江苏省中考数学模拟试卷含答案

江隙堵中考救号旗料被基

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，一

项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（）

c.b

A.JB/D口

2.（3分）下列各数中，小于-2的数是（)

A.-"\/5B.-C.-V2D.-1

3.（3分）分式,可变形为（）

3-x

A.B.-—i―C.D.--L-

3+x3+xx-3x-3

4.（3分）一组数据3、2、4、5、2,则这组数据的众数是（)

C.3.2D.4

6.（3分）若点P在一次函数）=-x+4的图象上，则点尸一定不在（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.（3分）已知〃是正整数，若一个三角形的3边长分别是〃+2、〃+8、3/7,则满足条件的〃

的值杓（)

A.4个B.5个C.6个D.7个

8.（3分）若反比例函数y=-2的图象上有两个不同的点关于），轴的对称点都在一次函数

x

的图象上，则〃?的取值范围是（）

A.m>2屈B.〃？V-2亚

C.机>2加或用V-2&D.-2&VmV2加

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程请把答案直接

填写在答题卡相应位置上）

9.（3分）2019年5月首届大运河文化旅游博览会在扬州成功举办，京杭大运河全长约

1790000米，数据1790000米用科学记数法表示为.

10.（3分）分解因式：db-9ab=.

11.3（分）扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下:

抽取的毛绒玩具数〃2050100200500100015002000

优等品的频数相19479118446292113791846

优等品的频率皿0.9500.9400.9100.9200.9240.9210.9190.923

n

从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是.（精确到

0.01）

12.（3分）一元二次方程x（x-2）=x-2的根足.

13.（3分）计算：（在-2）20,8（V5+2）2°19的结果是.

14.（3分）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若N44C=26°,则NA8=°.

15.（3分）如图，AC是0。的内接正六边形的一边，点8在菽上，且BC是。。的内接正

十边形的一边，若/W是。。的内接正〃边形的一边，则〃=.

B

16.（3分）如图，已知点E在正方形ABC。的边A8上，以BE为边向正方形A8CO外部作

正方形BEFG,连接OF,M、N分别是。。、。尸的中点，连接MM若AB=7,BE=5,

则MN=.

17.（3分）如图，将四边形A8CO绕顶点A顺时针旋转45°至四边形A"C。'的位置,

若A8=16c•〃?，则图中阴影部分的面积为cm2.

18.（3分）如图，在△4BC中，AB=5,AC=4,若进行以下操作，在边上从左到右依

次取点。1、。2、。3、。4、…；过点。I作4B、AC的平行线分别交AC、AB于点Ei、尸i；

过点。1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点及、尸2;过点。3作A8、AC的平行线

分别交AC、AB于点E3、尸3…，则4（。归|+。2及+~+42019及019）+5（。声|+£>2/2+…

+£>2019户2019)H

三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（8分）计算或化简：

（1）V8-（3-TT）。-4cos45°；

（2）

a-11-a

4（x+lX?x+13

20.（8分）解不等式组，，并写出它的所有负整数解.

X_4<2Z8

21.（8分）扬州市“五个一百工程”在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所

用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图

不完整的频数分布表和频数分布直方图.

每天课外阅读时间频数频率

0V/W0.524

0.5VK1360.3

IVW1.50.4

1.5V忘212b

合计a1

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表中a=,b=；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过I小时的人数.

22.（8分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景渔从哥

德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可

以表示为两个素数的和”.如20=3+17.

（1）若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是；

（2）从7、II、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机拍取I

个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率.

23.（10分）“绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治

任务.甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙

工程队整治2400米所用的时间相等.求甲工程队每天修多少米？

24.(10分)如图，在平行四边形中，4E平分ND43,己知C£=6,BE=8,DE=

1().

(1)求证：ZBEC=90°；

(2)求cos/OAE.

25.(10分)如图，A8是。。的弦，过点。作。C_LO4,OC交AB于P,CP=BC.

(1)求证：BC是。。的切线：

(2)已知/840=25°,点Q是就上的一点.

①求NAQ8的度数；

②若OA=18,求京加长.

26.(10分)如图，平面内的两条直线八、/2,点4,8在直线八上，点C、。在直线/2上，

过4、B两点分别作直线/2的垂线，垂足分别为4,Bi,我们把线段叫做线段AB

在直线/2上的正投影，其长度可记作7\人%。小或7(AB，1&J,特别地线段AC在直线/2

，的正投影就是线段AC.

请依据上述定义解决如下问题：

(1)如图I,在锐角A48C中，/W=5,T(AC.AB)=3,则Tec;

(2)如图2,在RtAAfiC中，NACB=90°,T(AC,AB)=4,T,BC.八比一9,求AABC

的面积；

(3)如图3,在钝角△48C中，NA=60°，点。在A8边上，ZACD=90°,T<AD,4C)

=2,T(BC.AB)=6,求T(RC.CD)，

图1

27.（12分）如图，四边形ABC。是矩形，A8=20,8c=10,以CO为一边向矩形外部作

等腰直角△GQC,NG=90°.点M在线段A8上，且AM=〃，点P沿折线A。-QG运

动，点Q沿折线8C-CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ〃4B.设

PQ与/W之间的距离为x.

（I）若4=12.

①如图1,当点P在线段A。上时，若四边形AMQP的面积为48,则x的值为；

②在运动过程中，求四边形4MQP的最大面积；

（2）如图2,若点P在线段OG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50,求。

的取值范围.

28.（12分）如图，已知等边△48C的边长为8,点。是48边上的一个动点（与点A、13

不重合）.直线1是经过点夕的一条直线，把△/WC沿直线1折叠，点4的对应点是点V.

（1）如图I，当PB=4时，若点次恰好在AC边上，则4夕的长度为；

（2）如图2,当PB=5时，若直线1〃AC,则8夕的长度为；

（3）如图3,点〃在A8边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC,△AC）的面积是

否变化？若变化，说明埋由：若不变化，求出面积:

（4）当PB=6时，在直线1变化过程中，求△ACB'面积的最大值.

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，一

项是符合题目要求的，请格正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（）

A.JB.刀C.bD.口

【分析】根据中心对称图形的概念判断.

【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

8、不是中心对称图形，故此选项错误；

。、不是中心对称图形，故此选项错误：

是中心对称图形，正确.

故诜：D.

【点评】本题考查的是中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后两部分重合.

2.（3分）下列各数中，小于-2的数是（）

A.-V5B.-V3C.-V2D.-1

【分析】根据题意，结合实数大小比较的法则，从符号和绝对值两个方面分析可得答案.

【解答】解：比-2小的数是应该是负数，且绝对值大于2的数，

分析选项可得，-V5<-2<-V3<-V2<-1，只有4符合.

故选:4.

【点评】本题考查的是有理数大小比较的法则：①正数都大于0;②负数都小于0；③

正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小.

3.（3分）分式二-可变形为（）

3-x

A.B.--L-c.-L-D.-

3+x3+xx-3x-3

【分析】直接利用分式的基本性质分析得出答案.

【解答】解：分式」一可变形为：

3-xx-3

故选：D.

【点评】此题主要考查了分式的基本性质，正确将原式变形是解题关键.

4.（3分）一组数据3、2、4、5、2,则这组数据的众数是（）

A.2B.3C.3.2D.4

【分析】根据众数的定义即可求出这组数据的众数.

【解答】解：在这组数据中2出现了2次，出现的次数最多，则这组数据的众数是2；

故选：A.

【点评】此题考查了众数的定义：熟记众数的定义是解决问题的关键.

5.（3分）如图所示物体的左视图是（）

【分析】根据左视图是矩形，左视图中间有横着的实线进行选择即可.

【解答】解：左视图为:

故选:B.

【点评】本题考查实物体的三视图.在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出

来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉.

6.（3分）若点P在一次函数y=・x+4的图象上，则点P一定不在（）

A.第象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数），=-x+4的图象经过第一、

二、四象限，此题得解.

【解答】解：•・•-1<0,4>0,

工一次函数y=-户4的图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限.

•・•点P在一次函数y=-%+4的图象上，

・••点P一定不在第二象限.

故选：c.

【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一

次函数的性质解答.

7.（3分）己知〃是正整数，若一个三角形的3边长分别是〃+2、〃+8、3〃，则满足条佝的〃

的值有（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

【分析】分两种情况讨论：：①若〃+2V〃+8W3〃，②若〃+2V3〃W〃+8,分别依据三角形

三边关系进行求解即可.

【解答】解:①若n+2V〃+8W3〃，则

n+2+n+8>3n

n+843n

解得卜<1°,即40V1O,

n>4

J正整数〃有6个:4,5,6,7,8,9；

②若〃+2V3〃W〃+8,则

n+2+3n〉n+8

3n4n+8

解得，，即2V〃W4,

n<4

・•・正整数〃有2个：3和4；

综上所述，满足条件的〃的值有7个，

故选：

【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，在运用三角形三边关系判定三条线段

能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大丁•第三条线段的长度即可判定这三

条线段能构成一个三角形.

8.（3分）若反比例函数y=-2的图象上有两个不同的点关于），轴的对称点都在一次函数

X

），=-户〃7的图象上，则根的取值范围是（）

A./n>2^2B.m<-2^2

C.机>2加或m<-2&D.-2^2<m<2^2

【分析】根据反比例函数图形上点的坐标特征得到反比例函数_y=-2的图象上有两个

x

2

不同的点关于y轴的对称点在反比例函数），=2的图象匕解方程组，^7得，

x

y=-x+m

〃o+2=0,根据y=2的图象与一次函数y=-x+m的图象有两个不同的交点，得到方程

x

/-〃“+2=0有两个不同的实数根，于是得到结论.

【解答】解：•・•反比例函数），=-2的图象上有两个不同的点关于）,轴的对称点在反比

X

例函数），=2的图象上,

X

2

V——-

・••解方程组4x得;r・〃m+2=0,

y="x+m

Vy=2的图象与一次函数），=-x+m有两个不同的交点,

X

，方程7-蛆+2=0有两个不同的实数根，

.,.△=W?2-8>0,

・・・切>2亚或m<-2加,

故选：C.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称的点的坐标,

正确的理解题意是解题的关键.

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分,不需写出解答过程请把答案直接

填写在答题卡相应位置上）

9.（3分）2019年5月首届大运河文化旅游博览会在扬州成功举办，京杭大运河全长约

1790000米，数据1790000米用科学记数法表示为1.79Xd.

【分析】科学记数法的表示形式为“X10〃的形式，其中lW|a|V10,〃为整数.确定〃

的值时，要看把原数变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞1时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

【解答】解:数据1790000米用科学记数法表示为1.79XK）6,

故答案为：1.79X106.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为〃X10〃的形式，其

中iwmivio,〃为整数，表示时关键要正确确定〃的值以及〃的值.

10.（3分）分解因式：cr'b-9ab=ab（a+3）（a-3）.

【分析】首先提取公因式时，然后再利用平方差公式继续分解，即可求得答案.

【解答】解：cr'h-9ab=a(/-9)=ab(〃+3)(a-3).

故答案为：ab(a+3)(a・3).

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解.注意先提公因式，再利用公

式法分解因式，注意分解要彻底.

】】.(3分)扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如卜.：

抽取的毛绒玩具数〃2050100200500100015002000

优等品的频数19479118446292113791846

优等品的频率皿0.9500.9400.9100.9200.9240.9210.9190.923

n

从这批玩具中，任意推取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是-0.92.(精确到

0.01)

【分析】由表中数据可判断频率在0.92左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一

个毛绒玩具是优等品的概率为0.92.

【解答1解：从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92,

故答案为0.92.

【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发牛.的频率在某个固定

位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集

中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是

近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.

12.(3分)一元二次方程x(X-2)=x・2的根是xi=2,任=1.

【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【解答】解：x(x-2)=x-2,

x(x-2)-(x-2)=0,

(x-2)(x-1)=0,

x-2=0,x-1=0,

XI=2»X2=1,

故答案为：x\=2,X2=l.

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是

解此题的关键.

13.(3分)计算：(证-2)20,8(V5+2)2019的结果是_加乜

【分析】先根据积的乘方得到原式=［（避-2）（丑2）产18•（加+2）,然后利用平方

差公式计算.

【解答】解：原式=［（V5-2）（泥+2）严氏（的+2）

=（5-4）20,8*（V5+2）

=yf^+2,

故答案为JW+2.

【点评】本题考杳了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后

进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，

灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

14.（3分）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若NABC=26°，则NACQ=128°.

【分析】直接利用翻折变换的性质以及平行线的性质分析得出答案.

【解答】解：延长。C

由题意可得：^ABC=ZBCE=ZBCA=26°,

则NACD=1800-26c-26°=128°.

故答案为：128.

【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确应用相关性质是解题

关键.

15.（3分）如图，AC是0。的内接正六边形的一边，点8在标上，且BC是。。的内接正

十边形的一边，若人B是00的内接正〃边形的一边，则〃=15.

【分析】根据中心角的度数=360。+边数，列式计算分别求出N4O从N30C的度数,

则NAOC=24。，则边数〃=360°+中心角.

【解答】解:连接80.

是。。内接正六边形的一边，

・・・NAOC=360°4-6=60°,

•••8C是。。内接正十边形的一边，

AZBOC=36()°4-10=36°,

：.ZAOB=ZAOC-ZBOC=60°-36°=24°,

An=360°+24°=15；

【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正十边形的性质；根据题意求出

中心角的度数是解题的关键.

16.(3分)如图，已知点正在正方形ABC。的边上，以BE为边向正方形48C。外部作

正方形BEFG,连接。F,M、N分别是QC、。尸的中点，连接MN.若48=7,BE=5,

则MN=豆.

~2~

【分析】连接CR则MN为△OC户的中位线，根据勾股定理求出C户长即可求出MN的

长.

【解答】解：连接CF，

;正方形4BCO和正方形BEFG中，AB=7,BE=5,

:・GF=GB=5,BC=7,

・•・GC=GB+BC=5+7=12,

•••CF=7GF2+GC2=V52+122=13,

•；M、N分别是。c、。尸的中点,

:.MN=—CJT=A?..

22

故答案为：11.

2

【点评】本题考查了正方形的性质及中位线定理、勾股定理的运用.构造基本图形是解

题的关键.

17.（3分）如图，将四边形ABCO绕顶点A顺时针旋转45°至四边形CD'的位置,

若AB=]6cm,则图中阴影部分的面积为32ITcm?.

【分析】由旋转的性质得：NB48=45°,四边形ABCD'g四边形ABC。，图中阴影部

分的面积=四边形ABCD的面积+扇形A88的面积-四边形A8C7J的面积=扇形ABB'

的面积，代入扇形面积公式计算即可.

【解答】解：由旋转的性质得：N6AZr=45°,四边形/WCDW四边形A6CD,

则图中阴影部分的面积=四边形"CO的面积+扇形A38的面枳-四边形/W'CQ'的面枳

2

=扇形488的面积=死兀X16=32大

360

故答案为：321T.

【点评】本题考查了旋转的性质、扇形面积公式；熟练掌握旋转的性质，得出阴影部分

的面积=扇形AA用的面积是解题的关键.

18.（3分）如图，在△ABC中，AB=5,AC=4,若进行以下操作，在边8C上从左到右依

次取点。1、。2、。3、/*…；过点。1作48、AC的平行线分别交AC、AB于点Ei、产i；

过点。作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点反、尸2;过点八3作/W、AC的平行线

分别交AC、AB于点&、尸3…，则4（。归|+。2及+…+£>2019及019）+5（DlQ+Z>2/2+…

+£>2019^2019)=40380

D1F1AB-D1E1

【分析】'：D\F\//AC,D\E\//AB,可得11二------4，因为AB=5,BC=4,则

ACAB

有4。|昌+5。|乃=20；同理有如下规律4£>2石2+5£>2”2=20,…，4D2019^2019+5D2019F2019

=20；

【解答】解：・・・DiFi〃AC,D\E\//AB,

.DFIBF]「FlAB-D1E1

•--------二-----,HJ---------二---------

ACABACAB

VAB=5,BC=4,

A4DiEi+5DiFi-20,

同理4DZEZ+SDZBMZO,…，4D2019E2019+5£>2019F201i>=20,

.*.4（DIEI+£>2E2+**'+Z>2019E20I9）+5（QiPi+£>2尸2+…+£）2019尸2019）=20X2019=40380；

故答案为40380.

【点评】本题考查平行线的性质，探索规律；能够艰据平行线的性质和等量代换得到

4DiEi+5DiFi=20是解题的关键.

三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题R指定区域内作答，解答时应写出必耍

的文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（8分）计算或化简：

（1）V8~（3-n）°-4cos45°；

a21

（2）

a-11-a

【分析】（1）先化简二次根式、计算零指数幕、代入三角函数值，再计算乘法，最后计

算加减可得；

(2)先变形为同分母分式相减，再依据法则计算，继而约分即可得.

【解答】解：(1)原式=2亚-1-4X返

2

=2加-I-2亚

=-1；

21

(2)原式=_5_--L-

a-1a-1

_a2-l

a-1

=(a+1)(aT)

a11

=67+1.

【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则.

4(x+lX7x+13

20.(8分)解不等式组，Kx-8，并写出它的所有负整数解.

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式4(x+1)W7x+13,得：x2・3,

解不等式厂4〈且，得：x<2,

3

则不等式组的解集为-3《xV2,

所以不等式组的所有负整数解为-3、-2、-1.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

21.(8分)扬州市“五个一百工程”在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所

用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如图

不完整的频数分布表和频数分布直方图.

每天课外阅读时间血频数频率

0V/W0.524

0.5VW1360.3

K.50.4

I.5V/W212b

合计a1

根据以上信息，回答下列问题：

(1)表中〃=120,b=0A；

(2)请补全频数分布直方图；

(3)若该校有学生1200人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数.

【分析】(1)由0.5VW1的频数与频率可得总人数小再用12除以总人数可得匕的值;

(2)总人数乘以0.4得出第3组频数，从而补全图形；

(3)利用样本估计总体思想可得.

【解答】解：(1)«=36：0.3=120,b=\2：120=0.1,

故答案为：120,0.1；

(2)1V/W1.5的人数为120X0.4=48,

补全图形如下：

(3)估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数为1200X(0.4+0.1)=600(A).

【点评】本题主要考查频率分布直方图和频率分布表的知识和分析问题以及解决问题的

能力，解题的关键是能够读懂统计图，并从中读出有关信息.

22.（8分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景渔从哥

德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可

以表示为两个素数的和”.如20=3+17.

（1）若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是—看_；

（2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机摘取1

个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率.

【分析】（1）直接根捱概率公式计算可得；

（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算

可得.

【解答】解：（1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概

率是工.

4

故答案为上.

4

（2）树状图如图所示：

7111923

/KA4\A

111923719237”2371119

共有12种可能，满足条件的有4种可能，

所以抽到的两个素数之和等于30的概率=2=工

123

【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃,

再从中选出符合事件A或3的结果数目/〃，然后利用概率公式计算事件4或事件8的概

率.

23.（10分）“绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治

任务.甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙

工程队整治2400米所用的时间相等.求甲工程队每天修多少米？

［分析】直接利用甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等，

得出等式求出答案.

【解答】解：设甲_L程队每天修x米，则乙工程队每天修（1500-x）米，根据题意可得：

3600=2400

x1500-x

解得：x=900,

经检验得：x=900是原方程的根，

答：甲工程队每天修900米.

【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键.

24.(10分)如图，在平行四边形A8c。中，AE平分NQAZL己知C£=6,BE=8,DE=

10.

(1)求证：ZBEC=90°；

【分析】(1)根据平行四边形的性质得出QC=4B,AD=CB,DC//AB,推出NOE4=

ZEAB,再根据角平分线性质得出ND4E=NQE4,推出AQ=£>£=10,得出AB=CO=

16,由勾股定理的逆定理即可得出结论；

(2)由平行线得出NAB£=N8£C=9(r,由勾股定理求出7AB2+BE2=8^

得出co$ND4E=cosNE4“，即可得出结果.

【解答】(1)证明：•・•四边形人BCQ是平行四边形，

：,DC=AB=,AD=BC,DC//AB,

：.ZDEA=ZEAB,

•・・AE平分/DAB,

：,ZDAE=ZEAB,

:,/DAE=NDEA

：.AD=DE=\(),

；・BC=10,AB=CD=DE+CE=\6,

VCE2+^E2=62+82=100=BC2,

•・.△BCE是直角三角形，ZSEC=90°；

(2)解：,:AB"CD,

.•・NA8&'=N8£C=90

:AE=22

,7AB+BE=7162+82=8加’

/.cosZDAE=cosZEAB==-13=2y

AE8^55

【点评】本题考查了平行四边形性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判

定、三角函数等知识点，证明AD=OE是解题的关键.

25.（10分）如图，48是。。的弦，过点。作。C_LQ4,OC交AB于P,CP=BC.

（1）求证：8c是。。的切线：

（2）已知NBAO=25°,点。是［滴上的一点.

①求NAQ8的度数：

②若OA=18,求就的长.

【分析】（1）连接08,根据等腰三角形的性质得到NOA8=NO8A,ZCPB=ZPBC,

等量代换得到NAPO=NC8P,根据三角形的内角和得到NC4O=90”,于是得到结论；

（2）①根据等腰三角形和直角三角形的性质得到N/i«O=25°,NAPO=65。，根据三

角形外角的性质得到NPO8=NAPO-N4BO=40°,根据圆周角定理即可得到结论；

②根据弧长公式即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接。8,

•・・Q4=OB,

：,ZOAB=ZOBA,

丁PC二CB,

；・NCPB=NPBC,

,?NAPO=NCPB,

/./APO=/CBP,

yOClOA,

：.ZAOP=90°,

.•.NOA”+NAPO=90",

・・・/。80+48。=90°,

・・・NC8O=90°,

・・・8C是OO的切线：

(2)解：①•・・N8AO=25<>,

AZABO=25°,ZAPO=65°,

・•・NPOB=ZAPO-NA8O=40°,

AZAQB=^-(NAOP+NPOB)=上义130°=65°；

22

②・・・乙4。8=65°,

・・・/AOB=130°,

:.溢的长=羸的长=230•兀X-=231T.

180

【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，弧长

的计算，圆周先定理，熟练正确切线的判定和性质定理是解题的关键.

26.（10分）如图，平面内的两条直线八、“，点A,8在直线/1上，点C、。在直线/2上，

过4、8两点分别作直线/2的垂线，垂足分别为4,Bi,我们把线段叫做线段AB

在直线/2上的正投影，其长度可记作八/皿CD）或7（AB，1J,特别地线段AC在直线，2

上的正投影就是线段4c.

请依据上述定义解决如下问题：

（I）如图I,在锐角&48C中，/W=5,T.4GAB）=3,则兀8cA历=2；

（2）如图2,在RtAABC中，NACB=90°,TlAc,AB>=4,Tec.八方一9,求AABC

的面积；

(3)如图3,在钝角△ABC中，ZA=60°，点。在AB边上，ZACD=90°,T^AD,4C)

=2,T\BC.AB)=6,求T<BC,CDif

【分析】(1)如图1中，作C”_LAB.根据正投影的定义求出8H即可.

(2)如图2中，作CHJ_44于从由正投影的定义可知4〃=4,BH=9,利用相似三角

形的性质求解CH即可解决问题.

(3)如图3中，作人。干H,BKA.CD干K.根据正投影的定义，求出CD、DK

即可解决问题.

【解答】解：(1)如性1中，作CHL4B.

**T（AC.AB）=3,

：,AH=3,

VAB=5,

：,BH=5-3=2,

:.T,BC.AB）=BH=2,

故答案为2.

(2)如图2中，作C〃_LA8于”.

c

图2

•:T(AC.AB)=4,T(BC,AB)-9,

：.AH=4tBH=9,

VZACB=ZCHA=ZCHB=90r>,

・・・NA+NACH=90°,ZACH+ZBCH=90°,

・•・ZA=ZBCH,

・•・XACHsACBH,

-

CH丽AH

C4H

-

C9HCH

：.CH=6,

/.Sz\BC=工・AB・CH=1X13X6=39.

22

(3)如图3中，作CH_LA。于H,BK工CD于K.

・・NACQ=9()",T<AD,ACy=2,

"C=2,

••/A=60°,

•・NAOC=N8OK=30°,

•・CO=V^C=2盯AD=2AC=4,AH=^AC=],DH=AD-AH=3,

2

T,BC.AH)=6,CH1AB,

BH=6,

DB=BH-DH=3,

在中，VZAT=90°,BO=3,ZBDK=30°,

.•・QK=8Q・cos3（r=2^,

2__

・•・CK=CD+DK=2V3+，

：,T,BC.CD）=CK=?!叵

2

【点评】本题属于三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，勾股定理，相

似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直

角三角形解决问题，属于中考压轴题.

27.（12分）如图，四边形A8C。是矩形，AB=20,8c=10,以CQ为一边向矩形外部作

等腰直角△GDC,NG=90°.点M在线段A8上，且AM=a,点P沿折线AD・Z）G运

动，点Q沿折线BC-CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段尸。〃A从设

PQ与八8方间的距离为x.

（1）若4=12.

①如图1,当点P在线段4。上时，若四边形AMQP的面积为48,则x的值为3；

②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；

（2）如图2,若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50,求a

的取值范围.

【分析】（1）①尸在线段AD上，PQ=AB=20,AP=x,AM=\2,由梯形面积公式得出

方程，解方程即可I

②当P,在AO上运动时，P到。点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，得出OVx

W10时，四边形AMQP面积的最大值=£（12+20）10=160,

当。在。G上运动，10VxV20,四边形AMQP为不规则梯形，作于M,交.CD

于N,作GELCD于E,交AB于产,则PM=x,PN=x-10,

EF=BC=10,由等腰直角三角形的性质得出GE=2-CO=IO,得出GF=GE+EF=20,

2

GH=20-x,证明△GPQS/XG。。，得出比例式，得出尸Q=40-2x,求出梯形AMQP

的面积=工(12+40-2x)Xx=-(x-13)2+169,由二次函数的性质即可得出结果；

2

(2)夕在。G上，则I0<x<20,AM=a,2。=40-2x,梯形AMQP的面积S=L(。+40

2

-2x)Xx=・/4■”包工,对称轴工=10+总，得出10W10+且W15,对称轴在10和15

244

之间，得出104V20,二次函数图象开口向下，当x无限接近于20时，S最小，得出

-2()2+竺包X20250,。25；即可得出答案.

2

【解答】(1)解：①尸在线段AO上，PQ=AB=2(),AP=x,AM=\2,

四边形AMQP的面枳=£(12+20)x=48,

解得：x=3：

故答案为：3；

②当P,在AO上运动时，尸到。点时四边形AMQ尸面积最大，为直角梯形，

•••OVxWlO时，四边形AMQP面积的最大值=工(12+20)10=160,

2

当P在。G上运动，10<x<20,四边形AMQP为不规则梯形，

作PM_LAB于M,交CD于N,作GE_LCO于E,交AB于F,如图2所示：

则PN=x-10,EF=BC=10,

•••△GOC是等腰直角三角形，

:・DE=CE,GE=-tCD=10,

2

/.GF=GE+EF=20,

：.GH=20-x,

由题意得：PQ//CD,

AAGPC^AGDC,

GH

---

GE‘

P-Q

2o

DC一

-

PQ1o

20

2x,

J梯形AMQP的面积=•1•(12+40-2x)Xx=-.?+26x=-(x-13)2+169,

2

・••当x=13时，四边形AMQP的面积最大=169；

(2)解：P在OG上，则10WxV20,AM=a,PQ=40-2x,

梯形AM。，的面积S=L(a+40-Zv)Xx=-f+处且x,对称轴为：x=10+总,

224

•・・o«o,

•••10W10+且W15,对称轴在10和15之间，

4

•・,10WxV20,二次函数图象开口向下,

・••当x无限接近于20时,S最小,

・•・・2()2+4°+aX20250,

2

；・。25：

综上所述，。的取值范围为5W〃W20.

【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三

角形的判定与性质、梯形面积公式、二次函数的性质等知识；本题综合性强，有一定难

度，证明三角形相似是解题的关键.

28.(12分)如图，已知等边3c的边长为8,点。是