2024年高考数学二轮复习专题二三角函数与解三角形第2讲函数y=Asinωx+φ的图象与性质梯度训练含解析新人教A版

PAGE1-第2讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质选题明细表学问点·方法巩固提高A巩固提高B函数y=Asin(ωx+)的图象及变换2,4,6,83,5,14,16定义域、值域、函数值6,122,11,13,15周期1,4,5,91,7,9单调性与最值3,6,7,9,111,8,12奇偶性、对称中心、对称轴3,5,6,10,154,10,11综合性问题13,16,176,17巩固提高A一、选择题1.函数y=2sin(4x-)+1的最小正周期为(C)(A) (B) (C) (D)π解析:由最小正周期公式可得,函数y=2sin(4x-)+1的最小正周期为T==.故选C.2.把函数y=5sin(2x-)的图象向左平移个单位,再把所得函数图象上全部点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到图象的解析式为(B)(A)y=5sinx (B)y=5sin(x+)(C)y=5sin(x+) (D)y=5sin(4x+)解析:把函数y=5sin(2x-)的图象向左平移个单位,得y=5sin［2(x+)-］=5sin（2x+）,再把所得函数图象上全部点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到图象的解析式为y=5sin（x+）,故选B.3.下列函数中,既为偶函数又在(0,π)上单调递增的是(C)(A)y=tanx (B)y=cos(-x)(C)y=-sin（-x） (D)y=|tanx|解析:y=tanx为奇函数,解除A.y=cos(-x)=cosx在(0,π)上单调递减,解除B.y=|tanx|在x=没有意义,解除D.故选C.4.函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0,0≤≤π)的部分图象如图所示,其中A,B两点之间的距离为5,则f(x)的递增区间是(B)(A)[6k-1,6k+2](k∈Z)(B)[6k-4,6k-1](k∈Z)(C)[3k-1,4k+2](k∈Z)(D)[3k-4,3k-1](k∈Z)解析:|AB|=5,|yA-yB|=4,所以|xA-xB|=3,即=3,所以T==6,ω=,由f(x)=2sin（x+）过点(2,-2),即2sin（+）=-2,0≤≤π,解得=,函数为f(x)=2sin（x+）,由2kπ-≤x+≤2kπ+,解得6k-4≤x≤6k-1,故函数f(x)的单调递增区间为[6k-4,6k-1](k∈Z).故选B.5.已知函数f(x)=(1+cos2x)sin2x,x∈R,则f(x)是(D)(A)最小正周期为π的奇函数(B)最小正周期为的奇函数(C)最小正周期为π的偶函数(D)最小正周期为的偶函数解析:f(x)=2cos2xsin2x=sin22x=⇒T==,且f(x)是偶函数.故选D.6.把函数f(x)=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,关于函数g(x),下列说法正确的是(D)(A)在［,］上是增函数(B)其图象关于直线x=-对称(C)函数g(x)是奇函数(D)当x∈［,］时,函数g(x)的值域是[-2,1]解析:由题意得,g(x)=2sin［2（x+）+］=2sin（2x+）=2cos2x,A中,当x∈［,］时,2x∈［,π］,g(x)是减函数,故A错;B中,g（-）=2cos（-）=0,故B错;C中,g(x)是偶函数,故C错;对于D,当x∈［,］时,2x∈［,］,值域为[-2,1],D正确.故选D.7.已知函数f(x)=Asin(ωx+)（A>0,ω>0,||<）的部分图象如图所示,若将f(x)图象上的全部点向右平移个单位得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的单调递增区间为(A)(A)［kπ-,kπ+］,k∈Z(B)［kπ+,kπ+］,k∈Z(C)［kπ-,kπ+］,k∈Z(D)［kπ-,kπ-］,k∈Z解析:由题图可得,f(x)的振幅A=2,周期T=4×（-）=π,则ω=2,又||<,所以2×+=,解得=,所以f(x)=2sin（2x+）,平移后得g(x)=2sin［2（x-）+］=2sin（2x+）,令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以g(x)的单调递增区间为［-+kπ,+kπ］,k∈Z.故选A.8.(2024·嘉兴一模)已知函数f(x)=3sin(3x+),x∈[0,π],则y=f(x)的图象与直线y=2的交点个数最多有(C)(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个解析:令f(x)=3sin(3x+)=2,得sin(3x+)=∈[-1,1].又x∈[0,π],所以3x∈[0,3π],所以3x+∈[,3π+].依据正弦函数的图象与性质,可得函数y=f(x)的图象与直线y=2的交点最多有4个.故选C.二、填空题9.函数f(x)=sin2-cos2的最小正周期是.

解析:因为sin2-cos2=-cosx,则利用周期公式T==2π.答案:2π10.若函数y=cos(ωx-)(ω∈N*)图象的一条对称轴是x=,则ω的最小值为.

解析:由题意得cos(ω-)=±1⇒ω-=kπ(k∈Z)⇒ω=6k+2(k∈Z),因为ω∈N*,所以ω的最小值为2.答案:211.设ω>0,若函数f(x)=sincos在区间［-,］上单调递增,则ω的范围是.

解析:首先函数化简为f(x)=sinωx,求它的单调递增区间,2kπ-≤ωx≤2kπ+⇒-≤x≤+,k∈Z,考虑到题设中x∈［-,］,因此［-,］⊆［-,］,因此可求出ω≤,即0<ω≤.答案:(0,］12.函数f(x)=cos2x+sinx的值域是.

解析:y=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1=-2(sinx-)2+∈［-2,］.答案:［-2,］13.若函数f(x)=asinx+cosx在区间(,)上单调递增,则实数a的取值范围是.

解析:因为函数f(x)=asinx+cosx在区间(,)上单调递增,所以f′(x)≥0在区间(,)上恒成立,f′(x)=acosx-sinx≥0⇒acosx≥sinx.因为x∈(,),所以cosx>0,所以a≥=tanx.因为y=tanx在区间(,)上单调递增,所以<tanx<1,所以a≥1,即实数a的取值范围是[1,+∞).答案:[1,+∞)14.已知函数f(x)=2sin(x+)+acosx(a∈R)的最大值为,则a=.

解析:因为f(x)=sinx+(a+1)cosx,所以=,所以a=1或-3.答案:1或-315.(2024·江苏卷)已知函数y=sin(2x+)(-<<)的图象关于直线x=对称,则的值为.

解析:令f(x)=y=sin(2x+),由题意得f()=sin(π+)=±1,所以π+=kπ+,所以=kπ-,k∈Z.因为∈(-,),所以取k=0,得=-.答案:-16.方程1-2sin2x+2cosx-m=0有解,则实数m的范围是.

解析:方程1-2sin2x+2cosx-m=0有解,即2cos2x+2cosx-1-m=0有解,即m=2cos2x+2cosx-1有解,因为cosx∈[-1,1],故当cosx=-时,m取得最小值-,当cosx=1时,m取得最大值3.答案:［-,3］三、解答题17.(2024·浙江高三其次次联考)已知函数f(x)=2sin2(-x)-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)当x∈［0,］时,求函数f(x)的值域.解:(1)f(x)=2sin2(-x)-cos2x=1-cos(-2x)-cos2x=1-sin2x-cos2x=1-2sin(2x+).所以f(x)的最小正周期为π,单调递增区间为［+kπ,+kπ］,k∈Z.(2)当x∈［0,］时,2x+∈［,］,sin(2x+)∈［,1］,所以f(x)∈[-1,1-].巩固提高B一、选择题1.下列函数中,周期为π,且在［,］上为减函数的是(C)(A)y=sin(x+) (B)y=cos(x+)(C)y=sin(2x+) (D)y=cos(2x+)解析:A,B周期为2π,故解除;当x∈［,］时,2x+∈［π,］,y=sin(2x+)满意.故选C.2.函数y=lg(cosx-)的定义域为(C)(A)(-,) (B)(kπ-,kπ+)(k∈Z)(C)(2kπ-,2kπ+)(k∈Z) (D)R解析:由cosx->0,得x∈(2kπ-,2kπ+),k∈Z.故选C.3.已知f(x)=cos(x+)-sin(x+)为偶函数,则可以取的一个值为(D)(A) (B) (C)- (D)-解析:函数f(x)=2sin(-x-)=2cos(+x+),当=-时,f(x)=2cosx,这时满意f(-x)=f(x),是偶函数.故选D.4.设f(x)=sin(x+),若在x∈[0,2π]上关于x的方程f(x)=m有两个不等实根x1,x2,则x1+x2为(A)(A)或 (B)(C) (D)不确定解析:由题意可知x+∈［,］,f(x)=m有两个不等的实根x1,x2,则若这两点关于直线x+=对称,则有x1+x2=,若这两点关于x+=对称,则有x1+x2=.故选A.5.函数y=4cosx-e|x|(e为自然对数的底数)的图象可能是(A)解析:设y=f(x)=4cosx-e|x|,因为f(-x)=4cos(-x)-e|-x|=4cosx-e|x|=f(x),所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,解除选项B,D;又由于f(0)=4cos0-e|0|=3,解除选项C.故选A.6.已知函数f(x)=2sin(2x+)的图象为C,则:①C关于直线x=π对称;②C关于点（,0）对称;③f(x)在(-,)上是增函数;④由y=2cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.以上结论正确的有(D)(A)①④ (B)①③ (C)②③④ (D)①③④解析:将x=π代入函数解析式得f（）=-2,函数取到最小值,所以①正确;将x=代入函数解析式得f（）=2,故（,0）不是函数的对称中心,②错误;令-+2kπ≤2x+≤+2kπ得-π+kπ≤x≤kπ+,故③正确,y=2cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到y=2cos（2x-）=2cos（2x-+）=2sin（2x+）,故④正确.故选D.7.(2024·天津卷)设函数f(x)=2sin(ωx+),x∈R,其中ω>0,||<π.若f（）=2,f（）=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则(A)(A)ω=,= (B)ω=,=-(C)ω=,=- (D)ω=,=解析:因为f（）=2,f（）=0,且f(x)的最小正周期大于2π,所以f(x)的最小正周期为4（-）=3π,所以ω==,所以f(x)=2sin(x+).因为f()=2,所以2sin(×+)=2,得=2kπ+,k∈Z.又||<π,所以取k=0,得=.故选A.8.若函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x-m在［0,］上有零点,则m的取值范围为(D)(A)[-1,2] (B)[1,3](C)[-1,2+] (D)[1,2+]解析:因为f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x-m=1+sin2x+1+cos2x-m=sin(2x+)+2-m,x∈［0,］,2x+∈［,］,所以sin(2x+)∈[-1,],为使函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x-m在［0,］上有零点,需m-2∈[-1,],所以m的取值范围为[1,2+],故选D.二、填空题9.函数f(x)=sin(2x+)的最小正周期为.

解析:函数f(x)的最小正周期为T==π.答案:π10.已知函数f(x)=tanx+,若f(α)=5,则f(-α)=.

解析:因为f(α)+f(-α)=0,所以f(-α)=-f(α)=-5.答案:-511.设函数f(x)=cos(x+),(0<<π),若f(x)+f′(x)是奇函数,则=.

解析:因为f(x)+f′(x)是奇函数,所以f(0)+f′(0)=0,即cos-sin=0,所以=.答案:12.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在(,)上有最大值,但没有最小值,则ω的取值范围是.

解析:函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在(,)上有最大值,但没有最小值,所以ω×+<<ω×+≤⇒ω∈(,3).答案:（,3）13.函数y=ln(2sinx-)+的定义域是.

解析:由题设可得即借助正弦曲线解sinx>得+2kπ<x<2kπ+,k∈Z,借助余弦曲线解cosx≤得+2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z,求其交集可得+2kπ≤x<2kπ+,k∈Z,故所求函数的定义域是［+2kπ,+2kπ）(k∈Z).答案:［+2kπ,+2kπ）,k∈Z14.函数f(x)=2sin(ωx+)（ω>0,0<<）部分图象如图所示,A为图象的最高点,B,C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形.的终边经过点(1,),则ω=,=.

解析:由题设tan=⇒=,所以f(x)=2sin（ωx+）,又因为△ABC为正三角形,所以三角形的高h=BCsin60°=×==2,所以T=8⇒ω==.答案:15.若函数f(x)=2sin(ωx+)+m,对随意实数t,都有f（+t）=f（-t）,且f（）=-3,则实数m的值等于.

解析:因为f(x)=2sin(ωx+)+m对随意实数t,都有f（+t）=f（-t）,且f（）=-3,所以x=是其对称轴方程,m+2=-3或