老校数学竞赛试题及答案

老校数学竞赛试题及答案姓名：____________________

一、多项选择题（每题2分，共20题）

1.若函数\(f(x)=x^2-4x+3\)的图像与x轴相交于两点，则这两个点的横坐标是：

A.1和3

B.2和3

C.1和2

D.3和4

2.已知等差数列\(\{a_n\}\)的首项为3，公差为2，则第10项的值为：

A.21

B.23

C.25

D.27

3.若\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，且\(a,b,c,d\)均不为0，则以下哪个结论一定成立？

A.\(ad=bc\)

B.\(a^2=bc\)

C.\(b^2=ac\)

D.\(a+b=c+d\)

4.若\(a^2+b^2=25\)，且\(a-b=3\)，则\(ab\)的值为：

A.4

B.6

C.8

D.10

5.在直角坐标系中，点\(A(2,3)\)关于原点的对称点是：

A.\(A'(-2,-3)\)

B.\(A'(2,-3)\)

C.\(A'(-2,3)\)

D.\(A'(3,-2)\)

6.若等比数列\(\{a_n\}\)的首项为2，公比为\(\frac{1}{2}\)，则第5项的值为：

A.\(\frac{1}{16}\)

B.\(\frac{1}{8}\)

C.\(\frac{1}{4}\)

D.\(\frac{1}{2}\)

7.若\(x^2-5x+6=0\)，则\(x^3-5x^2+6x\)的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

8.若\(x^2-4x+3=0\)，则\(x^3-4x^2+3x\)的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

9.若\(x^2-6x+9=0\)，则\(x^3-6x^2+9x\)的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

10.若\(x^2-8x+16=0\)，则\(x^3-8x^2+16x\)的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

11.若\(x^2-10x+25=0\)，则\(x^3-10x^2+25x\)的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

12.若\(x^2-12x+36=0\)，则\(x^3-12x^2+36x\)的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

13.若\(x^2-14x+49=0\)，则\(x^3-14x^2+49x\)的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

14.若\(x^2-16x+64=0\)，则\(x^3-16x^2+64x\)的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

15.若\(x^2-18x+81=0\)，则\(x^3-18x^2+81x\)的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

16.若\(x^2-20x+100=0\)，则\(x^3-20x^2+100x\)的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

17.若\(x^2-22x+121=0\)，则\(x^3-22x^2+121x\)的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

18.若\(x^2-24x+144=0\)，则\(x^3-24x^2+144x\)的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

19.若\(x^2-26x+169=0\)，则\(x^3-26x^2+169x\)的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

20.若\(x^2-28x+196=0\)，则\(x^3-28x^2+196x\)的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

二、判断题（每题2分，共10题）

1.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-5x+6=0\)的两个根，则\(a+b=5\)。（）

2.在直角坐标系中，任意一条线段的中点坐标是该线段两端点坐标的平均值。（）

3.若\(a\)和\(b\)是等差数列\(\{a_n\}\)的任意两项，且\(a<b\)，则\(a_n\)的值随着\(n\)的增大而增大。（）

4.若\(a\)和\(b\)是等比数列\(\{a_n\}\)的任意两项，且\(a>b\)，则\(a_n\)的值随着\(n\)的增大而减小。（）

5.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-5x+6=0\)的两个根，则\(ab=6\)。（）

6.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-5x+6=0\)的两个根，则\(a^2+b^2=5\)。（）

7.在直角坐标系中，任意一条线段的长度等于该线段两端点坐标差的平方的平方根。（）

8.若\(a\)和\(b\)是等差数列\(\{a_n\}\)的首项和末项，且\(a+b=10\)，则\(a_n\)的值总是等于5。（）

9.若\(a\)和\(b\)是等比数列\(\{a_n\}\)的首项和末项，且\(a\cdotb=16\)，则\(a_n\)的值总是等于4。（）

10.在直角坐标系中，任意一条线段的斜率等于该线段两端点坐标差的比值。（）

三、简答题（每题5分，共4题）

1.简述一元二次方程的解法，并举例说明。

2.解释等差数列和等比数列的定义，并给出一个例子。

3.说明如何求一个直角三角形的斜边长度，如果已知两个直角边的长度。

4.解释函数图像的对称性，并举例说明。

四、论述题（每题10分，共2题）

1.论述勾股定理在解决实际问题中的应用，并举例说明如何利用勾股定理解决实际问题。

2.探讨函数的性质对函数图像的影响，并举例说明不同性质函数的图像特征。

试卷答案如下

一、多项选择题答案

1.A

解析思路：根据一元二次方程的根的判别式，\(D=b^2-4ac\)，当\(D>0\)时，方程有两个不同的实根。对于\(f(x)=x^2-4x+3\)，有\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4>0\)，所以方程有两个不同的实根，且\(1+3=4\)。

2.C

解析思路：等差数列的第\(n\)项公式为\(a_n=a_1+(n-1)d\)，其中\(a_1\)是首项，\(d\)是公差。对于数列\(\{a_n\}\)，有\(a_1=3\)，\(d=2\)，所以\(a_{10}=3+(10-1)\cdot2=3+18=21\)。

3.A

解析思路：根据比例的基本性质，若\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，则\(ad=bc\)。

4.A

解析思路：使用配方法将\(x^2-4x+3\)分解为\((x-1)(x-3)\)，因此\(a=1\)，\(b=3\)，所以\(ab=1\cdot3=3\)。

5.A

解析思路：点\(A(2,3)\)关于原点对称，其对称点坐标为\((-x,-y)\)，所以对称点为\((-2,-3)\)。

6.A

解析思路：等比数列的第\(n\)项公式为\(a_n=a_1\cdotr^{(n-1)}\)，其中\(a_1\)是首项，\(r\)是公比。对于数列\(\{a_n\}\)，有\(a_1=2\)，\(r=\frac{1}{2}\)，所以\(a_5=2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}\)。

7.A

解析思路：\(x^3-5x^2+6x=x(x^2-5x+6)\)，因为\(x^2-5x+6=0\)，所以整个表达式等于0。

8.A

解析思路：同理，\(x^3-4x^2+3x=x(x^2-4x+3)\)，因为\(x^2-4x+3=0\)，所以整个表达式等于0。

9.A

解析思路：同理，\(x^3-6x^2+9x=x(x^2-6x+9)\)，因为\(x^2-6x+9=0\)，所以整个表达式等于0。

10.A

解析思路：同理，\(x^3-8x^2+16x=x(x^2-8x+16)\)，因为\(x^2-8x+16=0\)，所以整个表达式等于0。

11.A

解析思路：同理，\(x^3-10x^2+25x=x(x^2-10x+25)\)，因为\(x^2-10x+25=0\)，所以整个表达式等于0。

12.A

解析思路：同理，\(x^3-12x^2+36x=x(x^2-12x+36)\)，因为\(x^2-12x+36=0\)，所以整个表达式等于0。

13.A

解析思路：同理，\(x^3-14x^2+49x=x(x^2-14x+49)\)，因为\(x^2-14x+49=0\)，所以整个表达式等于0。

14.A

解析思路：同理，\(x^3-16x^2+64x=x(x^2-16x+64)\)，因为\(x^2-16x+64=0\)，所以整个表达式等于0。

15.A

解析思路：同理，\(x^3-18x^2+81x=x(x^2-18x+81)\)，因为\(x^2-18x+81=0\)，所以整个表达式等于0。

16.A

解析思路：同理，\(x^3-20x^2+100x=x(x^2-20x+100)\)，因为\(x^2-20x+100=0\)，所以整个表达式等于0。

17.A

解析思路：同理，\(x^3-22x^2+121x=x(x^2-22x+121)\)，因为\(x^2-22x+121=0\)，所以整个表达式等于0。

18.A

解析思路：同理，\(x^3-24x^2+144x=x(x^2-24x+144)\)，因为\(x^2-24x+144=0\)，所以整个表达式等于0。

19.A

解析思路：同理，\(x^3-26x^2+169x=x(x^2-26x+169)\)，因为\(x^2-26x+169=0\)，所以整个表达式等于0。

20.A

解析思路：同理，\(x^3-28x^2+196x=x(x^2-28x+196)\)，因为\(x^2-28x+196=0\)，所以整个表达式等于0。

二、判断题答案

1.×

解析思路：\(a+b=5\)，因为\(a^2-5a+6=0\)可以分解为\((a-2)(a-3)=0\)，所以\(a\)和\(b\)的可能值为2和3，或3和2。

2.√

解析思路：这是线段中点公式的基本定义。

3.×

解析思路：等差数列的项随\(n\)的增大而单调变化，但不一定是增大。

4.×

解析思路：等比数列的项随\(n\)的增大而单调变化，但不一定是减小。

5.×

解析思路：\(ab=6\)，因为\(a\)和\(b\)的可能值为2和3，或3和2。

6.×

解析思路：\(a^2+b^2=5^2=25\)，而不是5。

7.√

解析思路：这是线段长度公式的定义。

8.√

解析思路：等差数列中项的平均值总是等于首项和末项的平均值。

9.×

解析思路：\(a\cdotb=16\)，因为\(a\)和\(b\)的可能值为2和8，或8和2。

10.√

解析思路：这是斜率的定义。

三、简答题答案

1.一元二次方程的解法包括公式法和配方法。公式法利用求根公式\(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)直接求解，配方法是将方程转换为完全平方形式\((x-h)^2=k\)，然后求解。

2.等差数列是指一个数列中，任意两项之间的差是一个常数，这个常数称为公差。例如，数列\(\{1,3,5,7,9,\ldots\}\)是一个等差数列，公差为2。等比数列是指一个数列中，任意两项之间的比是一个常数，这个常数称为公比。例如，数列\(\{2,6,18,54,162,\ldots\}\)是一个等比数列，公比为3。

3.使用勾股定理\(a^2+b^2=c^