2024-2025学年北京二中朝阳学校高二（下）第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京二中朝阳学校高二（下）第一次段考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数f(x)=ln(2x)的导数为(

)A.12x B.1ln2x C.1x2.用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成无重复数字的四位偶数有(

)A.60个 B.106个 C.156个 D.216个3.已知函数y=f(x)的定义域为R，其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则下列结论中错误的是(

)A.2是f(x)的极大值点

B.f(x)在(0,f(0))处的切线斜率大于0

C.f(3)<f(4)

D.f(x)在(−3,5)上一定存在最小值4.在(x−1x2)A.15 B.−15 C.30 D.−305.已知函数f(x)=3x2−cosx，则A.f(−3)<f(e)<f(π) B.f(π)<f(e)<f(−3)

C.f(π)<f(−3)<f(e) D.f(e)<f(−3)<f(π)6.如果f(x)=ax−ex在区间(−1,0)上是单调函数，那么实数a的取值范围为(

)A.(−∞,1e]∪[1,+∞) B.[1e,1]7.已知函数f(x)=x+1ex.若过点P(−1,m)可以作曲线y=f(x)三条切线，则mA.(0,4e) B.(0,8e)8.北京地铁12号线是一条主要沿北三环东西向敷设的轨道交通干线，全长约30公里，设21座车站，跨越海淀、西城、东城、朝阳四个行政区，预计2024年7月1日正式开通，它的开通将填补东坝地区轨道交通的空白．

作为“地下北三环”，12号线开通后还能有效缓解英才高二年级许老师和郑老师的上下班通勤压力.若许老师和郑老师同时从东坝西站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过18站，地铁票价如表，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中不正确的是(

)乘坐站数0<x≤33<x≤77<x≤1515<x≤18票价/元3456A.若许老师、郑老师两人共花费7元，则许老师、郑老师下地铁的不同方案共有24种

B.若许老师、郑老师两人共花费10元，则许老师、郑老师下地铁的不同方案共有88种

C.若许老师、郑老师两人共花费9元，则郑老师比许老师先下地铁的概率为13

D.若许老师、郑老师两人共花费9元，则郑老师比许老师先下地铁的概率为9.已知函数f(x)=exx−ax，x∈(0,+∞)，当x2>x1A.(−∞,e2] B.(−∞,e) C.(−∞,10.已知集合M={(x,y)|y=f(x)}，若对于任意(x1,y1)∈M，存在(x2,y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“Ω集合”.给出下列A.②③ B.①④⑤ C.③⑤ D.①②④二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.已知函数f(x)=xx2+1+112.将2名男生和1名女生随机排成一排，则2名男生相邻的概率为______．13.若Cn2=Cn3，则An14.设函数f(x)=2x+lnx，若x=x0时，f(x)取到极小值，则15.一个圆桌有八个座位，编号为1至8.现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位.家长与其孩子相邻.满足要求的坐法共有______种.16.已知函数f(x)=ax2−2x,x<1,axex,x≥1(a∈R).给出下列四个结论：

①存在实数a，使得f(x)有最大值；

②对任意实数a，使得f(x)存在至少两个零点；

③若a<0，则存在x0∈(1,+∞)，使得f(x三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知函数f(x)=13x3−ax2+(2a−1)x+1．

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；

(18.(本小题14分)

在(2x2+1x)6的展开式中．

(Ⅰ)求第4项的二项式系数；

(Ⅱ)求x319.(本小题14分)

某小组共有6名学生，其中女生2名，男生4名．

(Ⅰ)将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？

(Ⅱ)从6名中选出3人参加某公益活动．

(i)共有多少种不同的选择方法？

(ii)如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？20.(本小题14分)

已知函数f(x)=lnx−aex，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线斜率为1−e．

(1)求a的值；

(2)求证：f(x)有且只有一个极值点；

(3)求证：方程21.(本小题14分)

设数列{dn}(n∈N+)，dn为1，2，3，…，n的满足下列性质T的排列a1，a2，…an的个数，性质T：排列a1，a2，…an中仅存在一个i，i∈{1,2,…,n−1}，使得ai>ai+1．

(1)求参考答案1.C

2.C

3.C

4.A

5.D

6.A

7.A

8.C

9.A

10.C

11.(−1,1)

12.2313.20

14.2

15.24

16.①④

17.解：(Ⅰ)定义域为R，

令f′(x)=x2−2ax+(2a−1)=[x−(2a−1)](x−1)=0得x=1或2a−1，

①当a=1时，f′(x)=(x−1)2≥0，f(x)为增函数；

②当a<1时，f′(x)<0⇒2a−1<x<1，f′(x)>0⇒x<2a−1或x>1，

此时f(x)的递增区间为(−∞,2a−1)和(1,+∞)，递减区间为(2a−1,1)；

③当a>1时，f′(x)<0⇒1<x<2a−1，f′(x)>0⇒x>2a−1或x<1，

此时f(x)的递增区间为(2a−1,+∞)和(−∞,1)，递减区间为(1,2a−1)；

综上可知：当a=1时，f(x)为增函数；

当a<1时，f(x)的递增区间为(−∞,2a−1)和(1,+∞)，递减区间为(2a−1,1)；

当a>1时，f(x)的递增区间为(2a−1,+∞)和(−∞,1)，递减区间为(1,2a−1)；

(Ⅱ)结合(Ⅰ)可知，a=−1时，f(x)=13x3+x2−3x+1

f(x)的递增区间为(−∞,−3)18.解：(।)先求出通项Tr+1=C6r(2x2)6−r(1x)r=C6r26−rx12−3r，

所以第4项的二项式系数为C63=20．

( II)由(Ⅰ19.解：(Ⅰ)将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法：A44A52=480种．

(Ⅱ)从6名中选出3人参加某公益活动，

(i)共有C63=20种不同的选择方法，

20.(1)解：函数f(x)=lnx−aex，求导得f′(x)=1x−aex，

由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线斜率为1−e，得f′(1)=1−ae=1−e，解得a=1，

所以a=1．

(2)证明：由(1)知，函数f(x)=lnx−ex的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x−ex在(0,+∞)上单调递减，

而f′(12)=2−e12>0，f′(1)=1−e<0，则存在x0∈(12,1)，使得f′(x0)=0，

当x<x0时，f′(x)>0，当x>x0时，f′(x)<0，因此函数f(x)在(0,x0)上递增，在(x