近五年重庆中考数学真题及答案2024

2024年重庆中考数学试题及答案（A卷）

（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；

2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；

3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色25铅笔完成；

4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回.

"_b_4ac-lQ

参考公式：抛物线产西+云十°（"°）的顶点坐标为I2。’而1对称轴为

b

X—

2a*

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的卜面，都给出代号

为A、B、C、〃的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应

的方框涂黑.

1.下列四个数中，最小的数是（）

1

A.-2B.0C.3D.一一

2

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了有理数比较大小，解题的关键是掌握比较大小的法则.根据正数大于0,

0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案.

【详解】解：〈？〉。〉一,〉一2,

2

・•・最小的数是—2；

故选：A.

2.下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（）

c.D.

【答案】C

【解析】

【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线

折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这

时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键.

【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意：

C、是轴对称图形，故本诜项符合题意：

D、不是轴对■称图形，故本选项不符合题意；

故选：C.

3.已知点（一3,2）在反比例函数》=与2=0）的图象上，则〃的值为（）

A.-3B.3C.-6D.6

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把（-3,2）代入），=&（攵。0）求解即可.

k

【详解】解：把（一3,2）代入），=一（攵工0）,得

X

&=—3x2=—6

故选C.

4.如图，AB〃CD,Zl=65°,则N2的度数是（）

B.115°C.125°D.135°

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得N3=N1=65。，由邻补角性

质得N2+N3=180。，然后求解即可，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键.

【详解】解：如图，

•・,AB//CD,

AZ3=Z1=65°,

VN2+N3=180。，

・•・Z2=115°,

故选：B.

5.若两个相似三角形的相似比是1:3,则这两个相似三角形的面积比是（）

A.1:3B.1:4C.1:6D.1:9

【答案】D

【解析】

【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解

答即可.

【详解】解：两个相似三角形的相似比是1:3,则这两个相似三角形的面积比是1:9,

故选：D.

6.烷烧是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结

构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子，第2种如

图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第1（）种化合物的分

子结构模型中氢原子的个数是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可.

【详解】解：由图可得，

第1种如图①有4个氢原子，即2+2x1=4

第2种如图②有6个氢原子，即2+2x2=6

第3种如图③有8个氢原子，即2+2x3=8

・•.第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：2+2x10=22；

故选：B.

7.已知根=如一⑺，则实数小的范围是（）

A.2<72?<3B.3<77?<4C.4<77?<5D.

5<m<6

【答案】B

【解析】

【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取

值范围的方法是解决此题为关键.先求出后-6=即可求出川的范围.

【详解】解：・・・加=后一石=36—百=26="1,

<3<a<4,

，3<<4,

故选：B.

8.如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AO氏为半径画弧，两弧有且仅有

一个公共点.若AO=4,则图中阴影部分的面积为（）

B.16G-4兀

c.32-47：I).16X/3-8K

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识.根据题意可得AC=24）=8,由勾

股定理得出AB=45用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论.

【详解】解：连接4C,

根据题意可得AC=2AD=8,

•・•矩形ABC。，AAD=BC=4,ZABC=90°,

在RtAABC中，AB=4AC?-BC?=46，

・•・图中阴影部分的面积=4x46-2x则把=166-8乃.

360

故选：D.

9.如图，在正方形A6CZ）的边CD上有一点七，连接力石，把绕点七逆时针旋转90「

得到庄，连接。『并延长与A8的延长线交于点G.则——的值为（）

CE

「3&

A.V2B.6V/.D,在

22

【答案】A

【解析】

【分析】过点尸作0c延长线的垂线，垂足为点凡则/，=90。，证明&AD比

则AD=£7/=1,设OE=H/=x,得到Hb=C”=x，则N”b=45。，故b=&x，

同理可求CG=08C=&，则/G=CG-a=Q(1-x),因此

FG=V2(l-.r)=^

CE\-x

【详解】解：过点尸作。C延长线的垂线，垂足为点〃，则NH=90。,

•・•四边形ABC。是正方形，

・・・？。90?,DC//AB,DA=DC=BC,设DA=DC=8C=1,

：・/D=/H,

•「ZA£7/=N1+ZAE/=N2+N£>,

・••N1=N2，

:・.ADE^EHF，

:・DE=HF，AD=EH=T,设DE=HF=x,

则CE=DC-DE=l-x,

：.CH=EH-EC=\-(\-x)=x,

/.HF=CH=x,而N，=90。，

・•・ZHCF=45°,

,/DC//AB.

：.ZHCF=ZG=45°,

同理可求CG=6BC=V2，

・•.FG=CG-CF=y/2-y/2x=y/2（\-x）f

=v2，

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，

正确添加辅助线，构造“一线三等角全等”是解题的关健.

10.已知整式例：+c*x"T++axx+a{},其中〃，。“十，％为自然数，为正整

数，且〃…%+%=5.下列说法：

①满足条件的整式M中有5个单项式；

②不存在任何一个〃，使得满足条件的整式“有且只有3个；

③满足条件的整式M共有16个.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得0«及44,再

分类讨论得到答案即可.

【详解】解：•••〃,/_],,1为自然数,。”为正整数,且管+/+%+・・・+。]+以0=5,

/.0<H<4,

当〃=4时，则4+。4+6+。2+。1+。0=5,

=1,%=。2二4=。（）=0，

满足条件的整式有xt

当〃=3时，则3+%+。2+。1+%=5,

••.（%•，4，%）=（2,0,0,0），（1,1,0,0）,（1,0,1,0）,（1,0,0,1）,

满足条件的整式有：2/,d+f,/+],

当〃=2时，则2+/+4+%=5,

・,.（生，4，%）=（3,0,0）,（2,1,0）,（2,0,1）,（1,2,0）,（1,0,2）,（1,1,1）,

满足条件的整式有：3x2»2x2+x，2x2+1»x2+2A，x2+2»x2+x+1：

当〃=1时，则l+4+q）=5,

••.（4生）=（4,0）,（3,1）,（1,3）,（2,2）,

满足条件的整式有：4x,3x+l,x+3,2x+2；

当〃=0时，0+%=5,

满足条件的整式有:5；

・••满足条件的单项式有：f,2/,3/,4x,5,故①符合题意；

不存在任何一个〃，使得满足条件的整式M有且只有3个；故②符合题意；

满足条件的整式M共有1+4+6+4+1=16个.故③符合题意；

故选I）

二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题

卡中对应的横线上.

11.计算：（乃—3）°+§尸=___.

【答案】3

【解析】

【分析】根据零指数幕和负指数累的意义计算.

【详解】解：（乃一3）°+（；尸=1+2=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了整数指数塞的运算，熟练掌握零指数塞和负指数事的意义是解题关键.

12.如果一个多边形的每一个外角都是40。，那么这个多边形的边数为

【答案】9

【解析】

【分析】本题考查了多边形的外角和定理，用外角和360。除以40。即可求解，掌握多边形

的外角和等于360。是解题的关键.

【详解】解：360。+40。=9,

••・这个多边形的边数是9,

故答案为：9.

13.重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别

从A、8、C三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点3的概率为____.

【答案】|

【解析】

【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握画

树状图法或列表法求概率是解题的关键.

【详解】解：画树状图如下：

开始

甲ABC

/\/K4\

乙ABCABCABC

由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点8的情况有1种，

・•・甲、乙两人同时选择景点B的的概率为,，

9

故答案为：

14.随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023

年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是_____.

【答案】10%

【解析】

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用.设平均增长率为必然后根据题意可列方程进

行求解.

【详解】解：设平均增长率为人由题意得：

40(1+x)2=48.4,

解得：(不符合题意，舍去):

=0.1=10%,X2=-2.1

故答案为：10%.

15.如图，在/8C中，延长AC至点。，使C/)=C4,过点。作DE//CB，且。七=,

连接AE交BC于点F.若NC43=NCE4,CF=L则3尸=

【解析】

【分析】先根据平行线分线段成比例讦=进而得力忖=U力=人。=2cb=2,

4)=4,再证明LCA席-OE4,得8C=AD=4,从而即可得解.

【详解】解：・・・CQ=C4,过点。作。石〃a,CD=CA,DE=DC，

FACA

1,CD=CA=DE,

FECD

/.AF=EF，

・•・DE=CD=AC=2CF=2,

・•・AP=AC+CD=4,

,/DE//CB,

:.NCFA=/E,NACB=ND,

,/NC48=NC£4,

:・NCAB=NE,

-CD=CA,DE=CD,

CA-DE，

・•・^CAB^^DEA，

•**BC=AD=4，

:・BF=BC—CF=3,

故答案为：3,

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全

等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角

形的判定及性质是解题的关键.

4x-l,

-------<x+\

16.若关于1的不等式组（3至少有2个整数解，且关于y的分式方程

2（x+1）>-x+a

ci—13

--=2--一的解为非负整数，则所有满足条件的整数。的值之和为______.

y-ii-y

【答案】16

【解析】

【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组.先解不等式组，根据关于大

的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定〃的取值范围。<8,再把分式方程去分母转

化为整式方程，解得），=一，由分式方程的解为非负整数，确定。的取值范围且

。工4,进而得到且根据范围确定出。的取值，相加即可得到答案.

41

vx+1①

【详解】解:亍

2（x+l）2-x+a②

解①得：x<4,

a—2

解②得：x>——,

关于工的一元一次不等式组至少有两个整数解,

解得。48,

解方程幺二|二2-,得）,二三工，

y-ll-y2

关于》的分式方程的解为非负整数，

・・.匕20且匕。一2是偶数,

22

解得。22且。工4,。是偶数，

且。工4,〃是偶数，

则所有满足条件的整数。的值之和是2+6+8=16,

故答案为：16.

17.如图，以AB为直径的0。与AC相切于点A,以AC为边作平行四边形ACOE,点

D、£均在G。上，DE与AB交于点F，连接CE，与。。交于点G,连接。G.若

AB=10,DE=8,piijAF=.DG=_____.

【答案】①.8②.生叵明也屈

1313

【解析】

【分析】连接。。并延长，交OO于点〃，连接G"，没CE、A8交于点必，根据四边形

AC3E为平行四边形，得出庞〃/C,AC=DE=S,证明A4_LO£，根据垂径定理得

iBDF=EF=-DE=4,根据勾股定理得出OFZOU-DF?=3，求出

EFFM8

Ab=O4+OF=5+3=8；证明AEKWS二CW,得出——=——，求出二一,

ACAM3

根据勾股定理得出EM=ylEF2+FM2=,证明AEF/V/SA//G。,

得出罂二需,求出DG二喏

【详解】解：连接。。并延长，交OO于点〃，连接GH,设CE、AB交于点他如图所

示:

•••以A8为直径的C。与AC相切于点4

・•・ABIACf

・•・/GW=90。，

•・•四边形ACDE为平行四边形，

:・DE〃AC、AC=DE=S.

・•・ZBro=ZC4B=90°,

•••AB工DE,

・•・DF=EF=LDE=4,

2

,/AB=10,

DO=BO=AO=-AB=5,

2

-OF=\lob2-DF2=3»

・•・AF=OA+OF=5+3=8：

•••DE〃AC、

:YEFMSJCAM,

•EF_FM

.4FM

**8-AF—FM'

88—FM

Q

解得：FM

3

,/DH为直径,

・•・ZDGH=90°,

；,/DGH=NEFM,

vDG=DG，

・•・/DEG=NDHG，

:一EFMs-HGD、

.FMEM

••—,

DGDH

849

即3_3，

DG10

解得：PG=WB

13

故答案为：&瞎

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定

理，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.

18.我们规定：若一个正整数A能写成"2—〃，其中，〃与〃都是两位数，且加与〃的十位

数字相同，个位数字之和为8,则称A为''方减数"，并把A分解成加2的过程，称为

“方减分解”.例如：因为602=25z—23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的

和为8,所以602是“方减数”，602分解成602=25?-23的过程就是“方减分解”.按

照这个规定，最小的“方减数”是______.把一个“方减数”A进行“方减分解”，即

A=nr-n^将加放在〃的左边组成一个新的四位数8,若8除以19余数为1,且

2，〃+〃=/（%为整数），则满足条件的正整数A为_____.

【答案】①.82②.4564

【解析】

【分析】本题考查了新定义，设m=10。+。，则拉=10。+8—力（l<tz<9>0</?<8）

根据最小的“方减数”可得〃7=10,〃=18,代入，即可求解：根据8除以19余数为1，且

2m+〃=公（攵为整数），得出到沪I为整数，30。+方+8是完全平方数，在1WH9,

0<Z?<8,逐个检验计算，即可求解.

【详解】①设〃7=10。+〃，则〃=10。+8（1<«<9,0<^<8）

山题意得：加2一/2=（10々+（［0〃+8〃），

vl<a<9,“方减数”最小,

••。=1,

M777=10+Z?»71=18—。,

・••〃，一〃=(10+/?『一(18—〃)=100+20人+。2-18+6=82+62+2协，

则当b=0时，〃『-〃最小，为82,

故答案为：82；

②设根=10。+〃，则〃=10。+8—〃(1<«<9,0<Z?<8)

AB=1000a+100Z?+10a+8-b=10Q+99b+8

•・・B除以19余数为1，

・・・1010。+99〃+7能被19整除

5—1__3a+4b+7、,小,,,,

:.——=53。+58+-------------为整数，

1919

又2加+〃=%2(改为整数)

/.2(10a+。)+10。+8—h=30a+Z?+8是完全平方数，

Vl<«<9,0</?<8

•••30。+8+8最小为49,最大为256

即7KAK16

设3々+4。+7=1%，，为正整数，

Ml</<3

33

当f=l时，3。+4〃=12,则〃=3——。，则30。+〃+8=30。+3--。+8是完全平方数，

44

又1工。工9,0</?<8,无整数解，

当，=2时，无整数解，

当1=3时，3。+48=50,则〃则30〃+寸+8=30〃++8是完全平方

44

数，

经检验，当1=6/=8时，3a+4〃+7=3x6+4x8+7=57=19x3,

30x6+8+8=196=14?，r=3,Ar=14,

m=68,〃=60,

AA=682-60=4564

故答案为：82,4564.

三、解答题：(本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分)解答时每小

题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书

写在答题卡中对应的位置上.

19.计算：

(1)x(x-2y)+(x+y)2；

、j।…12・

Ia）a"+a

【答案】（1）242十

【解析】

【分析】(1)根据单项式乘以多项式和完全平方公式法则分别计算，然后合并同类项即可；

(2)先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算得以化简；

本题考查了单项式乘以多项式，完全平方公式和分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关

键.

【小问1详解】

解：原式=x2-2町+x2+2xy+y2,

=2x2+y2；

【小问2详解】

解：原式二­八/八八

aa(a+\)

6/4-1

a+

a+\

20.为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛.现从七、八年级的学生中

各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析.所有学生的成

绩均高于60分（成绩得分用工表示，共分成四组：A.60<x<70：B.70<x<80；

C.80<x<90；D.90<x<100）,下面给出了部分信息：

七年级20名学生的竞赛成绩为：

66,67,68,68,75,83,84,86,86,86,

86,87,87,89,95,95,96,98,98,100.

八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81,82,84,87,88,89.

七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表

年级七年级八年级

平均数8585

中位数86b

众数a79

八年级所抽学生的竞赛成绩统计图

根据以上信息，解答下列问题：

（1）上述图表中。=_____,b=,_____；

（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？

请说明理由（写出一条理由即可）；

（3）该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估“该校

七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（x>90）的学生人数是多少？

【答案】(1)86,87.5,40；

（2）八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析；

（3）该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀学生人数是320人.

【解析】

【分析】（1）根据表格及题意可直接进行求解•：

（2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果；

（3）由题意可得出参加此次竞赛活动成绩优秀的百分比，然后可进行求解；

本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、

平均数是解题的关键.

【小问1详解】

根据七年级学生竞赛成绩可知：86出现次数最多，则众数为86,

八年级竞赛成绩中A组：20x10%=2（人），

B组：20x20%=4（人）,

C组：6人，所占百分比为色xl00%=30%

20

D组：20-2-4-6=8（人）所占百分比为〃2%=1-10%-20%-30%=40%,则

阳=40,

，八年级的中位数为第10、11个同学竞赛成绩的平均数，

即C组第4、5个同学竞赛成绩的平均数b=空透=87.5,

故答案为：86,87.5,40；

【小问2详解】

八年级学生竞赛成绩较好，理由：

七、八年级的平均分均为85分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学

生竞赛成绩较好；

【小问3详解】

AX400+40%X500=320（人）,

20

答：该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是320人.

21.在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的

一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构

成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他的想法与思路，完成以下作

图与填空:

D

B

(1)如图，在矩形A8CD中，点。是对角线AC的中点.用尺规过点。作AC的垂线，

分别交A8,CD于点E,F,连接AF，CE.(不写作法，保留作图痕迹)

(2)已知：矩形ABCD,点E，厂分别在八3,CO上，石产经过对角线AC的中点。，

且EF上AC.求证：四边形AEb是菱形.

证明：•・•四边形ABCO是矩形，

JAB//CD.

•••①，/OCF=/OAE.

•・•点。是AC的中点,

・••②.

A/XCFO^/XAEO(AAS).

・••③.

又・・・。4=0。，

・•・四边形AEC/是平行四边形.

・••EF±AC,

••・四边形AEW是菱形.

进一步思考，如果四边形八8CO是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：

④.

【答案】(1)见解析(2)①NOR7=NOE4；②OA=OC：③OF=OE；④四边

形AECb是菱形

【解析】

【分析】本题主要考杳了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规

作图：

(1)根据垂线的尺规作图方法作图即可；

(2)根据矩形或平行四边形的对边平行得到NOR7=NOE4,ZOCF=ZOAE,进而

证明△。区泾A4即(AAS),得到OF=OE,即可证明四边形AEb是平行四边形.再

由EF上AC，即可证明四边形AECF是菱形.

【小问1详解】

解：如图所示，即为所求

【小问2详解】

证明：•・•四边形A8CO是矩形，

，ABHCD.

：•/OFC=/OEA,ZOCF=ZOAE.

•••点。是AC中点,

OA—OC.

・•.」C代泾“EO(AAS).

**.OF=OE.

又・・・。4=0。，

・•・四边形AECF是平行四边形.

•/EF±AC,

••・四边形AEW是菱形.

猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两

点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形；

证明：•・•四边形ABCO是平行四边形，

・•・ABflCD.

1/OFC=NOEA,^OCF=^OAE.

•・•点。是AC的中点，

：,OA=OC.

.•.Qg"£O(AAS).

：.OF=OE.

又・・・OA=OC,

・•・四边形AEC厂是平行四边形.

EF1AC,

・•・四边形AECb是菱形.

故答案为：①NO"=NO£4；②Q4=OC；③OF=OE；④四边形AEC尸是菱形.

22.为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线

的设备进行更新换代.

（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更

新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的

补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类

生产线各有多少条？

（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入

5万元，用200万元购买于新甲类牛产线的设备数号和用180万元购买更新乙类生产姓的设

备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？

【答案】（1）该企业甲类生产线有】（）条，则乙类生产线各有2（）条；

（2）需要更新设备费用为1330万元

【解析】

【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是

解本题的关键.

（1）设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线各有（30-力条，再利用更新完这30条生

产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可；

（2）设购买更新1条甲类生产线的设备为〃?万元，则购买更新1条乙类生产线的设卷为

（利一5）万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类

生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解.

【小问1详解】

解：设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线各有（30-工）条，则

3x+2（3O-x）=7O,

解得：x=10>

则307=20；

答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；

【小问2详解】

解•：设购买更新1条甲类生产线的设备为加万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为

（加一5）万元，则

200_180

=，

tnm-5

解得：m=50,

经检验：加=50是原方程的根，且符合题意;

则〃7—5=45,

则还需要更新设备费用为10x50+20x45-70=1330（万元）;

23.如图，在“3C中，48=6,次7=8,点尸为上一点，过点尸作PQ〃8C交

于点。.设AP的长度为孙点。的距离为y，.A3C的周长与△APQ的周长之比

为巴•

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O123456789

（1）请直接写出X，乃分别关于1的函数表达式，并注明自变量”的取值范围;

（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数凹，内的图象；请分别写出函数M，乃的一条

性质;

（3）结合函数图象，直接写出X>），2时x的取值范围.（近似值保留一位小数，误差不超

过0.2）

46

【答案】（1）=-x（0<x<6）,y=—（0<x<6）

32x

（2）函数图象见解析，、随x增大而增大，乃随x增大而减小

（3）2.2<x<6

【解析】

【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定:

（1）证明；APQsA8C,艰据相似三角形的性质得到―C"―=-P^Q=-AP-据此可得答案：

ABf

（2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的

性质即可；

（3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可.

小问1详解】

解：VPQ//BCt

/.40QsA8c,

.GPQ=PQ=AP

,•CWJBC-AB'

y.xAB6

必=——二一，

86-APx

46

/.y=—x（0<x<6）,y=—（0<x<6）；

}3x2

【小问2详解】

解：如图所示，即为所求；

由函数图象可知，力随x增大而增大，为随x增大而减小;

【小问3详解】

解：由函数图象可知，当必>当时x的取值范围2.2<XK6.

24.如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向8,。两港运送物资，最后到达A港

正东方向的。港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北

偏东60。方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60。方向航行一定距离到达

。港，再沿南偏东30。方向航行一定距离到达C港.（参考数据；应“1.41，6=1.73,

限x2.45)

（1）求A,。两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；

（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠8、O两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？

请通过计算说明.

【答案】（1）A,C两港之间的距离77.2海里；

（2）甲货轮先到达。港.

【解析】

【分析】（1）过3作监_LAC于点E，由题意可知：NG4B=45。，ZEBC=60°,求

出4E=ABcosZBAE=2（）y[2，CE=BEtanZEBC=20屈即可求解；

（2）通过三角函数求出甲行驶路程为：A3+80=40+56.4=96.4,乙行驶路程为：

4）+8=66.8+38.6=105.4,然后比较即可；

本题考查了方位角视角卜.的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题

的关键.

【小问1详解】

如图，过8作庞_LAC于点E，

・•・ZAEB=/CEB=90。,

由题意可知：ZGAB=45%ZEBC=60°,

・•・ZBAE=45°,

・•・AE=ABcosZBAE=40xcos45°=20V2，

CE=BEtanNEBC=2072tan60°=20&xG=205/6，

・•・AC=AE+=20V2+2076«20x1.41+20x2.45^77.2（海里）,

・•・A,C两港之间的距离77.2海里；

小问2详解】

由（1）得：/R4E=45。，ZEBC=60°,AC=17.2,

・••BE=ABsin/BAE=40xsin450=200，

BE20V220V2.rr.

.BnCr=-------------=----------=——：——=40nv2a56.4

•,cosZ.EBCcos60°，»

2

由题意得：b=60。，ZCDF=30°,

・••ZADC=90。，

/.CD=-4C=-x77.2=38.6,AD=/ICcos30°=77.2x—«66.8（海里），

222

•••甲行驶路程为：43+80=40+56.4=96.4（海里），乙行驶路程为：

AD+CD=66.8+38.6=105.4（海里），

V96.4<105.4,且甲、乙速度相同，

，甲货轮先到达C港.

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=0^+法+4（。工0）经过点（一1,6）,与丁轴交

于点C,与X轴交于4B两点（A在3的左侧），连接AC,BC,tan/CHA=4.

善用图

（1）求抛物线的表达式；

（2）点尸是射线C4上方抛物线上的一动点，过点?作轴，垂足为E，交AC于

点。.点M是线段OE上一动点，MN_Ly轴，垂足为N,点歹为线段8c的中点，连接

AM,NF.当线段尸力长度取得最大值时，求4W+MN+N/的最小值；

（3）将该抛物线沿射线C4方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PO长度取得最大值

时的点Q,且与直线AC相交于另一点K.点Q为新抛物线上的一个动点，当

=直接写出所有符合条件的点。的坐标.

【答案】（1）y=-x2-3x+4；

（2）AA/+MV+NV的最小值为叵+2;

2

（io43A

（3）符合条件的点。的圣标为（一1,一2）或一1，记.

【解析】

【分析】（1）利用正切函数求得08=1,得到8（1,0）,再利用待定系数法即可求解；

（2）求得4（-4,0）,利用待定系数法求得直线AC的解析式，设。（P，—p2—3〃+4）,求

得PO最大，点。（一2,6）,再证明四边形4WNE是平行四边形，得到AM=硒，推出当

E、N、歹共线时，正户取最小值，即AM+MV+N/取最小值，据此求解即可；

（3）求得。（一2,2）,再利用平移的性质得到新抛物线的解析式了=-/一7工一8,再分两

种情况讨论，计算即可求解.

【小问1详解】

解：令x=0,则＞=4,

・•・C（0,4）,

・•・OC=4,

VtanZCBA=4,

OC

/.----=4A,

...OB=1,

・•・^(1,0),

6=。一/?+4

将3（1,0）和（一1,6）代入y=ax1++4得，

0=。+〃+4

:.抛物线的表达式为），=-x2-3x+4；

【小问2详解】

解：令y=。，则0=一/一3工+4，

・•・&<()),

设直线AC的解析式为_y=+4,

代入A(T,0),得0=-4m+4,

解得机=1,

・•・直线AC的解析式为y=x+4,

设P(P，_p2_3〃+4)(-4<p<0),则O(p,p+4),

PD=-p2-3〃+4-(〃+4)=-(“+2)2+4，

V-l<0,

・・.当。=一2时,最大,此时尸(-2,6),

・・・AE=2,MN=OE=2,E(-2,0),

:,AE=MN,AE〃MN,

连接EN,

・•・四边形AMNE是平行四边形，

・•・AM=EN,

・•.AM+MN+NF=EN+MN+NFNMN+EF,

・•・当£、N、尸共线时，放取最小值，即AW+MV+NV取最小值,

•・•点尸为线段8c的中点，

••・AM+MN+NF的最小值为—+2；

2

【小问3详解】

解:由（2）得点。的横坐标为一2,代入y=x+4,得y=2,

・•・£＞（-2,2）,

・•・新抛物线由y=-x2-3x+4向左平移2个单位，向下平移2个单位得到,

yr=—（x+2）~—3（x+2）+4—2=-x2—7x—8，

过点。作DQ\"BC交抛物线y于点Q],

••・NQQK=NBCA,

同理求得直线BC的解析式为），=-4x+4,

•・・DQ}//BC,

：.直线DQ}的解析式为），=Yx-6,

联立得4-6=-/一7~8，

解得X=-1,x2=-2,

当行一1时，y=-2,

Q\（一L—2）,

作。已关于直线AC的对称线得DQ2交抛物线），'于点。2,

・••ZQ2DK=ZQiDK=4BCA,

设。Qi交x轴于点G,

由旋转的性质得到DG=DG',

过点。作£>/?〃入轴，作。〃_Lx轴于点H,作G77'_LOR于点

3

解得x=—,

2

（3、

G—,0

I2]

VA（-4,0）,C（0,4）,

：.OA=OC,

・•・ZOAC=ZOCA=45°,

〈OR〃工轴，

/.ZRDA=ZDAH=ZADH=45°,

・••/G'DH=/GDH,

VZG'H'D=ZGHD=90°,DG'=DG

••・△GUHSAGDH,

31

:,GH'=GH=2——=-,DH'=DH=2,

22

同理直线DQ2的解析式为y=-lx+|,

I3

联立一f一71一8二--x+—，

42

解得工=-2或^=一巴

4

19119343

当》=--时，3?=-->---+—=----

444J216

八，1943、

Q-)-----,—

I416；

综上，符合条件的点Q的坐标为（一1,一2）或1一1，而

【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系

式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题

的关键.

26.在一ABC中，A8=47,点。是3C边上一点（点D不与端点重合）.点D关于直线AB

的对称点为点七，连接ADOE.在直线A3上取一点尸，使NEFD=/BAC,直线石尸

与直线AC交于点G.

(1)如图1,若NBAC=60°,BD<CD,/BAD=a,求NAGE的度数(用含a的代数

式表示）;

（2）如图1,若/84。=60。,8。＜。£）,用等式表示线段CG与力E之间的数量关系，并

证明；

（3）如图2,若NB4C=90。，点。从点8移动到点。的过程中，连接AE,当△AEG为

等腰三角形时，请直接写出此时空的值.

AG

【答案】（1）60。+。

(2)CG=-y/3DE

3

(3)由二1或叵9

22

【解析】

【分析】(1)由三角形内角和定理及外角定理结合=即可求解；

(2)在CG上截取CM=8O,连接BM交AD于点、H,连接8E,AE,先证明，

再证明四边形E8WG是平行四边形，可得CG=2BO,记A8与OE的交点为点用则由

轴对称可知：DEJ.AB,NE=ND,再解RtZXBVO即可；

(3)连接跖，记八3与。石的交点为点M由轴对称知NEA5=NDW，DE上AB,

NE=ND,/EBA=/DBA=45。,当点G在边AC上时，由于/E4G>90。，当△AEG

为等腰三角形时，只能是A«=AG,由(1)得/84Z)=a,NAGW=600+a,RtAA?G

中，a+2a=90。，解得c=3()。，