2024高考数学二轮复习第一部分送分专题-练中自检第5讲推理证明与复数练习文

PAGEPAGE1第5讲推理、证明与复数一、选择题1．(2024·石家庄质检)在复平面内，复数eq\f(1,1＋i2＋1)＋i4对应的点在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：因为eq\f(1,1＋i2＋1)＋i4＝eq\f(1,1＋2i)＋1＝eq\f(1－2i,1＋2i1－2i)＋1＝eq\f(6,5)－eq\f(2,5)i，所以其在复平面内对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，－\f(2,5)))，位于第四象限．答案：D2．(1)已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是eq\f(1,2)ah，假如把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为eq\f(1,2)lr；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，则(1)(2)两个推理过程分别属于()A．类比推理、归纳推理B．类比推理、演绎推理C．归纳推理、类比推理D．归纳推理、演绎推理解析：(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相像之处，此种推理为类比推理；(2)由特别到一般，此种推理为归纳推理．答案：A3．(2024·石家庄模拟)若z是复数，z＝eq\f(1－2i,1＋i)，则z·eq\x\to(z)＝()A.eq\f(\r(10),2) B.eq\f(\r(5),2)C．1 D.eq\f(5,2)解析：因为z＝eq\f(1－2i,1＋i)＝eq\f(1－2i1－i,1＋i1－i)＝－eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i，所以eq\x\to(z)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，所以z·eq\x\to(z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(3,2)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(3,2)i))＝eq\f(5,2).答案：D4．给出下面四个类比结论：①实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比复数z1，z2，若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0.②实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.③实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比复数z1，z2，有zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，则z1＝z2＝0.④实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.其中类比结论正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：对于①，明显是正确的；对于②，若向量a，b相互垂直，则a·b＝0，所以②错误；对于③，取z1＝1，z2＝i，则zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，所以③错误；对于④，若a2＋b2＝0，则|a|＝|b|＝0，所以a＝b＝0，故④是正确的．综上，类比结论正确的个数是2.答案：C5．设i是虚数单位，若复数a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3 B．－1C．1 D．3解析：由题知，a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,10)＝(a－3)－i，若其为纯虚数，则a－3＝0，∴a＝3.答案：D6．i为虚数单位，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))2＝()A．1 B．－1C．i D．－i解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))2＝eq\f(1－i2,1＋i2)＝eq\f(－2i,2i)＝－1.答案：B7．设复数z＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，则eq\f(z,\x\to(z))＝()A．z B.eq\x\to(z)C．－z D．－eq\x\to(z)解析：由题意得，eq\x\to(z)＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，∴eq\f(z,\x\to(z))＝eq\f(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i,\f(1,2)－\f(\r(3),2)i)＝eq\f(1＋\r(3)i,1－\r(3)i)＝eq\f(1＋\r(3)i2,1－\r(3)i1＋\r(3)i)＝eq\f(1－3＋\r(3)＋\r(3)i,4)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i＝－eq\x\to(z).选D.答案：D8．如图所示的数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(8,2)为()eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,10)eq\f(1,12)eq\f(1,10)eq\f(1,15)eq\f(1,22)eq\f(1,22)eq\f(1,15)eq\f(1,21)eq\f(1,37)eq\f(1,44)eq\f(1,37)eq\f(1,21)…A.eq\f(1,45) B.eq\f(1,86)C.eq\f(1,122) D.eq\f(1,167)解析：由数阵知A(3,2)＝eq\f(1,6＋6)，A(4,2)＝eq\f(1,6＋6＋10)，A(5,2)＝eq\f(1,6＋6＋10＋15)，…，则A(8,2)＝eq\f(1,6＋6＋10＋15＋21＋28＋36)＝eq\f(1,122).答案：C9．(2024·江淮十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不行割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在eq\r(2＋\r(2＋\r(2＋…)))中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程eq\r(2＋x)＝x确定x＝2，则1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝()A.eq\f(－\r(5)－1,2) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1＋\r(5),2) D.eq\f(1－\r(5),2)解析：1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝x，即1＋eq\f(1,x)＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝eq\f(1＋\r(5),2)(x＝eq\f(1－\r(5),2)舍)，故1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝eq\f(1＋\r(5),2)，故选C.答案：C10．(2024·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中．”乙说：“我没有作案，是丙偷的．”丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷．”丁说：“乙说的是事实．”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可推断罪犯是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：由题可知，乙、丁两人的观点一样，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，明显两个结论相互冲突，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．答案：B11．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2解析：边数增加1，顶点也相应增加1个，它与它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．故选C.答案：C12．设复数z1和z2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z1＝3－2i，则z1·z2＝()A．－5＋12i B．－5－12iC．－13＋12i D．－13－12i解析：z1＝3－2i，由题意知z2＝－3＋2i，∴z1·z2＝(3－2i)·(－3＋2i)＝－5＋12i，故选A.答案：A二、填空题13．已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x－2)·i－y＝1＋i，则(1＋i)x＋y＝__________.解析：由复数相等的条件知x－2＝1，－y＝1，解得x＝3，y＝－1，所以(1＋i)x＋y＝(1＋i)2＝2i.答案：2i14．已知复数z＝eq\f(1＋3i,2＋i)，则|z|＝__________.解析：法一：因为z＝eq\f(1＋3i,2＋i)＝eq\f(1＋3i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(5＋5i,5)＝1＋i，所以|z|＝|1＋i|＝eq\r(2).法二：|z|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋3i,2＋i)))＝eq\f(|1＋3i|,|2＋i|)＝eq\f(\r(10),\r(5))＝eq\r(2).答案：eq\r(2)15．(2024·长春质检)将1,2,3,4，…这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行自左向右第10个数为__________．解析：由三角形数组可推断出，第n行共有2n－1个数，且最终一个数为n2，所以第10行共19个数，最终一个数为100，自左向右第10个数是91.答案：9116．在平面几何中：在△ABC中，∠C的内角平分线CE分AB所