(x),g(0)=0,

g(x)=2x+2X-2>2ylrx2x-2=0,故g(”是偶函数,且最小值为0.

当x>0时，^(x)=T\n2-2-xIn2=(2V-Tx)In2>0,

所以g(x)在(。,一)上单调递增，

又gW是偶函数，所以g(“在(f，。)上单调递减.

把g(x)=2'+2--2的图象向左平移一个单位长度,

得到函数冲产+2-i-2的图象，

故函数v=+2---2的图象关于直线％=-1对称，

故可得到函数/(x)在(F，0]上的图象.

作出国数/("的大致图象，如图所示.

又/（o）=g,故函数/（工）的图象与y轴的交点为;

作平行于i轴的直线）'="，

当0＜心；时，直线。与献/（X）的图象有四个交点.

数形结合可知X+毛=-2,故A错误；

由/（毛）=〃5）,得|隆2七|=|隆2七|,

又根据题意知事＜1＜%,

所以一1。氏占=1。82七，BplOg,A；+lOg2X3=0,

即1喝（七七）=0,所以*4=1,故B正确；

令降2七|=||%刈=；,

则晦占=-；，晦匕=；，得超=4，X4=yf2,

乙乙乙

因此*，故c正确；

Lc1

又lvx4W&时，为+*2+占+勺=-2+%+：,

X4

且函数），=-2+x+J在（1,用上单调递增，

所以。＜X+A\+A-,+x4＜-2,故D正确.

故选：BCD

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（I）从函数的定义域，判断图象的左右位置；

从函数的值域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判新图象的变化趋势.（3）从函

数的奇偶性，判断图象的对称性.（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方

法排除、筛选选项.

三、双空题

|log,A-|,0<A-<3

9.（2022河［格家庄二模）已知函数/*）=.（K\.若存在实数

sinl—x

满足为<占<小兀，且/（司）=/优）=/（匕）=/（且），则西与=,（七-3）（.0-3）

的取值范围是____________.

【答案】I（0,27）

【分析】作出函数f（x）的图象，结合图象可知M，和如&之间的关系，利用此关系直接求出

内占,再将伍-3）（.j-3）转化为关于心的二次函数求范围即可.

【详解】

|log3;c|.0<x<3

作出函数即卜喉q,3SE5的图象，如图

因为/（百）=/（/）=/（七）=）（七），

所以由图可知，TogM=log〃2,即百々=1,受/=9，且3<巧<9,

2

.,.（七一3）（5-3）=x3x4-3（X3+x4）+9=x3（18-x3）-45=-x3+18.v5-45,

,.,），=-4+18凸-45在（3,9）上单调递增，

/.0<y<27,

即（内—3）（七一3）的取值范围是（0,27）.

故答案为：1；（0,27）

四、填空题

io.（2022・海南・模拟预测）若对任意的"0且〃工1,函数/*）=1咆,（戈-】）+1的图象恒过

定点P,则点P的坐标为.

【答案】（2,I）

【分析】根据对数函数的图象和性质，令】毁,。-1）=0,解得32,进而得出点〃坐标.

【详解】令（％-1）=。，解得1=2,

则"2）=logJ+l=l,

所以点/'的坐标为（2,1）.

故答案为：（2,1）.

11.（2022•江西赣州•二模（理））若函数/"）=1惆［（&-2讨在（-0.0）上是减函数,则〃

的取值范围是___________.

【答案】（L4）

【分析】根据定义域可以推出6-2<0，根据，=（&-2）x是减函数，且〃力在（Y,0）上是

减函数，可得。>1,从而可得lv”<4.

【详解】由题意可得。>0且awl,

因为函数f（x）=logj（6-2M在y,0）上是减函数，所以XW（FO）,

所以6-2<。，即0<〃<4,/=（右一2）x是减函数，

由于在（3,0）上是减函数，所以”>1,

所以。的取值范围是（1，4）.

故答案为：。，4）

五、解答题

12.（2020・全国•一模（文））（1）已知上>0,），>0,z>0，证明：号+9+力之!+1+!；

xyzxyz

（2）已知”>1,b>\,c>\，且血=8，若噢门叫“+地门呜”+1咆：1咱'技人颜立，

求实数k的最大值.

【答案】（1）证明见解析；（2）3.

【分析】（i）由基本不等式可得之+幻2\口^二，同理可得的范围，

XXXXyZZX

化简整理即可得证.

（2）利用换底公式可得1强/=舞,同理可将bg/，log：化简，代入原式，可得

•og2

警+警+髻，又|。4=告同理可将|昨〃，|喧变形，代入，结合（1）结论，

log2log2log2log。

即RJ求得结果.

【详解】（1）证明：由尤＞o，」＞o，得2+1之2耳工=2,即,

X"y\xyxrxx

同理,4+1^-.

y2yzxz

yzA11I222

以上三式相力口，得方+■7+7'+_；+'；+7之_；+：+：

Ayzyzxyzx

（当且仅当x=y=z时取等号），

故W+W+WzLL"!"成立.

xyzxyz

（2）解：1。8/1。82"+1。8313；+1。瓦「1。82'=臂邛+詈/+詈哼

log?log,log2

二log/।logj।log：

■log：2log：2log；2'

根据（I），得警।占।占

loga2log,,2log,2logtflog,,log,

=log/+log2"+logJ=log2"尻=log?=3

所以，AW3,故实数k的最大值为3.

【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，对数的计算与化简，考查计算化

简，分析求值的能力，属中档题.

'考向客席函数

一、单选题

I.（2022.北京.一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（）

A.y=lnxB.y=exC.y=.r3D.y=-

x

【答案】C

【分析】利用指数函数，对数函数，幕函数和反比例函数的性质判断.

【详解】A.函数y=lnx的定义域为(0,+功,值域为R;

B.函数y=e'的定义域为R,值域为(0，+8)；

C.函数)，=/的定义域为R,值域为R；

D.函数.'，=：的定义域为｛Xie。｝,值域为3"。｝,

故选：C

2.(2021.河北衡水中学模拟预测)已知幕函数八=是定义在区间㈠，网上的奇函数，

则〃〃?+1)=()

A.8B.4C.2D.1

【答案】A

【分析】由奇函数定义域的对称性得，〃=1,然后可得函数解析式，计算函数值.

【详解】因为幕函数在17,川上是奇函数，所以，〃=1,所以,所以

3

/(^+1)=/(1+1)=/(2)=2=8,

故选：A.

3.(2021•江西•模拟预测)已知寨函数的图象过点(2,8),贝(J〃?+a=()

A.0B.2C.4D.5

【答案】c

【分析】根据鬲函数的形式及过定点即可求解.

【详解】解：因为/。)=，，内为幕函数

所以，〃=1

又/(x)=，，N的图象过点(2⑻

即8=2"

解得。=3

所以〃?+。=4

故选：C.

4.（2021・四川乐山市教育科学研究所一模（理））已知幕函数f（x）=x"和=其中

。＞夕＞。，则有下列说法：

①/⑴和g（x）图象都过点（11）；

②“幻和g（x）图象都过点（-11）；

③在区间山内）上，增长速度更快的是/W;

④在区间口，内）上，增长速度更快的是,式工）.

则其中正确命题的序号是（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

【答案】A

【分析】由寨因数的性质进行分析判断即可

【详解】幕函数的图象过定点（1」），①正确，

在区间［l.+co）上，。越大了=•产增长速度更快，③正确,

故选：A.

5.（2022.全国・贵阳一中二模（文））下列函数中是减函数的为（）

A.f(x)=xB./(x)=f|jc.f(x)=x-2D.f(x)=^

【答案】D

【分析】依次判断4个函数的单调性即可.

31

【详解】A选项为增函数，错误；B选项：＞1,为增函数，错误；C选项f（x）=厂2=）在

2x

（7,0）为增函数，在（0,+8）为减函数，错误；D选项人%）=口=_/为减函数，正确.

故选：D.

6.（2022•陕西宝鸡.三模（理））若，则下列结论正确的是（）

A.«3-^>0B.2a<2h

C.ln(«-/>)>()D.|《<网

【答案】B

【分析】对于A、B,构造函数，借助函数单调性比大小；

对于C,ln（a-3没有意义；

对于D,取特值判断.

【详解】对于A,构造函数/（工）=/，因为/（*）="、单调递增，又a<b，所以/3）〈/（力,

.•.4<-Z?3<0,故A答案不对；

对于B，构造函数/（*）=21因为/⑶=2,单调递增，又,•a<。，所以/（«）<f（b）,,2a<2"

故B答案正确；

对于C,，.，（0-»没有意义,故C答案不对；

对于D,取乐T,力=1时，向第，故D答案不对；

故选：B.

二、多选题

7.（2022・全国•模拟预测）已知实数〃>0，〃>0，CGR,且。+力=1,则下列判断正确的是（）

A.a2+b2>^-B.ac2<bc2

2

C.ah>（2-a）bD.^^<1

7a+1

【答案】AD

【分析】利用均值不等式可判断A;取c=。可判断B；借助黑函数），=/的单调性，结合

0<a力<1可判断C；作差法可判断D

【详解】由于,

由均值不等式"+8=整2而二而,当且仅当时等号成立

42

222

\,a+h=（a+h）-2ab=\-2ab>\-2x^=L，当且仅当a=〃=g时等号成立，故A

正确；

选项B,由于cwR,当c=0时，ac2=bc2,故B错误；

选项C,由于a>0、）>0,«+/?=1,故,即a<2—a

由于0<%<1,），=/在（0.+8）单调递增，故〃故C错误；

选项D,2/j-l^-1=9A-/7-2,由于0<«力<1;.劝一。一2<0,。+1>0,故2^/2_-11一1<0,

a+1a+1a+\

.・一2h-\<1,故D正确

故选：AD

8.（2021・山东模拟预测）已知实数小，〃满足2"，>2",则下列不等式恒成立的是（）

A.cosm<cosn

B.若机>0,n>0,则log/vbgj

C./'E>e3n+2

D.若〃?>0,〃>0，则而>。

【答案】BCD

【分析】由2"，>2"，根据y=2'为R上的增团数，所以，〃>〃，再逐项分析判断即可得解.

【详解】因为），=2、为R上的增函数，所以〃?>〃.

因为函数N=cosx在R上有增有减，所以A中的不等式不恒成立，A错误；

因为函数、'=，Ogl］在（（），+8）上单调递减，

所以当，〃>0,〃>。，心〃时，吗〃‘<叫"，故B正确；

因为.v=/在R上单调递增，所以当，心”时，e32Hs2,故C正确；

因为函数y=«在（。，+8）上单调递增，

所以当，〃>0,〃>0，心〃时，y/m>4n，故D正确.

故选：BCD.

9.（2021•全国•模拟预测）已知e为自然对数的底数，则下列判断正确的是（）

A.3e'21t<3ne*2B.?dog3e>310gxe

c

C.loge>—D.ne

nn

【答案】BCD

【分析】由幕函数），=/在（。，+8）上递减，即可判断A;根据对数性质有kge〉log.e>。，

即可判断B;构造函数），=二，求导判断单调性即可判断C；根据C中的结论可判断D.

X

【详解】对于A,因为尸尸在（0,+向上递减，则尸>广3，所以尸尸>3广2,故A错；

对于B,由于log3e>l°g->Q,则乃log3e>Tlog*e>31og»,故B正确；

对于C,设y=卓，则y=（0’=匕詈

当0<x<e时，/>□,当e<x时，/<0,

所以函数尸止在/包）单调递减，则叱<巫，得£<普=1唯/，故C正确；

x7teInT

a\v\c

对于D,由C项知一<--,贝！Jeln乃<;rlne,即In/<Inen,所以/<e,r,故D正确.

冗ln?r

故选：BCD.

10.（2021•山东潍坊•三模）已知函数［=四（。>0且）的图象如下图所示，则下列四

个函数图象与函数解析式对应正确的是（）

【答案】ABD

【分析】由函数图象过点（12）可得”的值，根据指数、对数、幕函数图象的特点逐一判断

即可.

【详解】由图可得"=2,即"=2,

y=6=（£）单调递减过点（-1,2），故A正确;

,，=尸=/为偶函数，在（0,y）上单调递减，在（YO,0）上单调递增，故B正确；

y=胪=2凶=；；"":为偶函数，结合指数函数图象可知c错误；

2,x<0

y=|log〃M=|log2M,根据“上不动、下翻上”可知D正确;

故选：ABD.

三、填空题

11.（2022.内蒙古赤峰.模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数

/«=.

①〃T）=/（X）；

②当.r«0,y）时，/（x）>0;

③/（书）=/&）/（々）；

【答案】丁（答案不唯一）；

【分析】根据给定函数的性质,结合偶数次幕困数即可写出符合要求的解析式.

［详解］由所给性质：/⑶在（9,0），（（），内）上恒正的偶函数，且/（邛2）=/（。/（毛）,

结合偶数次幕函数的性质，如：/（x）=V满足条件.

故答案为：./（答案不唯一）

12（2022.四川泸州模拟预测（文））已知当时，函数=1的图象与&（%）=石

的图象有且只有一个公共点，则实数〃，的取值范围是________.

一313

【答案】［2##/般2

.4J4

【分析】根据题意画出图象，结合图象即可求解结论.

【详解】函数过定点40,-1）,如图：

故答案为：[；3，2].

13.（2022•北京通州一模）幕函数/（力=/在（0，+动上单调递增，g"）=V在（。，+功上

单调递减，能够使y=/（x）-g（x）是奇函数的一组整数，〃，〃的值依次是__________.

【答案】1,-1（答案不唯一）

【分析】根据幕函数在。内）上的单调性得到〃?〉。,〃<0，再根据>=/（力一屋村是奇函数

可以得到幕函数/（灯和幕函数g。）都是奇函数，从而可得机〃的很多组值.

【详解】因为幕函数/（力=/在（。，+8）上单调递增，所以心o,

因为幕函数,式力=/在（0，钻）上单调递减，所以〃<0,

又因为y=是奇加，所以鬲函数/（X）和鬲函数月。）都是奇函数，所以，〃可以

是I,〃可以是-L

一、单选题

I.(2021•全国•高考直题)已知。=logs2,b=10gli3,c=；,则下列判断正确的是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】C

【分析】对数函数的单调性可比较“、〃与，的大小关系