1.2 整式的乘法　复习讲义 2024－2025学年湘教版数学七年级下册

湘教版（2024版）初中七年级下册数学第一章1.2.1-1.2.3复习1.2.1平方差公式知识要点：1、平方差公式：即两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。2、公式表示：(a+b)(a-b)=a2-b2（首平方-尾平方）3、几何图形的面积计算：相应练习：1．下列各式中能用平方差公式计算的有(D)①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)y))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)y))；②(3x－yz)(－yz－3x)；③(2－x＋y)(2＋x＋y)；④(200＋2)(200－2)．A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列各式中，运算正确的是(C)①(22a)3＝8a3；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)x))＝1－eq\f(1,9)x2；③(x－1)2(1－x)3＝(x－1)5；④2a×4b×8×2＝2a＋2b＋3+1.A．①②B．②③C．②④D．③④3．填空题．(x＋5)(5－x)＝________，(－2x2－6y)()＝4x4－36y2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－\f(1,2)))＝________，解：25－x2；－2x2＋6y；x2－eq\f(1,4)4．计算：(1)(2x－3y)(2x＋3y)；(3)－[(3＋5x)(3－5x)]；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a＋\f(1,2)b))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－\f(1,2)b))；(4)302×298.解：(1)4x2-9y2(2)a2b2(3)25x2-9(4)899965．计算(x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1)(x8＋1)解：(x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1)(x8＋1)（x2-1）(x2＋1)(x4＋1)(x8＋1)=(x4-1)(x4＋1)(x8＋1)=(x8-1)(x8+1)=x16-16.观察：(x－1)(x＋1)＝x2－1；(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1.根据此规律，当(x－1)(x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1)＝0时，求x2025+2024的值.解：(x－1)(x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1)＝x6－1=（x3+1）(x3-1)=(x3+1)(x-1)(x2＋x＋1)=0,由于x2＋x＋1＞0，则x3+1=0或x-1=0，得x=±1.当x=1时：x2025+2024=1+2024=2025当x=－1时：x2025+2024=-1+2024=20237.先化简，再求值：(3x＋2y)(5x－8y)-(3x＋2y)(2x－6y)，当x取－eq\f(1,3)，y=1时，求上式子的值。解：(3x＋2y)(5x－8y)-(3x＋2y)(2x－6y)=(3x＋2y)[5x－8y-(2x－6y)]=(3x＋2y)(3x－2y)=9x2-4y2,当x取－eq\f(1,3)，y=1时，9x2-4y2=9×(－eq\f(1,3))2-4×(1)2=-31.2.2完全平方公式知识要点：1、完全平方公式：即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。2、公式表示：(a±b)2=a2±2ab+b2(首位平方和，首尾两倍放中间，同号正异号负)3、几何图形的面积计算：相应练习：1．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算(C)A．(a＋b)(a＋c)B．(x＋z)(－z＋x)C．(4b－3x)(－3x＋4b)D．(m－2n)(m＋2n)2．若(2x－5)2＝4x2＋kx＋25，则k的值为(D)A．10B．－10C．20D．－20如果x2＋2x＋k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k的值为(D)A．2B．1C．－1D．±13．已知(x＋y)2＝12，xy＝2，则(x－y)2的值为（C）A．6 B.10 C.4 D．125．填空题：(a＋2b)2＝________；(________)2＝9x2－________＋16y2；________＝y2－y＋eq\f(1,4)；(－m－n)________＝m2＋2mn＋n2.解：a2＋4ab＋4b2；3x－4y；24xy,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)；(－m－n)．6．计算：(1)eq\s\up12(2)解：原式＝eq\s\up12(2)－2(3b)＋(3b)2＝a2-2ab+9b2(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2xy＋\f(1,5)x))eq\s\up12(2).解：原式＝(2xy)2＋2(2xy)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)x))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)x))eq\s\up12(2)＝4x2y2＋eq\f(4,5)x2y＋eq\f(1,25)x2.7．利用完全平方公式计算：(1)99.82；解：原式＝(100－0.2)2＝1002－2×0.2×100＋0.22＝9960.04.(2)2032.解：原式＝(200+3)2=2002＋2×200×3＋32＝41209.8．(1)已知m＋n＝9，mn＝8，求m2＋n2；解：m2＋n2＝(m＋n)2－2mn.因为m＋n＝9，mn＝8，所以m2＋n2＝92－2×8＝65.(2)已知x＋y＝11，x2＋y2＝65，求xy的值．解：因为x＋y＝11，所以(x＋y)2＝112＝121，即x2＋2xy＋y2＝121，所以2xy＝121－(x2＋y2)．又因为x2＋y2＝65，所以2xy＝121－65，xy＝28.思维拓展，若(x－2023)2＋(x－2025)2＝8，求(x－2024)2的值.解：(x－2023)2＋(x－2025)2=(x－2024+1)2＋(x－2024-1)2=[（x－2024）+1]2＋[（x－2024）-1]2=(x－2024)2+2（x－2024）+1+(x－2024)2-2（x－2024）+1=2(x－2024)2+2=8所以：(x－2024)2=310.先化简，再求值：(1)计算：(3y＋2)(3y－2)－5y(y－1)－(2y－1)2；当y取时，求上式的值；(2)计算：(y－2)2＋(y＋3)(y－3)；当y2－2y－8＝0时，求上式的值．解：(1)①原式＝9y2－4－(5y2－5y)－(4y2－4y＋1)＝9y2－4－5y2＋5y－4y2＋4y－1＝9y－5.②当y＝eq\f(1,3)时，原式＝9×－5＝3－5＝－2.(2)①原式＝y2－4y＋4＋y2－9＝2y2－4y－5.②因为y2－2y－8＝0，所以y2－2y＝8.所以原式＝2(y2－2y)－5＝2×8－5＝11.1.2.3运用乘法公式进行计算和推理知识要点：1、化简求值：先根据整式乘法的法则和公式对式子进行化简，再将给定的值代入化简后的式子进行计算。2、解决实际问题：几何图形的面积计算等问题，可利用整式乘法的知识来解决。如一个长方形的长为(a+b)，宽为(c+d)，那么它的面积就是(a+b)(c+d)，可根据多项式与多项式相乘的法则来计算面积。相应练习：1．下列运算中，正确的是(C)A．(a＋2)(a－2)＝a2－2B．(3y＋2)(3y－2)＝3y2－4C．(3x－4y)(－4y－3x)＝16y2－9x2D．(m＋2)(m－3)＝m2－62.若规定a△b＝a2－ab，则(y－1)△(y＋1)的结果为（C）A．－2yB．2×C．－2y＋2D．－2y－23．若一个4位数abcd能被4整除，则c，d满足的条件为．解：该4位数abcd为：1000a+100b+10c+d=8×（100a+10b+c）+（200a+20b）+2c+d所以当2c＋d＝4k(k为整数)时，该4位数abcd被4整除。4．解方程：5a＋6(3a＋2)(－2＋3a)－54＝2.解：5a＋6(9a2－4)－54（）＝2，5a＋54a2－24－54a2＋6＝2，5a＝20，a＝4.5．计算：+解：原式＝+＝+＝+6．计算：(3－a)3.解：原式＝(3－a)(3－a)2＝(3－a)(9－6a＋a2)＝27－18a＋3a2－9a＋6a2－a3＝－a3＋9a2－27a＋27.7．计算：(a＋b－1)(a－b－1)．解：原式＝[(a－1)＋b][(a－1)－b]＝(a－1)2－b2＝a2－2a＋2－b2.8.如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的公式是（B）A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b) B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D.(a－b)2＝a2－2ab＋b29．观察下列各式的规律．12＋(1×2)2＋22＝(1×2＋1)2；22＋(2×3)2＋32＝(2×3＋1)2；32＋(3×4)2＋42＝(3×4＋1)2；…(1)写出第2025行的式子；(2)写出第n行的式子，并验证你的结论．解：(1)(2025)2＋(2025×2026)2＋(2026)2＝(2025×2026＋1)2.(2)n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.因为n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝n2＋n2(n＋1)2＋n2＋2n＋1＝n2＋n2(n2＋2n＋1)＋n2＋2n＋1＝n2＋n4＋2n3＋n2＋n2＋2n＋1＝n4＋2n3＋3n2＋2n＋1.而[n(n＋1)＋1]2＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1＝n2(n2＋2n＋1)＋2n2＋2n＋1＝n4＋2n3＋n2＋2n2＋2n＋1＝n4＋2n3＋3n2＋2n＋1，所以n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.10.(教材P22第4题变式)阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．设表示一个三位数．则＝100a＋10b＋c＝(99a＋9b)＋(a＋b＋c)＝9(11a＋b)＋(a＋b＋c)．因为9(11a＋b)能被3整除，(a＋b＋c)也能被3整除，所以能被3整除．运用：(1)一个四位数，如果(a＋b＋c＋d)能被9整除，请说明能被9整除；(2)一个三位数，如果能被11整除