第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） 高频考点-精讲（解析版）2024年高考数学一轮复习精讲精练（艺考生基础版）

第06讲向量法求空间角（含探索性问题）

（精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：典型例题剖析

题型一：异面直线所成的角

题型二：直线与平面所成的角

角度1:求直线与平面所成角（定值问题）

角度2：求直线与平面所成角（最值问题）

角度3：已知线面角求其他参数（探索性问题）

题型三：二面角

角度1：求平面与平面所成角（定值问题）

角度2：求平面与平面所成角（最值问题）

角度3：己知二面角求其他参数（探索性问题）

第一部分：知识点精准记忆

知识点一：异面直线所成角

设异面直线4和所成角为其方向向量分别为〃，V；则异面直线所成角向量求法：

A--W-v

①COS<UyV>=—~-

l«Hv|

②cos夕=|cosV

知识点二：直线和平面所成角

设直线/的方向向量为〃，平面a的一个法向量为〃，直线/与平面。所成的角为。，则①

an

cos<a,n>=----；

②sin6=|cos<a,〃>\.

第1页共60页

知识点三：平面与平面所成角（二面角）

（1）如图①，AB，CQ是二面角。一/一夕的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大

小。=<AB,CD>.

（2）如图②③，外,%分别是二面角二一/一分的两个半平面尸的法向量，则二面角的

大小夕满足:

%”

①COS<>=

I%II%I

②cos0—±cos<nvn2>

若二面角为锐二面角（取正），则cos0=|cos<%,〃2>l；

若二面角为顿二面角（取负），则（：05。=一|（：0$<〃],/12>1；

（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为

锐二面角还是钝二面角.）

第二部分：典型例题剖析

题型一：异面直线所成的角

典型例题

例题1.（2022•辽宁•沈阳市第八十三中学高二开学考试）正方体人8。。-人田。。|中，E,

产分别为RG，B用的中点，则异面直线A七与/C所成角的余弦值为（）

2旧

rU.----

15。•当

第2页共60页

【答案】D

【详解】如图，建立空间直接坐标系，设正方体的棱长为2,

3

因为石，户分别为AG，BB1的中点，易知，42,0,0),E(0,1,2),

C(0,2,0),F(2,2,1),所以=(-2,1,2),#=(2,0,1)，

因为异面直线AE与R7所成角为锐角.

所以异面直线AE与尸。所成角的余弦值为也.故A,B,C错误.

故选：D.

例题2.（2022•新疆•乌苏市第一中学高二期中（理））如图，在直三棱柱

中，AC=3fBC=4,CC,=3,ZACB=90°,则与4。所成角的余弦值为（）

C.叵D.此

【答案】A

【详解】因为AB。-A&G为直三棱柱，且4C8=9O。，所以建立.如图所示的空间直带坐

标系，8（0,4,0）,。（0,0,0）｛（0,0,3），4（3,0,3）,所以g=（0,T,3）,4。=（一3,0,-3）,

陷=5,何=内再=3、回，

第3页共60页

设8G与AC所成角为e,所以cos。=k°s(3G,Ac)

5x372110

则BQ与AC所成角的余弦值为逑.

10

故选：A.

例题3.(2022•全国•高二课时练习)在正方体/WCO-ABGR中，直线BG与AC所

成角的余弦值为.

【答案】1##0.25

【详解】空间一组基底为卜氏力。,14},

设正方体的校长为1,则,G|=0,\AC\=42.

BC\AC=(BC+CCl)(AB+BC)=(AD+AAi)(AB+Ab)=ADAB+AD+AAiAB+AAxAD

=()+12+()+0=1.

“^.ACI1

因为8S体,AC)=网祠=用7r「

所以直线BC、与AC所成角的余弦值为?.

第4页共60页

故答案为：3

例题4.（2022•安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）正四棱柱A8CO-A5G。中，8c

与平面ACC.A所成角的正弦值为旦,则异面直线BC与QG所成角的余弦值为

4

■

3

【答案】-##0.75

4

【详解】以4为坐标原点，分别以AB,AD,AA所在直线为xy,z轴建立空间直角坐标系，

因为棱柱—为正四棱柱，设4月=4）=1,AA=。，

则8（1,0,0），4（1,0,〃）,。（1/,0）,。（0,1,0）,0（1,1,々），

其中平面ACG4的法向量为5。=（_1,1,0）,5c=（0,1,-〃）

设3c与平面4CGA所成角为。，

则啊卜码闲-gg一70寿一彳‘

解得：a=出,

所以8c=（0,1,-6），oq=（1.0,6）,

设异面直线与DG所成角为。，

麻冈|（0,1,73）13

所以cosa=7——---J=----------;-------=—.

|耐n冈2x24

故答案为：43

4

题型归类练

第5页共60页

1.（2022•山东•高密三中高二阶段练习）在正方体ABC。-4向6。中，E,〃分别为棱AQ,

A用的中点，则异面直线石尸与AR所成角的余弦值为（）.

A.6B.且C.叵D.也

6323

【答案】A

【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的楂长为2,

则E（l,0,0）,E（2,l,2）,A（20,0），A（0,0,2）,

EF=（1,1,2）,AD,=（-2,0,2）,

•COS（EF,AD）=[E[AA2且

'/归产].河|6x2加6

即异面直线E"与42所成角的余弦值为理.

6

故选：A.

2.（2022・贵州毕节•三模（理））在正四棱锥S-ABCZ）中，底面边长为2&，侧棱长为4,

点P是底面内一动点，且SP=Jii,则当4,P两点间距离最小时，直线8P与直线

SC所成角的余弦值为（）

A.也B.且C.巫D.1

1（）101010

【答案】A

【详解】如图所示，连接AC8C交于点。，连接P。，

因为四棱锥S-八8a）为正四棱锥，可得20_1_底面ABCD,

由底面边K为2加，可得AC=4,所以47=2,

第6页共60页

在直角一5。4中，SA=4,AO=2,可得SO=JSA?-AO2=28，

又由SP=>/万，在直角△SOP中，可得8=Js尸—SO2=1，

即点P在以0为圆心，以I为半径的圆匕

所以当圆与0A的交点时，此时4P两点间距离最小，最小值为4?=1,

以。1,O8,OS分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示,

可得P（l,0,0）,3（0,2,0）,S（0,0,2石）,。（一2,0,0）,

\BP-SC］_|_2|_V5

则BP=(1,-2,0),SC=(-2,0,-2x/3),可得cos（BRSC）=

网•卜4启乂410

所以直线BP与直线SC所成角的余弦值为坦.

10

故选：A.

3.（2022•全国•高二课时练习）已知AB和8是异面直线,48=（21,-3）,8=（1,-3,2）,

则AB和。。所成角的大小为.

【答案】60°##y

ABCD=2-3-6_\_

［详解］cos(4B,CD)二=

|/1«|-|CD|714X7142

••・异面直线夹角范围是（0,90],

.1.A8和。所成角的大小为60。.

故答案为：60。.

4.（2022•云南省楚雄天人中学高二阶段练习）如图所示，设有底面半径为3的圆锥.已知

圆锥的侧面积为154，。为P4中点，NAOC=?.

第7页共60页

⑴求圆锥的体积；

⑵求异面直线CD与A8所成角.

【答案】⑴12双2号

(1)设圆锥母线长为/,

S泅=冗"=3兀1=15冗，..1=5,即PA=P8=5,

・•・圆锥的高力=。尸=Jp后一o#=4，

:.V=--h--n-OA2OP=-7rx9x4=124.

3氏33

(2)解法一：取。4边上中点£,连结。E,CE,AC,

DE是AOP的中位线，..OQ/OP：

。。垂直于底面，.•.£)£垂直于底面，「.DE，AA；

vCA=CO,E为04中点，..CE1OA,即4B人CK；

\CEcDE=E,CE,OEu平面CDE,..ABL平面COE,

又CDu平面CDE,.•.AB_LC£>,即异面直线4B与8所成角为

解法二：取圆弧A8中点E,连结OE,则OE_LA8；

以。为坐标原点，OE,OMOP的正方向为“，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

第8页共60页

(3

DO.--,2

2

..44=(060),

:.ABCD=0^即A5_LCD,.,.异面直线AB与C£＞所成角为

题型二：直线与平面所成的角

角度1:求直线与平面所成角（定值问题）

典型例题

例题1.（2022•云南丽江•高二期末（理））正四棱锥S-A88中，SA=AB=2f则直

线AC与平面SBC所成角的正弦值为

A.立B.如C.6D.如

6633

【答案】C

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

有图知so=>ISA2-AO2=^-41二及，

由题得人(l,T,0)、0(-1,1,0).网1』,0)、S(0,0,V2).

.•.04=(2,-2,0),BS=(T,7网,C5=(l,-l,x/2).

设平面SBC的一个法向量〃=(x,y,z),

第9页共60页

n-HS=O-x-y+41z=0

则

n-CS=O'x-y+\[2z=0

令z=0,得x=0,y=2,

/./?=((),2,V2).

4「百

设宜线AC与平面SBC所成的角为6,则sin®=cos(〃,4C)

2>/2xx/6-3

故选：C.

例题2.（2022嚏国育二课时练习）如图，在空间直角坐标系中有长方体A8CO-A8'CD,

且A8=l,BC=2,A4'=2,求直线B'C与平面883所成角的正弦值.

府

【答案】

而

【详解】a。,0,2),C(l,2,0),8(1,0,0),储(0,2,0),B'C-(0,2,-2),B'B-=(0,0,-2),

m-B'B=-2z=0，……

BD=(-1,2,0),设平11BDiy的法向最为〃?=(x,y,z)»则，，解得：z=0,

m-BD=-x+2y=0

令），=1得：m2,则〃2=（2,1,0）,设直线夕。马平面？BDZ7夹角为6e0玲，则

mH*卜喘呼噜

故直线BCIJ平面FBDD所成角的正弦值为如

10

例题3.（2022•湖南•高二课时练习）如图，已知单位正方体/WCD-A4GR,£,F

分别是棱8c和GR的中点，试求AF与平面BER所成角的正弦值.

第10页共60页

【答案】骼

【详解】以。为原点,分别以。4、DC、。。为x轴、轴、z轴，建立空间直角坐标系,

1

则A(l,0,0),8(1,1,0),

[z2)\^/

1",一1

即〃笈=(1,1,—1),D(E=-,l,0tFA

\N/

n-D1B=x+y-z=O

设平面8EA的法向量为〃=](x,y,z),则，

n-DiE=^x+y=O

令x=2,则y=-l,z=l,即〃?=(2,—1,1),

设行1与〃?所成的角为夕，则

2+--1

FA-rn2_76

叫小|xV6"6'

则/V7与平面BER所成角4=3-。,即sin4=sin--0=cos8=旦

2\2)6，

故版与平面所成角的正弦值为亚

6

例题4.(2022•北京八十中高三开学考试)如图，在三棱柱ABC-ABC中，从4，平面

ABC,ABLAC,AB=AC=AA]=\,M为线段4G上的一点.

第11页共60页

(1)求证：人与；

(2)若M为线段AG上的中点，求直线AB｝与平面8cM所成角大小.

【答案】⑴证明见解析，

呜

(1)

证明：因为人人，平面A8C,48,ACu平面A8C,

所以A4,_LA4,/U,，AC，

因为A8_LAC,所以4B,AC,AA两两垂直，

所以以A为原点，分别以AB,ACMA所在的直线为x，y，z建立空间直角坐标系，如图所示,

则4。，0,0),«(1,0,0),C(0,1,0),^(0,0,1),^(1,0,1),^(0,1,1).

设”(0,41),

所以8M=(—1M』),A4=(1,0,1),

所以8M•做=-1+0+1=0,

所以J.4g,

所以8M_LAq

(2)

因为M为线段AG上的中点，所以

所以8M=8c=(-1/0),

设平面BCM的法向量为ra=(x,)，,z),则

m-BM=-x+—y+z=0.f,,1A

2-，令x=l,则/〃=[U,-I,

m-BC=—A+y=0-

第12页共60页

设直线AB】与平面BCM所成角为。，则

因为夕w0，3，所以畤,

所以直线的与平面研所成角的大小%

例题5.(2022•福建•泉州鲤城北大培文学校高二期末)如图，在四棱锥尸一ABC。中，

PA_L平面A3C。，ABA.AD,AB//CDtAI3=2AD=2CD=GtPD=3非,E为PA上

一点，且P£=2A£.

(1)证明：平面EBC_L平面尸AC；

(2)求直线PB与平面BEC所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

喈

(1)

证明：

第13页共60页

•••PAJ_平面ABCD,8Cu平面4BCO,

/.PA±BCt

.,在直角梯形ABC。中，AB//CD,ABLAD,AB=6,AD=CD=3,

AC=BC=3&，

「.AC2+BC2=A3、

/.ACLBC,

又P4AC=A.R4u平面PAC.ACu平面PAC

/.8C_L平面PAC,

,/BCu平面EBC,

/.平面E8CJL平面PAC.

(2)

以4为坐标原点，A。，AB,40分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图所示).

PA"L平面ABC。，AZ)u平面/WCQ,

PA±ADf

vAD=3,PD=36

PA=6,

VPE=2AE,

AE=2,

易知8(0,6,0),C(3,3,0),尸(0,0,6),E(0,0,2).

则3c=(3,-3,0),BE=(0,-6,2),BP=(0,-6,6).

设〃=(>,)，,z)是平面8CE的法向量.

fi-BC=03x-3y=0

即所以可取〃=(1,1,3)

nBE=0-6y+2z=0

nBP叵

cos<w,BP)=

n-BPTF

二.直线相与平面改所成角的正弦值为噜.

第14页共60页

题型归类练

1.（2022•广东实验中学附属江门学校高二开学考试）在三棱锥P-A8C中，Q4_L平面

ABC,NBAC=90°,D,E,尸分别是棱八a8C,C尸的中点，AB=AC,PA=2AB,则直线小

与平面。所所成角的正弦值为（）

因为。4_1_平面/WC,而八&ACu平面A8C,

故%_LA及PA_LAC,而N84C=90。，故可建立如图所示的空间直角坐标系,

设|阴=2,则1401=2^4)=4且尸(0,0,4),A(0,0,0),5仅0,0)9(020),

故。(1,0,0),E(l,10),尸(0,1,2),

故斗尸=(0,0,4),DE=(0,1,0),EF=(-l,0,2),

设平面以力的法向量为〃=（x,y,z）,则:

n-DE=0y=0

由「可得取z=l,则。=(2,0,1),

n•EF=0-x+2z=0

设直线PA与平面OEE所成角为

4_V5

则sin6=cos{AP,n

4x石5

第15页共60页

故选：B.

2.(2022•山西•浑源县第七中学校高二阶段练习)如图所示，在直三棱柱ABC-AMG中,

NBC4=90。，点匕是AC的中点，BC=CA=2,CC,=1.

⑴求异面直线斗耳与CB、所成角的余弦值；

⑵求直线与平面BCCA所成的角.

【答案】(1)等;

呜.

(1)

如图所示，以点C为原点，以C4,CB,所在直线为X轴、)，轴、z轴建立空间直角坐

标,

由5C=C4=2,CC1=1,得A(2,0,0),8(0,2,0)，G=(0,0,1)，A=(201)，4=(0,2,1),

因为点的是A£的中点，所以耳(1,0,1),

所以=(O,2,l),A£=(-1,0,1),

CB^AF,(O,2,l)(-hOJ)

所以cos

|叫卜川—x/5xV2记

即异面直线M与C4所成角的余弦值为鲁

(2)

因为在直三棱柱ABC—A8c中，8q_L平面A8C,4Cu平面48C,

所以84_LAC,因为N8C4=90。，所以8C_LAC,

因为〃crB,BC,BB\u平面4CG4，

第16页共60页

所以ACJ.平面,所以C4=(2,0,0)是平面8CGB的一个法向量，

设直线与平面8CC£所成的角。w0,：，

则sin6=kos{4",C4)|=^^=¥,所以6=(,

所以直线A石与平面8CC4所成的角为：.

3.(2022・河南•北大公学禹州国际学校高一开学考试)如图，在正力体ABCD-AMGRM

棱长为2,M、N分别为AB、AC的中点.

(1)证明：MN〃平面BCG4；

⑵求人用与平面4册。。所成角的大小.

【答案】⑴证明见解析

(2)30°

(1)

如图，以点。为坐标原点，以为工釉，。。为y釉，为z轴建立空间直角坐标系.

y

则A（2,0,0）,C（0,2,0）,A（2,0,2）,8（2,2,0）,g（2,2,2）,M（2,l,l）,N（l』,0）.

第17页共60页

所以

因为。C_L平面8CCM,

所以平面BCC筋的一个法向量为DC=(0,2,0),

因为MN-OC=0，所以MN_LOC，

因为MNU平面BCC]与，

所以MN//平面BCC[8]

(2)

DC=(0,2,0),DA,=(2,0,2),A8=(0,2,-2).

设平面的•个法向量为〃=(x,y,z)

.DA.-n=2A+2Z=0/..人

贝rl叫，令z=l,则rx=-l,y=。，

DCn=2y=0

所以〃=(T0,l)

设AB与平面4与co所成角为。.

则sine*os〈AB,“卜鼎=七=]

因为0。工。＜180。，

所以AB与平面A^CD所成角为30。.

4.(2022•新疆・乌鲁木齐101中学高二期中(理))如图，四棱锥产一A8C。的底面若8。。

是边长为2的菱形，ZA£C=\PAJL底面/IBC。，点M是棱PC的中点.

⑴求证：PA〃平面BMD；

⑵当上4=6时，求直线AM与平面P3c所成角的正弦值.

⑴

连接4c.与A。交于点O.

第18页共60页

因为底面ABCD是边长为2的菱形

则0为AC中点，

因为点M是梭PC的中点，

所以OM//PA,

因为OMu平面BMD,

R4Z平面BMD,

所以P4II平面HMD.

（2）

因为尸4_L底面A8C。，OM//PA,

所以0M_1平面A3CQ,

因为底面48CD是边长为2的菱形，

所以0B上0C,

故以。为坐标原点，OB,OC,0M所在直线分别为工轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

因为NAB"会所以A（0,—1,O）,M0,0,用,。（0,-1,同,8（6,0,0）,。（0』,。），

设平面P8C的法向量为/?;=（.r,>,,z）,

PB-in=6t+y-Viz=0

则令Z=1得：y=-x=-,

PCm=2y-显=(),2t2

则=争

设直线AM与平面P8C所成角为0,

则直线AM与平面P3C所成角的正弦值为速.

7

第19页共60页

角度2：求直线与平面所成角（最值问题）

典型例题

例题1.（2022•全国•高三专题练习）已知E、F、。分别是正方形A8C。边8C、AD及

对角线AC的中点，将三角形ACD沿着AC进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线EF

与平面40。所成角的余弦值的取值范围为（）

【答案】A

【详解】如图所示:

设正方形的边长为2,则04=08=00=夜,OA_LOAOA_LOD,

设NB0D=a,aw（0,乃），直线EF与平面8。。所成的角为^^€（0.1）,

以｛OLO氏OD｝为•组基底，

则班'=O~OE=：Q+OD）-；（C>C+OB）=O八-;OB+goD,

所以同卜/QA—g08+g0O）=^OA2+^OB：+^OD2-OAOB+OAOD-^OBOD=x/3-cosa,

贝UAC=OC-OA=-2OA,所以|=2,刈=2右,

第20页共60页

故选：A

例题2.（2022•全国•高三专题练习）在如图的正方体ABC。—ATTCTy中，AB=3f

点”是侧面8CC'9内的动点，满足AA/_LR）,设4W与平面8CCB所成角为0,则

tan，的最大值为（）

加

L«---B.母

2

,4

【答案】B

【详解】如下图，以A为原点，CH/RRP分别为x，LZ轴的正方向构建审问直角坐标系,

则有40,-3,0),8(0,0,0),以0,0,3),。'(一3,-3,3)，令"(x,0,z),

/.AM=(x,3,z),B。'=(-3,-3,3),乂4M_L8。'，有z=x+3且一3WxWO,

4M与平面Bare所成角为&即乙u/8=e,而3M=ao,x+3),

tan0-厂3=3

42/+6x+9/9z329,-3<x<0.

JZ(X+—I+—

第21页共60页

・二当x=-T时，（tan。）1mx=正，

故选：B.

例题3.（2022•江苏省扬州市教育局高二期末）正四棱柱ABC。-ABGR中，4％=4,

AB=g,点N为侧面BCC圈上一动点（不含边界），且满足RNJ.CW.记直线QN与平

面8CC岗所成的角为。，则tan。的取值范围为.

【答案】伶即借t

【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：

则4（0,0,4）,。（0,6,0）,设不卜,疯z）,

所以4N=卜，石,Z-41,CN=（X,0,Z）,

因为D、NLCN,

所以〃产•-4z=0,

则x2=-z2+4z，因为0vxvG,则0v+4z<3，

解得0<z<l或3vz<4,

易知平面的一个法向量为〃=（0,1,0）,

..।_21—z+4八

贝！Jcos0―—/”，,tan0——..—,

yj-4z+192，-z+4

（611fV3□

所以tan92J-z+4€

\/\z

第22页共60页

(43

故答案为:：

PT2

题型归类练

1.（2022•浙江•高三专题练习）如图，已知圆柱A在圆。上，AO=1,股=应,产、

。在圆Oi上，且满足尸0=手，则直线4。与平面OPQ所成角的正弦值的取值范围是（）

-76-33+x/6-

【答案】A

【详解】取PQ中点例，则Q|M_LPQ,以点。1为坐标原点，例。为x轴，。。1为z轴建立

如下图所示的空间直角坐标系,

则0（0,0,-旬、P一孚岑0、Q-半耳,。

第23页共60页

—㈤，OQ=

OP=

JJ33

设平面OPQ的法向量为祐=(x,y,z),

w-0P=-^-x-—y+V2z=0

；；,取1=百，则产0,z=1»则〃?=(G,0,1),

则

〃?OQ=一半x+苧),+岳=0

设A(cos6,sina—板)，直线AO1的方向向量为〃=aA=(cose.sin。,一板卜

所以电线AQ与平面OPQ所成角的正弦值为

|/n-/z|明856-闽R-3cos8'3+6一

|w|-|n|2\H6.，6，

故选：A.

2.(2021•福建•泉州五中高二期中)直三棱柱ABC-A5G中,ABLBC,AB=BC=CC「

点。为线段AC的中点，若点?在线段cq上，则直线OP与平面4。3所成角的正弦值的取

值范围是()

x/62百

A.B.-3-,—C.争

【答案】A

【详解】如图所示：以为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设AB=8C=CG=2,

则3(0,0,0),0(1,1,0),4(。，2,2),尸(2,0,间,«€(0,2],

n-BA]=2y+2z=0

设平面A03的法向量为”=(x)，,z),则・

n-BO=x+y=0

取4=1得到〃=(1,一1,1),OP=(1,-1,〃。，

宜线OP与平面\OB所成角的正弦值为|cos(OP,〃)OP712+tn

\/2+in2-y/3

设2+m=f,则ze[2,4],

2+〃？_t

y12+m2-75J3/-⑵+18

当1=3时，有最大值为1,当，=2时有最小值为好.

3

故选：A.

第24页共60页

3.(2022•江苏•盐城市伍佑中学高二阶段练习)如图，在三棱锥。-ABC中，

AB=BC=CD=DA,ZABC=9()°,E,F,。分别为棱8C,DA,AC的中点，记直线E/

与平面40。所成角为。，则。的取值范围是.

【详解】解：因为A4=〃C=CO=D4,AB=BA，

所以△A8C兰4ADC,

所以NAQC=NA8C=90。，

又因为。为AC的中点，

所以OZ)J.AC,O8_L4C,

又ODcOB=O,所以AC_L平面800,

设Z.BOD=a,ae(0,zr),

如图，以。为原点建立空间直角坐标系，

则平面90。与平面xOz重合，

不妨设AB=BC=CD=DA=&，

则。4=OB=OC=OQ=I,

则A(0,-1,0),5(1,0,0),C(0,1,0),D(cosa,0,sina),

第25页共60页

11.

—cosa.——sina

呜222

/I1

则七尸=—(800-1),-1,二$皿0,

(22J

因为八。_1_平面8。。,

所以OC=（0,1,0）即为平面80。的•条法向量,

因为直线EE与平面“OD所成角为。，。弓，

所以sin0=kos(E£OC)卜jEFOC\

EF\-\OC\

■i^(cosa-l)2+(-2)2+sin2a-1V3-cos(z，

因为aw(O,/r),所以cosae(-1,1),

所以sin。e

角度3:己知线面角求其他参数（探索性问题）

典型例题

例题1.（2022•浙江•玉环市玉城中学高一阶段练习）在正四棱锥P-AAC/）中，PAd

直线姑与平面ABC。所成的角为60,E为尸。的中点，则异面直线必与慨:所成角为

（）

A.90B.60C.45D.30

第26页共60页

【答案】c

【详解】试题分析：连接AC,BD交于点。，连接OE,OP.因为E为PC中点，所以OEIPA,

所以N0E8即为异面直线PA与BE所成的角.因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥，所以

月。1.平面4a7。，所以4?为州在面A8CO内的射影，所以NE4O即为序与面A8CO所

成的角，即NP4O=60。，因为R4=2,所以04=05=1,0E=1.所以在直角三角形石。8中

/OEB=45。,即面直线PA与BE所成的角为45

故选C.

例题2.(2022•湖南•高一课时练习)如图，已知四边形A8CD,CDGF,ADGE均为

正方形,且边长为L在棱DG上是否存在点M,使得直线MB与平面8所所成的角为45?

若存在，求出点"的位置；若不存在，试说明理由.

【答案】存在点M,此时财。的长度为3拒-4.

【详解】以。为原点，以。4。。，。知所在的直线分别为1轴、y轴和z轴，建立空间直角

坐标系，如图所示，

设。M的长度为。，可得8(1,1,0),1(1,0,1),尸(0,1,1),"(0,0,。),

则BE=(0,-1,1),BF=(-1,0,1),BM=(―一。),

n-BE=—v+z=0

设平面8£尸的法向最为〃=(x.y,z),则〈,

/l-BF=-x+z=0

取z=i,可得x=Ly=i,即〃

\n-BM\_|6/_2|_V2

设M7?与平面8所所成的足为，，可得sin"

忖.卜必75.J/+22

整理得々2+84-2=0,解得〃=3&-4或。=-3夜-4(舍去)，

第27页共60页

此时MO=3>/5-4，

即存在点此时M。的长度为30-4.

例题3.(2022•全国•高三专题练习)如图，在三棱锥。一ABC中，底面是边长为4的

正三角形，B4=2,E4_L底面ABC,点E,尸分别为AC,PC的中点.

(1)求证：平面跖/_L平面PAC；

(2)在线段依上是否存在点G,使得直线AG与平面PNC所成角的正弦值为巫？若存

5

在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.

B

【答案】⑴证明见解析

⑵存在满足条件的点G,点G为PB的中点

(1)证明：,•,A8=BC,E为4c的中点，BE_LAC.

又尸A_L平面ABC,8Eu平面ABC,R4J_8E.

••,PAcAC=4,•••8£_L平面PAC

•/平面BEF,I.平面比孑」平面PAC.

(2)存在.由(1)及已知得PA±ACf

•・•点E,/分别为AC，PC的中点，

/.EFWPA,：.EFA.BE,EF±AC.

第28页共60页

又BELAC,..EB,EC,E尸两两垂直.

分别以E&ECE/的方向为x,y,z轴正方向建。：空间直角坐标系，如图,

则A(0,—2,0),P(0,-2,2),426,0,0),C(0,2,0).

设86=义82=卜2百尢一2/1,2/1),2e[0,l],

UUinUUUUIW1(L\UUU/L\UUU

所以AG="十3G=(26(1一—冗),2孙30=(-2石,2,0),60=(0,4,-2)

设平面PBC的法向最为〃=（尤居z）,

n-BC=0-2\/3x+2y=()

则

n-PC=04y-2z=0

令x=l,则y=V5,z=2\f3,

/.〃=",2回

f—UU®1r—r-

V15AGn岳4上,,

由已知得7-=由丁，即一T=I,……即16(1—2)2+4万=5

5AGn54V16(l-2)2+422

2022-32A+ll=0,解得4=；或4=鲁，由之w[0,l]，故％=；.

所以存在满足条件的点G,点G为P8的中点.

例题4.（2022•全国•高二专题练习）如图，四棱锥尸-A8CD中，平面EW_L平面A8C。，

平面小£>_L平面AACO,四边形A8C。中，AB1AD,AB+AD=4f。。=&,ZC£H=45°.

⑴求证：PAJ_平面A8C。；

（2）设A8=AP,若直线依与平面PC。所成的角为30。，求线段A8的长.

第29页共60页

p

【答案】(1)证明见解析

(1)

因为平面以3_L平面A8CQ,平面平面A8CO=A3,ADYABrAOu平面ABC”

所以AO_L平面Q4/L

因为BAu平面B46，所以ADJ.Q4,同理可得

因为A8cAZ)=A,所以PA_L平面ABC。，

如图以A为原点，以A3,AD,AP所在更线为x»，z轴建立空间坐标系4-町z,

在底面A8CD内，作CE〃48交AO丁石，则CE_LA。，

在直角中，DE=CE=1

设A8=AP=f,则8(7,0,0),P(0,0j),

由48+40=4,则AO=4—/,贝!JE(0,3—/,0),C(1,3T,0),D(0,4—Z,0),

ULUUli

所以PD=(O,4T,T),CD=(-1,LO),PB=(f,O,T)

r、\n-PD=(4-t)v-tz=0

设平面PC。的法向量为〃=«z)"),得.'人，

n-CD=-x+y=0

取X=,，则〃=(/J,4T)

第30页共60页

rULT

n-PB

故由直线即与平面PC。所成角大小为30。,则有sin3(T=

I?/-4/

即寸:,化简得：5r-24r+16=0，

2后/—JJ产+产+（4_/『

44

解得：或，=4（舍去，因为A£>=4-，>0）,即AB=《.

JJ

题型归类练

1.（2022•全国•高三专题练习）正方形A8C。的边长是2,E、尸分别是48和C。的中点,

将正方形沿£尸折成直二面角（如图所示）.M为矩形AEFD内一点，如果

NMBE=NMBC,M8和平面8c尸所成角的正切值为g,那么点M到直线所的距离为

【详解】如图，以E为坐标原点建立空间直角坐标系

则E（0,0,0）,5（1,0,0）,0（120）,设M（0,y,z）（0Wy42,0WzWl）