湖北高中协作体2025届高三下学期4月期中联考数学试题答案

共共5页，第页高三数学试题答案一、选择题：1.B解析A中函数定义域不是[-2,2];C中图象不表示函数;D中函数值域不是[0,2]。故选B。2.A解析sin239°tan149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)=-cos31°(-tan31°)=sin31°=1−a2。故选3.C解析由动点P满足OP=(1-λ)OD+λOC(λ∈R),且1-λ+λ=1,所以P,C,D三点共线,又因为D为A,B的中点,所以CD为△ABC的边AB的中线,所以点P的轨迹一定过△ABC的重心。故选C。4.D解析由题意,以A为原点,AB,AD,AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,因为正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的底面边长为1,且∠B1AB=π3,所以BB1=AB·tanπ3=3,则A(0,0,0),C(1,1,0),E0,1,32,A1(0,0,3),所以AE=0,1,32,A1E=0,1,−32,CE=−1,0,32。设平面EAC的法向量为n=(x,y,z),则n·AE=0,n·CE=0,即y+32z=0,−x+32z=0,令z=23,则x=3,y=-3,所以n=(3,-3,23)是平面EAC的一个法向量。因为AC∥A1C1,且AC⊂平面EAC5.A解析设P(x,y),由QP=(1,-3),得Q(x-1,y+3),因为Q在直线l:x+2y+1=0上,故x-1+2(y+3)+1=0,化简得x+2y+6=0,即P的轨迹E为直线且与直线l平行,E上的点到l的距离d=|6−1|12+22=5,6.C解析因为h'(t)=-9.8t+8,所以h'(0.5)=-9.8×0.5+8=3.1,所以此运动员在0.5秒时的瞬时速度为3.1米/秒。故选C。7.D解析由{an}是等差数列,得a5+a6=a2+a9,又a5+a6=a2+4,所以a9=4,所以S17=172(a1+a17)=17a9=17×4=68。故选D8.B解析从小到大排列此数据为:10,12,14,14,15,15,16,17,17,17。平均数为110×(10+12+14×2+15×2+16+17×3)=14.7;数据17出现了三次,17为众数;第5位、第6位均是15,故15为中位数。所以a=14.7,b=15,c=17,即a<b<c。故选B二、选择题：9.ACD解析由c3a<c3b<0,得c≠0。当c>0时,由c3a<c3b<0,得1a<1b<0,即b<a<0,可得0<ab<1;当c<0时,由c3a<c3b<0,得1a>1b>0,即b>a>0,所以0<ab<1,故A,D正确;由c3a<c3b<0,得c3a-c3b=c3(b−a)ab<0,且a与b同号,即ab>0,所以c与b-10.BCD解析A项,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A错误;B项,由零向量的定义知,零向量的长度为0,故B正确;C项,因为aa与bb都是单位向量,所以只有当aa与bb是相反向量,即a与b是反向共线时才成立,故C正确11.ABC解析因为(a+b)n的展开式中第5项的二项式系数Cn4最大,所以n=7或n=8或n=9。故选三、填空题：12.a∥α或a⊂α。

解析当a⊄α时,由a∥b,b⊂α,得a∥α;当a⊂α时,满足题中条件。综上,直线a与平面α的位置关系是a∥α或a⊂α。13.x=2或3x-4y-10=0。

解析易知过点P且垂直于x轴的直线满足条件,此时l的斜率不存在,其方程为x=2。若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,由已知得|−2k−1|k2+1=2,解得k=34,此时l的方程为3x-4y-10=0。综上,直线l的方程为x14.13。

解析当a=0时,b的值可以是-1,0,1,2,故(a,b)的个数为4。当a≠0时,要使方程ax2+2x+b=0有实数解,需使Δ=4-4ab≥0,即ab≤1。若a=-1,则b的值可以是-1,0,1,2,(a,b)的个数为4;若a=1,则b的值可以是-1,0,1,(a,b)的个数为3;若a=2,则b的值可以是-1,0,(a,b)的个数为2。由分类加法计数原理可知,(a,b)的个数为4+4+3+2=13。四、解答题：15.（本小题满分12分）解(1)因为每件商品售价为5元,则x万件商品销售收入为5x万元,依题意得,当0<x<8时,L(x)=5x-13x2+x−3=−13x2+4x-3;当x≥8时,L(x)=5x(2)当0<x<8时,L(x)=-13(x-6)2+9。此时,当x=6时,L(x)取得最大值,为9万元。当x≥8时,L(x)=35-x+100x≤35−2x·100x=35-20=15,当且仅当x=100x时等号成立,即x=10时,L(x)取得最大值,为15万元。因为9<15,16.（本小题满分12分）解(1)证明:因为M,N分别为PD,AD的中点,所以MN∥PA。因为MN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以MN∥平面PAB。在Rt△ACD中,∠CAD=60°,CN=AN,所以∠ACN=60°。又∠BAC=60°,所以CN∥AB。因为CN⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以CN∥平面PAB。又CN∩MN=N,所以平面CMN∥平面PAB。(2)由(1)知,平面CMN∥平面PAB,所以点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离。由已知,AB=1,∠ABC=90°,∠BAC=60°,所以BC=3,所以VP⁃ABM=VM⁃PAB=VC⁃PAB=VP⁃ABC=1317.（本小题满分12分）解(1)证明:直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0,令x+2=0,1−y=0,解得x=−2,y=1,(2)由方程知,当k≠0时,直线在x轴上的截距为-1+2kk,在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有−1+2kk<0,1+2k>0,解得k>0;当k=0时,直线为(3)由题意知k≠0,由l的方程,得A−1+2kk,0,B(0,1+2k)。依题意,得−S=12·|OA|·|OB|=12·1+2kk·|1+2k|=12·(1+2k)2k=124k+1k+4≥12×(2×2+4)=4,当且仅当4k=1k,18.（本小题满分12分）解(1)当a=12时,f(x)=lnx-12x,函数的定义域为(0,+∞)且f'(x)=1x−12=2−x2x,令f'(x)=0,得x=2,于是当xx(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0-f(x)单调递增ln2-1单调递减故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值=f(2)=ln2-1,无极小值。(2)由(1)知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x−a=1−axx。当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,则函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点;当a>0时,若x∈0,1a,则f'(x)>0,若x∈1a,+∞,则f'(x)<0,故函数在x=1a处有极大值。综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值点,19.（本小题满分12分）解(1)解法一:记{an}的公差为d,由3a2+2a3=S5+6,得3(a1+d)+2(a1+2d)=5a1+5×42d+6,解得d=-2,Sn=na1+n(n−1)2×(-2)=-n2+(a1+1)n。若数列{Sn}为单调递减数列,则Sn+1-Sn<0(n≥1)恒成立,即an+1=a1-2n<0(n≥1)恒成立,得a1<2n(n≥1)恒成立,得a1<2,即a解法二:记{an}的公差为d,由3a2+2a3=S5+6,得3(a1+d)+2(a1+2d)=5a1+5×42d+6,解得d=-2,Sn=na1+n(n−1)2×(-2)=-n2+(a1+1)n。若数列{Sn}为单调递减数列,则需满足a1+12<32,(2)由(1)知,{an}的公差d=-2,又a1=1,所以an=1+(n-1)×(-2)=3-2n。根据题意,数列{bn}为1,20,-1,20,21,-3,20,21,22,-5,…,-2n+3,20,21,…,2n-1,-2n+1,…。可将数列分组:第一组为1,20;第二组为-1,20,21;第三组为-3,20,21,22;第k(k∈N*)组为-2k+3,20,21,22,…,2k-1。则前k组一共有2+3+…+(k+1)=(k+3)k2(项),当k=12时,项数为90。故T95相当于是前12组