金融计量学时间序列模型

第2章时间序列模型

时间序列分析方法由Box-Jenkins（1976）年提出。它适用于各种领域的时间序列分析。

时间序列模型不同于经济计量模型的两个特点是：

⑴这种建模方法不以经济理论为依据，而是依据变量自身的变化规律，利用外推机制

描述时间序列的变化。

⑵明确考虑时间序列的非平稳性。如果时间序列非平稳，建立模型之前应先通过差分

把它变换成平稳的时间序列，再考虑建模问题。

1.随机过程、时间序列定义

2.时间序列模型的分类

3.自相关函数与偏自相关函数

4.建模步骤（以另J、参数估计、诊断检验）

5.乘积季节模型［略）

6.案例分析

2.1随机过程、时间序列

为什么在研究时间序列之前先要介绍随机过程？就是要把时间序列的研究提高到理论

高度来认识。时间存列不是无源之水。它是由相应随机过程产生的。只有从随机过程的高度

认识了它的一般规律。对时间序列的研究才会有指导意义。对时间序列的认识才会更深刻。

自然界中事物变化的过程可以分成两类。一类是确定型过程，一类是非确定型过程。

确定型过程即可以用关于时间，的函数描述的过程。例如，真空中的自由落体运动过程,

电容器通过电阻的放电过程，行星的运动过程等。

非确定型过程即不能用一个（或几个）关于时间z的确定性函数描述的过程。换句话说,

对同一事物的变化过程独立、重更地进行多次观测而得到的结果是不相同的。例如，对河流

水位的测量。其中每一时刻的水位值都是一个随机变量。如果以一年的水位纪录作为实验结

果，便得到一个水位关于时间的函数的。这个水位函数是预先不可确知的。只有通过测量才

能得到。而在每年中同一时刻的水位纪录是不相H的。

随机过程：由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为｛x（s,，），swS/wr｝。

其中S表示样本空间，7表示序数集。对于每一个/,/GF,X（.,/）是样本空间S中的一个随

机变量。对于每一个s,seS,x（sf-）是随机过程在序数集「中的一次实现。

{煌,GXT.\\"}

ATI2,xr]

样本空间

随机过程简记为｛X,｝或3随机过程也常简称为过程。

随机过程一般分为两类。一类是离散型的，一类是连续型的。如果一个随机过程出｝对

任意的IGT都是一个连续型随机变量，则称此随机过程为连续型随机过程。如果一个随机

过程卜7｝对任意的住7都是一个离散型随机变量，则称此随机过程为离散型随机过程。本书

只考虑离散型随机过程。

r连续型严（强）平稳过程

随机过程Jr平稳的

离散型宽平稳过程

三日平稳的

严(强)平稳过程：一个随机过程中若随机变量的任意子集的联合分布函数与时间无关,

即无论对丁的任何时间子集(小匕…,G)以及任何实数k，9+k)e7；i=l,2-..,〃都有

产(Mh),x«2),…,X(G))=+k),x(t2+机…,x(t„+k))

成立，其中尸(•)表示〃个随机变量的联合分布函数，则称其为严平稳过程或强平稳过程。

严平稳意味着随机过程所有存在的矩都不随时间的变化而变化。严平稳的条件是非常严

格的，而且对于一个随机过程，上述联合分布函数不便于分析和使用。因此希望给出不象强

平稳那样严格的条件。若放松条件，则可以只要求分布的主要参数相同。如只要求从一阶到

某阶的矩函数相同。这就引出了宽平稳概念。

如果一个随机过程机阶矩以下的矩的取值全部与时间无关，则称该过程为m阶平稳过

程。比如

E[x(ti)]=E[x(ti+k)]=A<oo,

Var[x(6)]=Var[x(A+^)]=cr2<oo,

COV[A(//),X((/)]=Cov[x(r,+k),x(tj+初=<2,

其中a2和aij2为常数，不随t,(reT);k,((0+k)wT,r=ij)变化而变化，则称该随

机过程｛x,｝为二阶平稳过程。该过程属于宽平稳过程。

如果严平稳过程的二阶矩为有限常数值，则其一定是宽平稳过程。反之，一个宽平稳过

程不一定是严平稳过程。但对于正态随机过程而言，严平稳与宽平稳是一致的。这是因为正

态随机过程的联合分布函数完全由均值、方差和协方差所惟一确定。本书简称二阶平稳过程

为平稳过程。

时间序列：随机过程的一次实现称为时间序列，也用｛1｝或也表示。

与随机过程相对应，时间序列分类如下，

r连续型*(心电图，水位纪录仪，温度纪录仪)

时间序列1「从相同的时间间隔点上取自连续变化的序列(人口序列)

I离散型v

I一定时间间隔内的累集值(年粮食产量，进出口额序列)

时间序列中的元素称为观测值。、｝既表示随机过程，也表示时间序列。即既表示随机

过程的元素随即变量，也表示时间序列的元素观测值。在不致引起混淆的情况下，为方便，

x,也直接表示随机过程和时间序列。

随机过程与时间序列的关系图示如下

随机过程：｛%,X2,...»XT-1,XT,｝

第1次观测：3、X?1.....XT-I1,XT1)

第2次观测：(婷，螳，XT.12,XI2｝

第〃次观测：｛城,城,…，即产，-产｝

某河流一年的水位值，｛.UM2,…,X7T,.W,｝，可以看作一个随机过程。每一年的水位纪录

则是一个时间序列，｛短，及[…,ml"｝。而在每年中同一时刻(如t=2时)的水位纪录

是不相同的。｛121X22,…,M〃,｝构成了X2取值的样本空间。

例如，要记录某市口电力消耗量，则每口的电力消耗量就是一个随机变量，于是得到一

个日电力消耗量关于天数f的函数.而这些以年为单位的函数族构成了一个随机过程U｝,/

=1,2,…365。因为时间以天为单位，是离散的，所以这个随机过程是离散型随机过程。而

一年的日电力消耗量的实际观测值序列就是一个时间序列。

自然科学领域中的许多时间序列常常是平稳的。如工业生产中对液面、压力、温度的控

制过程，某地的气温变化过程，某地100年的水文资料，单位时间内路口通过的车辆数过程

等。但经济领域中多数宏观经济时间序列却都是非平稳的。如一个国家的年GDP序列，年

投资序列，年进出口序列等。

为便于计算，先给出差分定义。

差分：时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算叫差分。首先给出差分符号。对于

时间序列一阶差分可表示为

Xz-X/-i=^Xt=(\-L)xt=Xt-Lxt(2.1)

其中」称为一阶差分算子。L称为滞后算子，其定义是〃“尸丛”。

二次一阶差分表示为，

3=Ax,-AXi-i=(xt-Xz-1)-(XM-Xt-2)=xt-2xz-i+X；-2»

或

22

=(1-L)x,=(I-2L+L)Xt=Xf-2x“+xt-2(2.2)

k阶差分可表示为

kk

Xt-Xt-k=AkXt=L)xt=Xt-Lxt

k阶差分常用于季节性数据的差分。

下面介绍两种基本的随机过程

(1)白噪声(whilenoise)过程

白噪声过程:对于随机过程｛为，teT｝,如果E(为)=0,Var(即)=(T2<OO,/€T;Cov(阳母+。

=0,"+%)e7,火工0,则称｛为｝为白噪声过程。

图2.1a山白噪声过程产生的时间序列图2.1b日元对美元汇率的收益率序列

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

of,....................

00.511.522.!

图2.1c向噪声过程的总体谱

白噪声是平稳的随机过程，因其均值为零，方差不变，随机变量之间非相关。显然上述

白噪声是二阶宽平稳随机过程。如果｛M｝同时还服从正态分布，则它就是一个强平稳的随

机过程。

白噪声源于物理学与电学，原指音频和电信号在一定频带中的一种强度不变的干扰声。

(2)随机游走(randomwalk)过程

对于下面的表达式

为二即4+ut(2.3)

如果由为白噪声过程，则称为为随机游走过程。

图2.1e.山随机游走过程产生时间序列图2.1f.日元对美元汇率(300天，1995年)

“随机游走”一词首次出现于1905年自然(Nature)杂志第72卷PearsonK.和Rayleigh

L.的一篇通信中。该信件的题目是“随机游走问题”。文中讨论寻找一个被放在野地中央的

醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索。

随机游走过程的均值为零，方差为无限大。

X/=X,.|+Ut=lit+M/-I+Xf.2=Hl+Wz-I+Ut-2+…

E(xf)=E(w；+ut.\+Ui.2+...)=0,

t

Var(x,)=Var(Mf+ut.\+〃/-2+...)=，bJ->8

-oO

所以随机游走过程是非平稳的随机过程。

2.2时间序列模型的分类

(1)自回归过程

如果一个线性过程可表达为

Xt=(f>I为-1+。2为-2+…+Mxt-p+Ut,(2.4)

其中弧i=1,…〃是自回归参数，3是白噪声过程，则称为为〃阶自回归过程，用AR(p)

表示。即是由它的〃个滞后变量的加权和以及出相加而成。

若用滞后算子表示

p

(1-。1乙•.….(ppL)x,=</>(L)xt=lit(2.5)

其中S(£)=1-弧02力-….徐〃称为特征多项式或自回归算子。

与自回归模型常联系在一起的是平稳性问题。对于自回归过程AR(p),如果其特征方程

0⑵=1-例z-血z2•…・%zP=(1—Giz)(1-Gz)…(1一Gpz)=0(2.6)

的所有根的绝对值都大于I，则AR(p)是一个平稳的随机过程。

AR(p)过程中最常用的是AR(1)、AR(2)过程，

x,=<f>\xt-\+ut(2.7)

保持其平稳性的条件是特征方程

(1-^1^)=0

根的绝对值必须大干I,满足

Il/^il>1

也就是

IMlvi

解释如下:一阶自回归过程,即一小如+〃”可写为

(1-(/>]L)x(=ut

1

=(1-(f)\L)-u,

在I血Ivl条件下，有

X/=(I++(^iL)2+(^iL)3+...)Ut

若保证AR(1)具有平稳性，£二四’上必须收敛，即仇必须满足曲这是容易理解的,

如果।仇।>1,发散，于是为变成一个非平稳随机过程。

由(2.7)式有

Xt=Ut+</f\Ut-\+.2.-2=Ut+仇Uf.l+02Ut2+…(短记忆过程)

因为w是一个白噪声过程，所以对于平稳的AR(1)过程

E(Xr)=0

Var(xz)=cr,r+折(ytr+例％，+.=_!_力

1-血~

上式也说明若保证M平稳，必须保证I如<1。

例1：有AR(1)模型

Xi=0.6x/.i+//；则，(1-0.6L)xt=ih

为=—!—«；=(I+0.6L+0.36L1+0.216U\...)u,

1—0.6L

=ih+0.6WM+0.36z/r-2+0.216M.3+...

上式变换为一个无限阶的移动平均过程。

下面分析AR(2)过程

x尸弧X7+。2即叱+ih(0)

具有平稳性的条件。

对于AR(2)过程，恃征方程式是

1-0]L-的心？=0

上式的两个根是

必±曲+4。2

…一^—

设九二1/心，色二1/b

1-_-202_。|不JO|~+402

442=----.•=-------------U)

仇士4仇？+402

则(0)式，为=。|为-1+。2芍-2+〃”改写为(I-21L)(1-hL)xt=UloAR(2)模型具有平稳性

的条件是|心|>1,|七|、1(在单位圆外)或

|2i|<1,|/12|<1⑵

下面利用上述平稳性条件分析AR(2)过程中参数。2,小的值域。由(1)式得

2.4-22="归+僦?+册弋+4M二弧⑶

2|九2=-''=-。2(4)

44

利用(3),(4)式得

。2+。I=-办％2+(A1+义2)—1—(1-为)(1-%2)

。2-。1=-办42-(九+九2)=1-(1+A|)(1+22)

无论办,&为实数或共场复数,由同V1,|；121Vl都有(1±办)(1±也)>0,从而得

。2+。1V1⑸

。2-VI(6)

由(2)和(4)式得

-1V。2<1⑺

(5),⑹和(7)式是保证AR(2)过程平稳，回归参数。2,如所应具有的条件。若(5)、⑹和(7)

式成立,则特征方程1•小小。2-=0的根必在单位圆之外。条件(5),(6)和(7)给出的区域

称为平稳域。是一个三角形区域。见下图阴影部分。

回归参数。2,弧的取值变化分三种情形讨论。(1)当,2+4的=0时，有八二心为相

等实数根。血如取值在图中的抛物线上，称为临界阻尼状态。(2)当"2+4的>0时，等

心为不等实数根。0,0的值位于过阻尼区(自相关函数呈指数衰减)。(3)3例2+4比V0

时，Z|,Z2为共枕复根。曲,。I的值位于欠阻尼区(自相关函数呈正弦震荡衰减)。

图1平稳AR(2)过程外@取值域(阴影部分)

例2有AR(2)模型加=0.7加1・0.1即2+〃”试判别为的平稳性。

解：有3种方法。

①血+4=0.6,-血+4=-0.8，^2=-0.1,满足条件(5)(6)(7),所以为是平稳的。

②由原式得(1-0.7L+0.1Z?)即=〃，。特征方程为，

(1-0.7L+0.1L2)=0

(1-0.2L)(1-0.5L)=0

特征方程的两个根是，心=5,5=2。因为两个根都在单位圆之外，所以为足平稳的。

③从图1看，因为(如加)=(0.7,-0.1),落在了AR(2)过程的平稳域，落在了过阻尼

区，所以M为平稳过程。

例3：有AR(2)模型x尸0.6xt-\-0.1xt-2+如，试判别M的平稳性。

解：

①=-6\+6?=-0.7,=-0.1»满足条件(5)(6)(7),所以即是平稳的。

②由原式得，(1-0.6L+0.1L2)xt=u,,特征方程为，

(1-0.6L+0.1L2)=0

因为特征方程中各项都是实数，所以其虚根必然是共扼的。

[1-(0.3-0.1i)L|[1-(0.3+0.H)L]=0

特征方程的两个根是，3+i

(03+0.1/)

03-0.1/(0.3-0.10(0.3+0.10

------------=3-

因为两个根都在单位圆之外，所以即是平稳的随机过程.

从图1看，因为(如内)=(0.6,-0.1),落在了AR(2)过程的平稳域，落在了欠阻尼区,

所以最为平稳过程。

例4：有AR(2)模型xt=0.7xt-\+0.6xt.i+ut»试判别M的平稳性。

解：

①血+&=13%+4=^2=0.6,条件(5)不满足，所以为是非平稳的。

②由原式得，(1・0.7八0.6Z?)x尸出，特征方程为，

(1-0.7Z-0.6Z2)=0

(1+0.5z)(1-l.2z)=0

特征方程的两个根是，zi=-2,Z2=0.83。因为一个根0.83在单位圆内，所以即是一个非平

稳的随机过程。

③从图1看，因为(仇，次)=(070.6),落在了AR(2)过程的非平稳域，所以为为非平

稳过程。

对于一般的自回归过程AR(p),特征多项式

①(L)—1-(f>\L-(/>>L~•...-Z/=(l—G\L)(1—G?L)...(1—G’L)

则M可表达为

其中心上,…，如是待定系数。M具有平稳性的条件是(L)必须收敛，即应有|G|<1,

1

i=1,2,...,p0而GJ,Gf....GJ是特征方程收£)=0(见(2.6)式)的根，所以保证

AR(p)具有平稳性的条件是特征方程的全部根必须在单位圆(半径为1)之外，即|I/G：|>K

由上式可看出一个平稳的AR(p)过程可以转换成一个无限阶的移动平均过程(p个无穷级数

之和)。

保证AR(p)过程平稳的一个必要但不充分的条件是〃个自回归系数之和要小于1,即

重新分析随机游走过程。因为。尸1，所以随机游走过程是一个非平稳的随机过程。

AR(1)

20406080100

图2.2AR⑴过程图2.3MA(I)过程

(2)移动平均过程

如果•个线性随机过程可用下式表达

X=lit+0\Ut-\+。2III.2+...+0qUt-q

t

2

=(l+仇L+…+64〃)iit=ut

其中gI,夕2,…，Og是回归参数，〃,为白噪声过程，则上式称为q阶移动平均过程，记为

MA(q)o之所以称“移动平均”，是因为即是由q+1个，〃和出滞后项的加权和构造而成。

“移动”指/的变化，“平均”指加权和。

由定义知任何一个夕阶移动平均过程都是由g+1个白噪声变量的加权和组成，所以任

何一个移动平均过程都是平稳的。

与移动平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。移动平均过程具有可逆性的条件是特

征方程。

2

&z)=(l+6>|Z+6>2Z+…+oq2^)=0(2.10)

的全部根的绝对值必须大于1。

由(2.9)有=%。由于6>(L)可表示为

0(L)=-H\L)(\-H2L)-HqL)

所以有

W1Xm24.4.〃％)

6>(L)-!=(2.H)

1-HJ\-H2L\-HqL

犯为待定参数.可见保证MA(q)过程可以转换成一个无限阶自回归过程，即MA@)具有可

逆性的条件日夕“收敛。对于|“41,必须有|向|<1Hj-l\>1,j=1,2....q成立。

而坨」是特征方程。⑷=(>"/)(1-“2为...(1-/6)=0的根,所以MA(q)过程具有

可逆性的条件是特征方程@(乃=0的根必须在单位圆之外。(因为〃是平稳的，如

果变换成®(L尸为二出后，变得不平稳，显然失去可逆性。)

注意，对于无限阶的移动平均过程

8

Xt=Z(仇"i)=+a£+££2+…)(2.12)

i=0

其方差为

800

Var(M)=Z(02Var(〃一))二@1£0,(2.13)

i=0i=0

很明显虽然有限阶移动平均过程都是平稳的，但对于无限阶移动平均过程还须另加约束条件

才能保证其为平…稳性。这条件就是｛1｝的方差必须为有限值，即

1=0

MA(g)过程中最常见的是一阶移动平均过程，

x；=(l+0\L)ut(2.14)

其具有可逆性的条件是(I+。比)=0的根(绝对值)应大于1,即或

当|以|<1时，MA⑴过程(2.14)应变换为

Mr=(l+0\D-04+02炉.03乙3+…)即(2.15)

这是一个无限阶的以几何衰减特征为权数的自回归过程。

对于MA(1)过程有

EU/)=E(〃,)+E(0]/o-i)=0

22

Var(x,)=Var(io)+Var(0i///_))=(\-\-0\)(jlt

自回归与移动平均过程的关系

①一个平稳的AR(p)过程

(1-(/>\L-如I?)Xt—Uf

可以转换为一个无限阶的移动平均过程，

1

x,=(1-(f>\L-血2..一砺〃)-•〃产0(L)*ut

②一个可逆的MA(p)过程

x,=(\+4L+dZ?++仇/〃)〃，=0(L)Ul

可转换成一个无限阶的自回归过程,

2(,]

(1+0\L+OzL+...+OqL)'x,=6)(L)''xt=it)

③对于AR(p)过程只需考虑平稳性问题，条件是。(乙)=0的根(绝对值)必须大于1。

不必考虑可逆性问题。

④对于MA⑷过程，只需考虑可逆性问题，条件是。⑷=()的根(绝对值)必须大于1,

不必考虑平稳性问题。

(3)自回归移动平均过程

由自回归和移动平均两部分共同构成的随机过程称为自回归移动平均过程，记为

ARMA(p,夕)，其中p,g分别表示自回归和移动平均部分的最大阶数。ARMA(p,4)的一■股表

达式是

X{=。[工“+。为-2+...+。〃即-0++。1"川+01Ut2+.•♦+9qlh-q(2.16)

即

+1

(1-。iL-。2L?-…-如")即=(1+O\L+廿+...O(IL)ut

或

<Z>(L).r,=<9(L)it,(2.17)

其中①(L)和&(L)分别表示L的p,学阶特征多项式。

ARMA(p,q)过程的平稳性只依赖于其自回归部分，即。")=0的全部根取值在单位圆

之外(绝对值大于I)。其可逆性则只依赖于移动平均部分，即。(£)=0的根取值应在单位

圆之外。

图2.4ARMA"』)过程图2.5ARIMA(1,1,1)过程

实际中最常用的是ARMA(1,1)过程。

Xt-(f)\Xf.\=lit+^|Wf.|(218)

或

(1-iL)xt=(I+L)Ut

很明显只有当-lv的<1和-1<仇vl时，上述模型才是平稳的，可逆的。

(4)单整自回归移匆平均过程

以上介绍了三种平稳的随机过程。对于ARMA过程(包括AR过程)，如果特征方程

/£)=0的全部根取值在单位圆之外，则该过程是平稳的；如果若干个或全部根取值在单位

圆之内，则该过程是强非平稳的。例如，

3=1.3X/.i+U,

(特征方程的根=1/1.3=0.77)上式两侧同减MT得

Axt=0.3AM+Ui

仍然非平稳。除此之外还有第三种情形，即特征方程的若干根取值恰好在单位圆上。这种根

称为单位根，这种过程也是非平稳的。下面介绍这种重要的非平稳随机过程。

假设一个随机过程含有d个单位根,其经过d次差分之后可以变换为一个平稳的自回归

移动平均过程。则该随机过程称为单整自回归移动平均过程。

伯克斯一詹金斯积数十年理论与实践的研究指出，时间序列的非平稳性是多种多样的，

然而幸运的是经济时间序列常常具有这种特殊的线性齐次非平稳特性(即参数是线性的，乐

及其滞后项都是一次哥的)。对于一个非季节性经济时间序列常常可以用含有一个或多个单

位根的随机过程模型描述，

考虑如下模型

6⑷(2.19)

其中以L)是一个平稳的自回归算子。即G(z)=0的根都大于1。9(L)表示可逆的移动平均

算子。若取

为二Hy(2.20)

则(2.19)可表示为

①Qx产O(L)ih(2.21)

说明州经过"次差分之后，可用一个平稳的、可逆的ARMA过程即表示。

随机过程M经过d次差分之后可变换为一个以。(4)为〃阶自回归算子，为g阶移

动平均算子的平稳、可逆的随机过程，则称，为(p,d、q)阶单整(单积)自回归移动平均过

程，记为ARIMA(p,d,q),这种取名的目的是与以后各章中的称谓相一致。ARIMA过程也

称为综合自回归移动平均过程。其中S(L)W称为广义自回归算子。

(2.19)是随机过程的一般表达式。当〃工0,0时，(2.19)变成ARMA[p,9)

过程，〃=0,d=0,qwO时，ARIMA过程变成AM(q)过程；而当〃=d=q=0时，ARIMA

过程变成白噪声过程。

做卬)，广为的逆运算

y,=Sdx,(2.22)

其中S是无限累加(积分)算子。当4=1时，5x,定义如下

t

21]

SXi=A:；=(1+L+L+=(1-L)'xt=A'Xi=y(.(2.23)

则

S=(\-Lyi=A](2.24)

单整与差分互为逆运算。

例5：以泗=0为例，｛3｝中元素的逐步叠加，得到的是｛»｝序列。而M

的差分运算得到的是｛即｝序列。

y\=x\

y^2=X2+X\

)'3=43+X2+Xi

yt-\=X/-1+...+X3+X2+XI

y,=Xt+XM+...+X3+X2+X|

可见S是/的逆运算。(2.23)表明随机过程为经过逐步叠加之后可以得到加每次直加类

似于连续函数的一次积分，这就是为什么称AR1MA过程为单整自回归移动平均过程,“单

整”在这里就是积分的意思。

现在容易理解，随机游走过程(2.3)就是由白噪声过程累加一次而得到的。

给出若干具体的非平稳随机过程如下：

1.ARIMA(0,1,1)过程

4)7=〃，+4w,_|=(1+0\L)ui

其中p=0,d=\,q=1,6(L)=1,0(L)=1+夕L.

2.ARIMA(1,1,0)过程

。14y.尸ut

其中p-1,4=1,^=0,(L)=1-0iL,(9(L)=1.

3.ARIMA(1,1,1)过程

4yL^iAyt-i=u,+O\ut.\

或

(1-伪L)dyt-1=(1+6\Lyut

其中p=\,d=\,q=\,。(力)=1-血L,(9(L)=1+0iL

对于非季节经济时间序列p,d,q的取值很少有大于2的情景。这些参数的常见取值是()、

1和2。

如何判别其是自回归过程还是移动平均过程？如何判别其过程的阶数呢？如何通过一

个时间序列研究其过程的平稳性呢？

Wold分解定理：任何协方差平稳过程加都可以被表示为

oO

xt-f.i-d,=ut+6«/.)+giit-2+...+=卅T

J=O

其中〃表示M的期望。”表示即的线性确定性成分，如周期性成分、时间，的多项式和指

数形式等，可以直接用易的滞后值预测。四=1，勿/<8。为白噪声过程。〃,表示

用即的滞后项预测为时的误差。

=E(x,|XM,Xf-2一••)

称为H的线性非确定性成分。当％=0时，称为为纯线性非确定性过程。

Wold分解定理由Wo.d在1938年提出。Wold分解定理只要求过程2阶平稳即可。从原

理上讲，要得到过程的WNd分解，就必须知道无限个科参数，这对于一个有限样本来说是

不可能的。实际中可以对必做另一种假定，即可以把3(L)看作是2个有限特征多项式的比,

001+夕也+%L2+...+观，

汽与=z匕〃二

①(L)1+曲心+次7?+...+耙〃

>0

注意，无论原序列中含有何种确定性成分，在前面介绍的模型种类中，还是后面介绍的

自相关函数、偏自相关函数中都假设在原序列中己经剔除了所有确定性成分，是一个纯的随

机过程(过程中不含有任何确定性成分)。如果一个序列如上式，

Xt=〃+&+llt+幽，〃-1+SUt-2+...+

则所有研究都是在)，产即的基础上进行。例如前面给出的各类模型中都不含有均值项、

时间趋势项就是这个道理，

2.3自相关函数

以上介绍了随机过程的几种模型。实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种

模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。

1.自相关函数定义

在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。由第一节知随机过程(即｝中的每

一个元素为，/=1,2,…都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常数，用〃表示,

即

E(x；)=//,1=1,2,...(2.25)

随机过程的取值将以〃为中心上下变动。平稳随机过程的方差也是一个常量

222

Var(xf)=E[区-E(x；))]=E[(M-//)]=ax,t=1,2,...(2.26)

小2用来度量随机过程取值对其均值；/的离散程度。

相隔％期的两个随机变量占与即」的协方差即滞后k期的自协方差，定义为

及=Cov(xi,xt-k)=E[(x,-〃)(xt-A--//)](2.27)

自协方差序列

左，2=0,1,…,K,

称为随机过程｛即｝的自协方差函数。当&=0时

2

｝t)=Var(x,)=CTX

自相关系数定义

A=。八,区，再-人)_0.28)

y/Var(xJylVar(X[_k)

因为对于一个平稳过程有

Var(即)=Var(X,.A)=苏(2.29)

所以(2.28)可以改写为

0g(―)=4=n(230)

"九

当k=0时，有00=1。

以滞后期k为变量的自相关系数列

Pk,&=0,1,…，K(2.31)

称为自相关函数。因为G=p-K即Cov(Xr“.，M)=CoV(M,Xr+£),自相关函数是零对称的，

所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可。

2.自回归过程的自相关函数

(1)平稳AR(1)过程的自相关函数

AR(1)过程如下

A7=^1AM+Ut»I如vl

用即d同乘上式两侧

XtXf.k=6X7%k+UtXt-k

两侧同取期望，5%k=5-〃)g"))

及二如"1

其中E(x“出)=0(如与其期及以前各项都不相关)。两侧同除犯得，

pk—pk-\=0.2=…=0S)

因为乃二1。所以有

pk=必,(女之0)

对于平稳序列有|而|<1。所以当0为正时，自相关函数按指数衰减至零(过阻尼情形)，

当0为负时.，自相关函数正负交错地指数衰减至零。见图2.6。因为对于经济时间序列，6

一般为正，所以第一种情形常见。指数衰减至零的表现形式说明随着时间间隔的加长，变量

之间的关系变得越来越弱，

0>0(经济问题中常见)0<0(经济问题中少见)

图2.6AR(1)过程的自相关函数

(2)AR(p)过程的自相关函数

用xt-K,(A>0)同乘平稳的〃阶自I可归过程

Xt=^iXr-1+</>1XI.2+...+</>pXf.p+Ui(2.32)

的两侧，得

Xt.kX,=(j)\X,.*Xr.i+血为“E.2+...+</>l>Xl.kXt.p+Xt-kUi(2.33)

对上式两侧分别求期望得

族二0%-i+0*2+…+办算"，左>0(2.34)

上式中对于k>0,有E(x」“)=()。因为当Q0时，X..A.发生在出之前，所以为“.与u,

不相关。

用翔分别除(2.34)式的两侧得

pk=(p\pk-\+(kipk-2+...+(pppk-p，k>0(2.35)

令叭L)=(\-©\L-如R-…-@pLP)其中L为左的滞后算子，则上式可表达为

JL)pk~0

因叭L)可因式分解为，

皿坨(1-G6

i=\

则(2.35)式的通解(证明见附录)是

向=4Gi*十A2G2r十…十ApGp”.(2.36)

其中A,」=1,…〃为待定常数。这里G『,i=l,2,…,〃是特征方程

处)=(1-血G…-

的根。为保证随机过程的平稳性，要求|G,|<l"=l,2-..,p,这会遇到如下两种情形。

①当G,为实数时，(2.36)式中的AGP将随着々的增加而几何衰减至零，称为指数衰

减(过阻尼情形)。

②当G和G表示一对共挽复根时，设G尸。+bi,Gj=a-bi,yla2+b2=/?,则G1-，G

的极座标形式是G=R(G)se+iSi〃8),Gj=R(Cos6-i若AR(p)过程平稳，则@|<

1,所以必有R<1。那么随着「的增加,Gik=Rk(CoskO+iSinkO),Gjk=Rk(CoskO-iSinkO),

自相关函数(2.36)式中的相应项GAG/将按正弦振荡形式衰减(欠阻尼情形)。实际中的

平稳自回归过程的自相关函数常是由指数衰减和正弦衰减两部分混合而成。

③从(2.36)式可以看出，当特征方程的根取值远离单位圆时，攵不必很大，自相关函

数就会衰减至零。

④有一个实数根接近1时，自相关函数将衰减的很慢，近似于线性衰减。当有两个以

上的根取值接近1时，自相关函数同样会衰减的很慢。

a.两个特征根为实根b.两个特征根为共枕复根

图2.6AR(2)过程的自相关函数

3.移动平均过程的自相关函数

(l)MA(l)过程的自相关函数。

对于MA⑴过程xt=ut+0\M/.i

有

”=E(3为“)=E[(«/+0\%/)(〃/…+8«/.*.1)]

当左=0时，

州=E(MM)=E：(，〃+:〃“)(〃/+0\M/.1)]

22222

=E(u,+0\utZ/M+0\u(Ui.\+0\u,.\)=(1+0\)a

当&=1时

/i=E(jfXM)=E[(w,+aM/.l)(W/-|+0\Ut-2)]

221

=E(u/ut.\+0\ib.\+0\utM/.2+GrUt.iut_2)=。E(w/.i)=Oia

当Q1时，

Yk=E[(〃/+0\«/.i)(«/-*+0\Hr-jt-i)]=0

综合以上三种情形，MA(I)过程自相关函数为

6h>0岛<0

图2.7MA(1)过程的自相关函数

可见MA(1)过程的自相关函数具有截尾特征。当&>1时，A=0o

(2)MA(g)过程的自相关函数

MA(g)过程的自相关函数是

「然+四。-1+夕2然+2+•••+%-田g.1I

Pk=------------------------T2----，k=1,2,…，q,

1+仇+0-C+...+0

04>g,

当k>q时，0=0,说明R,2=0,1,…具有截尾特征。

(注意：模型移动平均项的符号以及这里0的符号正好与Box-Jenkins书中的符号相反,

这样表示的好处是保持与计算机输出结果一致。)

4.ARMA(1,1)过程的自相关函数

ARMA(1,1)过程的自相关函数0从0开始指数衰减。。的大小取决于胸和仇，0

的符号取决于(0-岛)。若炳>0,指数衰减是平滑的，或正或负。若0<0,相关函数为

正负交替式指数衰减。

对于ARMA(p,g)过程，〃，夕22时，自相关函数是指数衰减或正弦衰减的。

5.相关图(correlogram)

对于一个有限时间序列(用,也,…，灯)用样本平均数

钎7ix>

r=l

估计总体均值〃，用样本方差

1工

$2=区一工)2

1/=1

估计总体方差缶2。

当用样本矩估计随机过程的臼相关函数，则称其为叩关图或估计的自相关函数，记为

小=幺，2=0,1,2,(K<T).(2.41)

Q

〃是对外的估计。其中

.T-k

G=—（X,-工）区_&一工），k=0,1,2,K（2.42）

是对力的估计

Co=(2.43)

1r=l

是对为的估计，7是时间序列数据的样本容量。实际中T不应太小，最好能大于60。

注意：(2.42)式分母为T,不是7-鼠Q为有偏估计量。但在小样本条件下更有效。

Date:06/05/03Time:23:08

Sample:19491998

Includedobservations:49

AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProb

10.6030.60318.9310.000

20,237-0.19921.9240.000

30.1210.11322.7150.000

40,064-0.04622.9420.000

「5-0.012-0.05322.9500.000

6-0.072-0.04623.2540.001

7-0.151-0.12524.6190.001

8-0.1610.00526.1940.001

9-0.185-0.12828.3430.001

10-0.215-0.06431.2990.001

注：2个标准差=2T-,/2=2(1/7)=0.286。图中虚线表示到中心线2个标准差宽度。

相关图是对自相关函数的估计。由于MA过程和ARMA过程中的MA分量的自相关函

数具有截尾特性，所以通过相关图可以估计MA过程的阶数依相关图是识别MA过程阶数

和ARMA过程中MA分量阶数的一个重要方法。实际应用中相关图一般取A=15就足够了。

〃•的方差近似为尸。所以在观察相关图时，若屋的绝对值超过2尸,2(2个标准差)，

就被认为是显著地不为零s当T充分大时，近似有

2.4偏自相关函数

偏自相关函数是描述随机过程结构特征的另一种方法。用的表示