2025年中考数学二轮复习备考－最大利润问题（一次函数的实际应用）常见题型模型练

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年中考数学二轮复习备考最大利润问题（一次函数的实际应用）常见题型模型练1．为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元．(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？(2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？2．某学校为表彰“阅读新时代”主题征文活动中取得优异成绩的参赛选手，计划购入《阅读的艺术》和《当青春遇见马克思》两种图书作为奖品发放，已知每本《阅读的艺术》的价格比每本《当青春遇见马克思》的价格少5元，且用600元购进《阅读的艺术》的数量与用800元购进《当青春遇见马克思》的数量相同．(1)求《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书的单价；(2)若学校一次性购进《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书共300本，且要求购进《阅读的艺术》的本数不超过《当青春遇见马克思》本数的2倍，则学校怎样购买才能使费用最少？最少费用是多少？3．随着新年的到来，清明上河园景区又迎来了一年一度的旅游高峰，为了给游客更好的体验，该景区准备购进一批太阳帽和旅行包．已知购进4个太阳帽和3个旅行包共需要100元，购进6个太阳帽和4个旅行包共需要140元．(1)求每个太阳帽和每个旅行包的进价．(2)该景区太阳帽的售价为15元，旅行包的售价为30元．景区计划购进太阳帽和旅行包共600个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的2倍，景区该如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？4．第九届亚洲冬季运动会已于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，期间吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．A商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元．(1)求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？(2)某中学八年级春季运动会上准备用吉祥物“滨滨”和“妮妮”作为奖品，计划从商场购买两种吉祥物共90个，要求购买“滨滨”数量不少于“妮妮”数量的2倍，商场若一个“滨滨”、“妮妮”分别加价8元、5元出售．问该校从商场购买“滨滨”多少个时，可使花费总额最少？5．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．(1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用两种食品各多少包？(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共8包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？6．某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用2400元购进甲坚果和用2000元购进乙坚果数量一样多．(1)求出甲、乙坚果每盒的进价分别为多少元？(2)若超市共购进了甲、乙两种坚果100盒，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值？7．第15届中国一一东盟博览会2018年9月在南宁如期举行，东盟各国客商齐聚南宁．一个商户看中了国内瓷器经销商的工艺品茶具，并得到如下信息：①每个茶壶的进货价比茶杯多35元；②一套茶具包括一个茶壶与四个茶杯，一套茶具的进货价为160元；(1)求茶壶和茶杯的进货价；(2)若该商户计划购进一批茶壶茶杯回国销售并以此评估本国市场对中国工艺茶具的喜爱程度．本次采购的茶杯的数量是茶壶数量的5倍还多20个，茶壶茶杯的总数不超过200个．在销售中将一半的茶壶按每套360元成套销售，其余按每个茶壶150元，每个茶杯60元零售，计划此次销售获利不低于7700元，则有多少种采购方案，哪个方案获利最大？8．学校为了给运动会获奖学生发放奖品，打算购买篮球、足球共30个．已知篮球、足球的单价分别是120元和100元．(1)求购买篮球、足球所需总费用（元）与购买篮球数量（个）的函数关系；(2)若学校计划购买篮球的数量不少于足球数量的2倍．问：学校所购买的篮球为多少个时，所需总费用最省？求出最省费用．9．为了缓解环境污染的问题，某地禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划购进A，B两种型号的电动自行车（两种型号都要购进）共30辆，其中A型电动自行车不少于10辆，A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元、3000元，售价分别为2800元、3500元，设该商店计划购进A型电动自行车x辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．(1)求出y与x之间的函数关系式．(2)该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？10．“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元．(1)，两类图书每本的进价各是多少元？(2)该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本．①求关于的关系式．②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？11．为丰富阳光大课间活动，某学校决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的毽子数量相同．(1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元．(2)学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请求出学校花钱最少的购买方案及最少花费．12．招远市某生态示范园积极响应政府提出的“践行生态有机理念，推动有机农业发展”经济政策，培育优良品种，种植了多种有机水果．某超市从该示范园第一次用500元购进甲种水果，500元购进乙种水果．乙种水果的进价是甲种水果进价的2.5倍，超市所进甲种水果比所进乙种水果多30千克．(1)求甲、乙两种水果的进价分别是每千克多少元？(2)第一次购进的水果很快销售完毕，为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种有机水果共100千克，其中甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍．若甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为30元/千克，超市第二次购进两种有机水果各多少千克时获得最大利润，最大利润是多少？13．某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价元，售价元；乙种服装每件进价元，售价元．现计划购进两种服装共件，其中甲种服装不少于件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元．(1)求与之间的函数关系式；(2)若购进件服装的总费用不超过元，求最大利润为多少元(3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为元，求的值．14．已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货7吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货8吨．根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆A型车和1辆B型车载满货物一次可分别运货多少吨？(2)某物流公司现有20吨货物要运输，计划同时租用A型车和B型车若干辆，一次运完，且恰好每辆车都满载货物，则物流公司有哪几种租车方案？请计算说理．(3)在（2）的条件下，若A型车每辆租金100元/次，B型车每辆租金120元/次．请你帮该物流公司设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费．15．某商场计划购进A、B两种新型节能灯共80盏，这两种灯的进价、售价如表：类型进价（元/盏）售价（元/盏）A型3045B型5070(1)设商场购进A型灯x盏，销售完这批灯总利润为y元，写出y与x之间的函数关系式；(2)若商场规定B型灯的进货数量不超过A型灯数量的4倍，那么A型和B型灯各进多少盏售完之后获得利润最多？此时利润是多少元？答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案1．(1)种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元(2)当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数解析式，是解题的关键：（1）设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解；（2）购进件种农产品，则购进件种农产品，根据题意列出一元一次不等式组，求出，设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则，再由一次函数的性质即可得解．【详解】（1）解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，根据题意得：，解得：，答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元；（2）解：购进件种农产品，则购进件种农产品，根据题意得：，解得：．设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则，即，，随的增大而减小，当时，取得最大值，此时．答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多．2．(1)每本《阅读的艺术》的价格为元，《当青春遇见马克思》每本的价格为元(2)当购进《阅读的艺术》本，购进《当青春遇见马克思》本时，费用最少，最少费用为元【分析】本题主要考查分式方程，不等式，一次函数求最值的方法，理解数量关系，正确列式求解是关键．（1）设每本《阅读的艺术》的价格为元，则《当青春遇见马克思》每本的价格为元，由此列分式方程求解即可；（2）设购进《阅读的艺术》的本数为本，则购进《当青春遇见马克思》的本数为本，则，设费用为元，则，根据一次函数求最值的方法即可求解．【详解】（1）解：每本《阅读的艺术》的价格比每本《当青春遇见马克思》的价格少5元，∴设每本《阅读的艺术》的价格为元，则《当青春遇见马克思》每本的价格为元，∵用600元购进《阅读的艺术》的数量与用800元购进《当青春遇见马克思》的数量相同，∴，解得，，检验，当时，，∴，∴每本《阅读的艺术》的价格为元，《当青春遇见马克思》每本的价格为元；（2）解：学校一次性购进《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书共300本，设购进《阅读的艺术》的本数为本，则购进《当青春遇见马克思》的本数为本，∴，解得，，设费用为元，∴，∵，∴随的增大而减小，∴当时，的值最小，最小值为元，∴当购进《阅读的艺术》本，购进《当青春遇见马克思》本时，费用最少，最少费用为元．3．(1)每个太阳帽的进价是10元，每个旅行包的进价是20元(2)购进400个太阳帽，200个旅行包，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元【分析】本题考查了一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意．（1）设每个太阳帽的进价是x元，每个旅行包的进价是y元，根据购进4个太阳帽和3个旅行包共需要100元，购进6个太阳帽和4个旅行包共需要140元建立二元一次方程组求解；（2）设购进太阳帽m个，旅行包个，设销售完后获得的利润为w元，根据“总利润=太阳帽的利润+旅行包的利润”建立函数，根据函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设每个太阳帽的进价是x元，每个旅行包的进价是y元，由题意得，，解得：，∴每个太阳帽的进价是10元，每个旅行包的进价是20元；（2）解：设购进m个太阳帽，则购进旅行包个，所获利润为w元，∵购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的2倍，∴，解得，由题意得，，∵，∴w随m的增大而减小，∴当时，w取得最大值，最大值为，此时，∴购进400个太阳帽，200个旅行包，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元．4．(1)600个；400个(2)60个【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出函数解析式．（1）设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个，根据某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设该校从A商场购买“滨滨”m个，则购买“妮妮”个，先根据“滨滨”数量不少于“妮妮”数量的2倍求出m的取值范围，再设该校花费总额w元，列出函数解析式求解．【详解】（1）解：设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个，由题意得：，解得：，答：商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个；（2）解：设该校从A商场购买“滨滨”m个，则购买“妮妮”个，由题意得：，解得：设该校花费总额w元，则∴∵，∴w随m的增大而增大，∴当时，w取得最小值，∴该校从A商场购买“滨滨”60个时花费总额最少．5．(1)选用A种食品2包，B种食品4包；(2)选用A种食品6包，B种食品2包．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用：（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可；（2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求得的范围，设总热量为，得到，再利用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得解方程组，得答：选用A种食品2包，B种食品4包；（2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据题意，得．∴．设总热量为，则．∵，∴w随a的增大而减小．∴当时，w最小．∴．答：选用A种食品6包，B种食品2包．6．(1)甲坚果每盒的进价是48元，乙坚果每盒的进价是40元(2)总利润的最大值是1570元【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用．（1）设乙坚果每盒的进价是元，则甲坚果每盒的进价是元，根据“用2400元购进甲坚果和用2000元购进乙坚果数量一样多”列方程求解；（2）先根据“总利润=两种坚果的利润和”列出函数关系式，再根据一次函数的性质求解．【详解】（1）解：设乙坚果每盒的进价是元，则甲坚果每盒的进价是元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解且符合题意，∴．答：甲坚果每盒的进价是48元，乙坚果每盒的进价是40元；（2）解：设该超市购进盒甲坚果，则购进盒乙坚果，根据题意得：，解得：．设两种坚果全部售完后获得的总利润为元，则，∵，∴随的增大而增大，又∵，且，均为正整数，∴当时，取得最大值，最大值为（元）．答：总利润的最大值是1570元．7．(1)茶杯的批发价为25元/个，则茶壶的批发价为60元/个(2)共有三种方案，当购进30个茶壶、170个茶杯时，有最大利润，最大利润为8200元【分析】（1）设茶杯的批发价为x元/个，则茶壶的批发价为元/个，根据一套茶具包括一个茶壶与四个茶杯，一套茶具的进货价为160元，即可得出关于x的方程，解之即可得出结论；（2）设商户购进茶壶m个，则购进茶杯个，根据总数不超过200个，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设利润为w,根据总利润=单件利润×销售数量结合销售方式，即可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价，列出关于x的一元一次方程（也可列二元一次方程组）；（2）根据数量关系，找出w关于m的函数关系式．【详解】（1）设茶杯的批发价为x元/个，则茶壶的批发价为元/个，根据题意得：，解得：，∴．答：茶杯的批发价为25元/个，则茶壶的批发价为60元/个．（2）设商户购进茶壶m个，则购进茶杯个，根据题意得：，解得：．∴根据题意可得，，解得，∴，∴x可取28，29，30，即共有三种方案；∵，∴w随着m的增大而增大，∴当m取最大值时，利润w最大，当时，．∴当购进30个茶壶、170个茶杯时，有最大利润，最大利润为8200元．8．(1)(2)学校所购买的篮球为15个时，所需总费用最省，最省费用为3300元．【分析】此题考查一次函数和一元一次不等式的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键；（1）根据总费用等于篮球的费用加上足球的费用可得关系式；（2）根据题意得到，求出，然后根据一次函数的性质求解即可．【详解】（1）根据题意得，；（2）∵学校计划购买篮球的数量不少于足球数量的2倍∴解得∵，∴y随x的增大而增大∴当，y取得最小值，即∴学校所购买的篮球为15个时，所需总费用最省，最省费用为3300元．9．(1)(2)购进A型电动自行车10辆、B型电动自行车20辆才能获得最大利润，此时最大利润是13000元【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意写出函数关系式、掌握一次函数的增减性是解题的关键．（1）根据“利润型电动自行车的总利润型电动自行车的总利润”写出y与x之间的函数关系式，并标明x的取值范围即可；（2）根据（1）求得的一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x为何值时y值最大，求出其最大值及此时的值即可．【详解】（1）解：根据题意，得，与x之间的函数关系式为；（2）解：，随x的减小而增大，，当时，y值最大，，（辆）；答：购进A型电动自行车10辆、B型电动自行车20辆才能获得最大利润，此时最大利润是13000元．10．(1)，两类图书每本的进价分别为32元，24元(2)①，②当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，（1）设类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据“购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元．”列出方程组，即可求解；（2）①根据“用元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为w元，根据题意，列出W关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：设，两类图书每本的进价分别为元，元．，解得答：，两类图书每本的进价分别为32元，24元．（2）①依题意；

∴②解得设利润为元．因为小于0，所以随的增大而减小，当取501时，，所以当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元．11．(1)跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元(2)购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少为4350元【分析】（1）设毽子的单价为元，根据用800元购买的跳绳数量和用500元购买的毽子数量相同列出方程，解之即可；（2）设购买跳绳m个，则购买毽子个，根据题意列出不等式进行求解，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花元，求出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最小值即可．【详解】（1）解：设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，依题意，得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，，答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元．（2）解：设购买跳绳m个，由题意可得：，解得：，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花元，则，∵，∴随的增大而增大，∴当时，最小，且为（元），∴当学校购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少为4350元．【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，以及利用一次函数解决最值问题．根据题意，准确的列出分式方程和一次函数表达式是解题的关键．12．(1)甲种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为25元/千克(2)超市第二次购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时获得最大利润，最大利润是425元【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．（1）根据题意，先设出甲、乙两种水果的单价，然后根据超市所进甲种水果比所进乙种水果多30千克，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；（2）根据题意，可以写出利润和购买甲种水果数量的函数关系式，然后根据甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍，可以得到甲种水果数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．【详解】（1）解：设甲种水果的进价是x元/千克，则乙种水果的进价为元/千克，由题意得：，解得，经检验：是原分式方程的解，∴，答：甲种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为25元/千克；（2）解：设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果千克，利润为w元，由题意可得：，∵，∴w随a的减小而增大，∵甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍，∴，解得，∴当时，w取得最大值，此时，，答：超市第二次购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时获得最大利润，最大利润是425元．13．(1)；(2)4500；(3)10．【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键．（1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式．（2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值．（3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于a，b的方程组求值即可．【详解】（1）解：其中：；（2）解：由题意得：，∴，∵中，，∴随的增大而增大，∴当时，(元)．（3）解：∵，∴，由题意得：．∵，∴当时，，∴y随x的增大而增大，∴当时，，∴，符合题意．当时，，不合题意．当时，，y随x的增大而减小．∴当时，，∴，不合题意，舍去．综上，．14