2025版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合学案文含解析新人教A版

PAGEPAGE1第一节集合2024考纲考题考情1．集合的含义与表示方法(1)集合的含义：探讨对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉。(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。2．集合间的基本关系3.集合的基本运算1．集合元素的三个特性确定性、无序性、互异性。2．集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个。3．留意空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的探讨，防止漏解。4．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A。(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B。(3)补集的性质：A∪(eq\a\vs4\al(∁U)A)＝U；A∩(eq\a\vs4\al(∁U)A)＝∅；eq\a\vs4\al(∁U)(eq\a\vs4\al(∁U)A)＝A。eq\a\vs4\al(∁U)(A∩B)＝(eq\a\vs4\al(∁U)A)∪(eq\a\vs4\al(∁U)B)；eq\a\vs4\al(∁U)(A∪B)＝(eq\a\vs4\al(∁U)A)∩(eq\a\vs4\al(∁U)B)。一、走进教材1．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤eq\r(2018)}，a＝2eq\r(2)，则()A．a∈P B．{a}∈PC．{a}⊆P D．a∉P解析因为a＝2eq\r(2)不是自然数，而集合P是不大于eq\r(2018)的自然数构成的集合，所以a∉P。故选D。答案D2．(必修1P12B组T1改编)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________。解析由已知得M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，所以M∪N的子集有26＝64(个)。答案64二、走近高考3．(2024·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}解析依据集合交集中元素的特征，可以求得A∩B＝{0,2}。故选A。答案A4．(2024·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}解析因为A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，所以A∩B＝{1,2}。故选C。答案C5．(2024·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3B．2C．1D．0解析联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,y＝x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)，,y＝\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),2)，,y＝－\f(\r(2),2)，))所以交点坐标分别是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))。故选B。解析：集合A表示单位圆上的点的集合，集合B表示直线y＝x上的点的集合，依据图象简单推断有两个交点，故选B。答案B三、走出误区微提示：①忽视集合的互异性致使出错；②分类探讨不全面导致漏解。6．已知集合A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________。解析因为B⊆A，所以m＝3或m＝eq\r(m)，即m＝3或m＝0或m＝1，依据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3。答案0或37．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________。解析易得M＝{a}。因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝±1。答案0或1或－1考点一集合的含义及表示【例1】(1)已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为()A．3 B．6C．8 D．9(2)设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，且A，B中有唯一的公共元素9，则实数a解析(1)集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个。故选D。(2)因为集合A，B中有唯一的公共元素9，所以9∈A。若2a－1＝9，即a＝5，此时A＝{－4，9,25}，B＝{9,0，－4}，则集合A，B中有两个公共元素－4,9，与已知冲突，舍去。若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A＝{－4,9,5}，B＝{－2，－2,9}，B中有两个元素均为－2，与集合中元素的互异性冲突，应舍去；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，符合题意。综上所述，a答案(1)D(2)－31．探讨集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满意的限制条件是什么，从而精确把握集合的含义。2．利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要留意检验集合是否满意元素的互异性。【变式训练】(1)(2024·湖北天门等三地联考)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A．3B．4C．5D．6(2)若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a解析(1)a∈{1,2,3}，b∈{4,5}，则M＝{5,6,7,8}，即M中元素的个数为4。故选B。(2)若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中含有元素－3，－1，－4，满意题意；若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不满意集合中元素的互异性；若a2－4＝－3，则a＝±1，当a＝1时，集合A中的三个元素为－2,1，－3，满意题意；当a＝－1时，不符合题意。综上可知，a＝0或a答案(1)B(2)0或1考点一集合的含义及表示【例2】(1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为()A．7B．8C．15D．16(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m解析(1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1,2,3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个。或因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)。(2)因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2。②若B≠∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5。))解得2≤m≤3。由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3。答案(1)A(2)(－∞，3]【互动探究】本例(2)中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，如何求解？解析因为B⊆A，所以①当B＝∅时，即2m－1<m＋1时，m<2，符合题意。②当B≠∅时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1>5，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,2m－1<－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m>4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m<－\f(1,2)，))即m>4。综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)。答案(－∞，2)∪(4，＋∞)1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必需优先考虑空集的状况，否则会造成漏解。2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满意的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题。【变式训练】(1)(2024·湖北省部分重点中学联考)已知集合M＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是()A．MN B．NMC．M⊆∁RN D．N⊆∁RM(2)(2024·长春市调研)已知集合M＝{0,1}，则满意条件M∪N＝M的集合N的个数为()A．1B．2C．3D．4解析(1)依题意知，M＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM。故选B。(2)由M∪N＝M，得N⊆M。又M中有2个元素，故其子集的个数为22＝4，所以集合N的个数为4。故选D。答案(1)B(2)D考点三集合的运算微点小专题方向1：集合的基本运算【例3】(2024·天津高考)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝()A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}解析由题意得，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，又C＝{x∈R|－1≤x<2}，所以(A∪B)∩C＝{－1,0,1}。故选C。答案C集合的运算要留意数形结合，特殊是数轴，Venn图等。方向2：利用集合运算求参数【例4】(1)(2024·南昌二中模拟)已知集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B．[－1,2]C．[－2,1]D．[2，＋∞)(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1C．2D．4解析(1)集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}＝{x|－2≤x≤2}，因为A∪B＝A，则B⊆A，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－2，,a＋1≤2，))所以－2≤a≤1。故选C。(2)由题意可得{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4。故选D。答案(1)C(2)D参数问题要留意分类探讨和等价转化。方向3：集合的新定义问题【例5】已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A．77B．49C．45D．30解析如图，集合A表示如图所示的全部圆点“”，集合B表示如图所示的全部圆点“”＋全部圆点“”，集合A⊕B明显是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的全部整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，则集合A⊕B表示如图所示的全部圆点“”＋全部圆点“”＋全部圆点“”，共45个。故A⊕B中元素的个数为45。故选C。答案C解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：①紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清晰，应用到详细的解题过程之中；②用好集合的性质。解题时要擅长从试题中发觉可以运用集合性质的一些因素。【题点对应练】1．(方向1)设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是()A．M∪N＝M B．M∪(eq\a\vs4\al(∁R)N)＝MC．N∪(eq\a\vs4\al(∁R)M)＝R D．M∩N＝M解析因为M＝{x|x<4}，N＝{x|0<x<2}，所以M∪N＝{x|x<4}＝M，A正确；M∪eq\x(\a\vs4\al(∁R)N)＝R≠M，B错误；N∪(eq\a\vs4\al(∁R)M)＝{x|0<x<2}∪{x|x≥4}≠R，C错误；M∩N＝{x|0<x<2}＝N，D错误。故选A。答案A2．(方向2)设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(4,3)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)) D．(1，＋∞)解析A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，设函数f(x)＝x2－2ax－1，因为函数f(x)＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a(a>0)，f(0)＝－1<0，依据对称性可知若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2≤0，,f3>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－4a－1≤0，,9－6a－1>0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(3,4)，,a<\f(4,3)，))即eq\f(3,4)≤a<eq\f(4,3)。故选B。答案B3．(方向3)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P⊗Q＝{z|z＝a÷b，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1,0,1}，Q＝{－2，2}，则集合P⊗Q中元素的个数是()A．2B．3C．4D．5解析当a＝0时，无论b取何值，z＝a÷b＝0；当a＝－1，b＝－2时，z＝eq\f(1,2)；当a＝－1，b＝2时，z＝－eq\f(1,2)；当a＝1，b＝－2时，z＝－eq\f(1,2)；当a＝1，b＝2时，z＝eq\f(1,2)。故P⊗Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，\f(1,2)))，该集合中共有3个元素。故选B。答案Beq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老师备用题))1．(协作例1运用)设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为()A．1B．2C．3D．4解析若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1。故选A。答案A2．(协作例1运用)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()A．4 B．2C．0 D．0或4解析由题意知方程ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解。当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a答案A3．(协作例4运用)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围为()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)解析解法一：由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝{x|0<x<1}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝{x|0<x<c}。由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1。故选B。解法二：A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝{x|0<x<1}，取c＝1，得B＝{x|0<x<1}，则A⊆B成立，可解除C，D；取c＝2，得B＝{x|0<x<2}，则A⊆B成立，可解除A。故选B。答案B4．(协作例5运用)定义集合A，若对于随意a，b∈A，有a＋b∈A且a－b∈A，则称集合A为闭集合。给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合B＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合。其中正确结论的序号是________。解析①中，－4＋(－2)＝－6不属于A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈B，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈B，n1－n2∈B，所以②正确；对于③，令A1＝{n|n＝5k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确。答案②不明代表元素、忽视端点、遗忘空集致误集合是中学数学中最基本的概念之一，在历年高考中，集合问题常以选择题或填空题的形式出现，主要考查集合的相关概念、集合间的基本关系、集合的基本运算等，但在平常的学习中，学生往往不能深刻理解这些学问，导致考场上出现各种各样的错误。一、因忽视代表元素而致误【典例1】设P＝{y|y＝x2，x∈R}，Q＝{y|y＝2－|x|，x∈R}，求P∩Q。【错解】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝2－|x|))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1，))所以P∩Q＝{(1,1)，(－1,1)}。【剖析】上述解法混淆了集合的代表元素，本题中两个集合中的代表元素是y，而不是点的坐标。【正解】因为P＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，Q＝{y|y＝2－|x|，x∈R}＝{y|y≤2}，所以P∩Q＝{y|y≥0}∩{y|y≤2}＝{y|0≤y≤2}。【变式训练1】已知集合M＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{(x，y)|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N＝________。解析解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋1，,y＝x＋1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))从而可知M∩N＝{(0,1)，(1,2)}。答案{(0,1)，(1,2)}二、因忽视区间端点而致误【典例2】已知集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|a<x<a＋4}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围。【错解】因为A＝{x|2≤x≤3}，B＝{x|a<x<a＋4}，要使A∩B＝∅，需满意a＋4<2或a>3，即a<－2或a>3，所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)。【剖析】上述解法的错误缘由是忽视了集合A＝{x|2≤x≤3}的两个端点值2和3，事实上，当a＝3时，B＝{x|3<x<7}，满意A∩B＝∅。当a＋4＝2即a＝－2时，B＝{x|－2<x<2}，满意A∩B＝∅。【正解】因为A＝{x|2≤x≤3}，B＝{x|a<x<a＋4}，要使A∩B＝∅，需满意a＋4≤2或a≥3，即a≤－2或a≥3，所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)。【变式训练2】设集合S＝{x|x>3或x<－3}，T＝{x|a≤x≤a＋8}，若S∪T＝R，