高中数学-柯西不等式

类型一：利用柯西不等式求最值例1.求函数6=5石n+Ji°-2K的最大值解:

x-120且10-2x20,函数的定义域为xe[L5],且

J=5x7^1+V2X46+(@+(信$=6点

=127

即“一27时函数取最大值，最大值为6/法二：•.•x-lNO且10-2x20,.•.函数的定

义域为xe[L5]

由2ax—1y/l0-2x2jx—1‘JlO—2x,得5J10-2x-2Jx-1>0

_____127=127

即W10-2x>2>/^T>0,解得'27/,一27时函数取最大值，最大值为6石.

当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解

【变式1】设凡且。'+/=10,求如+5的最大值及最小值。

利用柯西不等式得(a'+b'XS2+1')2(%+切2=10」02(3«+a1故最大值为I。,

最小值为-10

[变式2】xj’wR,3/+2./S6,求3x+p的最值.

法一：由柯西不等式

(a+y)%[(每尸+(向力除、(场4*+2?)专+上]]

于是2x+_y的最大值为后，最小值为一而.

法二：由柯西不等式

|2x+y悍J(国、(优心卷)'+%='岛M而

于是2x+.y的最大值为而，最小值为一而.

【变式3】设2x+3y+5z=29,求函数歹=52x+1+扬+4+gz+6的最大值.

根据柯西不等式

3x40=(14-1+1)[(2x+l)+(3^+4)+(5z+0]

>(lxJ2x+1+lxyf3y+4+lxj5z+6尸

故J2不+1+J3y+4+J5z+6M2-J30

=3=28=22

当且仅当2x+l=3y+4=5z+6,即'6"15时等号成立，止匕时，'==2病变

式4：设五=(1,0,-2),b=(x,y,z),假设x?+y?+z?=16,则方B的最大值为。

【解】va=(l,0,-2),B=(x,y,z)：,a,b=x-2z

2222

由柯西不等式+o+(-2)](X+y+z)>(x+0-2z)2n5x16>(x-2z)2n-475<x<

4A/5^-445<a.b<445,故G.B的最大值为4店：

变式5：设x,y,zwR,假设x?+y2+z2=4,贝|x-2y+2z之最小值为时，(x,y,z)=

解(x-2y+2Z)2<(X2+y2+z2)[l2+(-2)2+22]=4.9=36：.x-2y+2z最小值为一6,|公式法求

-------------H}xyz-6-2.-24-4

(x,y,z)此时一=二—=—^------------7=・.％=——，V=—,z=——

—-11-2222+(—2尸+2?3333

变式6：设x,y,z£R,假设2x-3y+z=3,则/+(y-I)?+z?之最小值为,

又此时y=___o

22222222

解析：+(y_1)2+Z][2+(-3)+l]>(2x-3y+3+z)[x+(y-l)+z]>^

1Q

・•.最小值二

7

、4916

变式7：设a,b,c均为正数且a+b+c=9,则—I-----1-----之最小值为

abc

碗,2厂3厂4厂、2,49164916

解：7a+〒7b+-7c)£(―+-+一)(a+b+c)=(—+—+一).9>(2+3

y/a\bYcabcabc

「c491681

+4)=81=—I----1N—=9

abc9

123

变式8：设a,b,c均为正数，且a+»+3c=2,则一+—+—之最小值为

abc

解：：[(G)2+(回产+(屈)2][(j|)2+(^|)2+(j|)2]>(l+2+3)2

123

(-+-+-)>18,最小值为18

abc

变式9：设x,y,zeI^(xT)2+(y+2)2+(z3)2=],求x+y+z之最大、小值:

1654

【解】•••/+丁+三匕1由小不等式知

[42+〔V5)2+22](、^尸+(号^尸+(三/)2+N

z—3

(-------)=25xl>(x+y+z-2)2=5>|x+y+z-2|=>-

5<x+y+z-2<5.'.-3<x+y+z<7

故x+y+z之最大值为7,最小值为-3

类型二：利用柯西不等式证明不等式基本方法：(1)巧拆常数(例1)(2〕

重新安排某些项的次序［例2)

13)改变构造［例3)⑷添项［例4)

2229

-------+--------+-------->-------------

例1.设。、b、c为正数且各不相等，求证：a+bb+cc+na+2+c

V2(a+6+c)(-!-+J-+­)=［(a+b)+(b+c)+(c+a)］(^-+J-+—)

a+bb+cc+aa+bZ>+cc+a

2。+】+1尸=9

2,229

------+------+------->-----------

又a、6、c各不相等，故等号不能成立a+办b+cc+aa+±Tc。例2.a、

5为非负数，a+b=i,xPx2€/?\求证：(。/+6为)3/+°勺)2/勺

(ax1+5勺)0入]+=(axi+6煮2)(。工2+bx】)

22

>(aj、x：+byjxixi)-(o+^)XjX2=x丙

即(叼+bx2)©丸+a/)之七勺例3.假设

a>b>c,求证：+解：va-c=(a-b)+(6-c)；-a>c,

(a-c)(—+—)>4

a-c>0A,所证结论改为证a-bb-c

(a-c)(—+)=[(a-b)+(b・c)K—+>(1+1?-4.

a-bb-ca-bb-cUUF―一..

_L+_L^J_A0.j士+上7

a—bb—ca—c例4.ahcwR,求证：b+cc+a2

a...b一,c».xy111

+1+------+1+-------+1=z(a+t2>+c)(------+-------+----)---

左端变形b+c------c+aab+cc+aa+b

J

...只需证此式2即可。

abc.c

;-----+------+------+3=(------+1)+(------+1)+(------+1)

h+tfc+aa+bb+ca+ca+b

=(a+b+c)(—++—!­)=-i[(i>+c)+(c+a)+(a+b)](—!—+—

b+cc+aa+b2b+cc+aa+b

1,..j9a.b.c、9.3

之一(1+1+1)=-二----+-----+-----2——3=一

22b+ca+ca^b22

【变式1】设a,b,c为正数，求证：十户+Jb'+c'+Jc、0'2淄(a+b+c).

+6’-J1‘+1'Na+b,即Ja，+b'•,^2Na+3。同理42+c'-^2Nb+c,

J2>c+a.将上面三个同向不等式相加得,

"a'+b'++c，+Jc'+a’2丘(fl+6+c)

—+—+->a+b+c

【变式2】设a,b,c为正数，求证：bCa

【变式3】正数a,6,c满足a+6+c=l证明3。解：

✓ji}ij\((3丫,3丫]

S+N联产+网+呵s—J+JJ+卜[[a+b+c]

=(aJ+65+?)(a+6+c)2又因为M+.+JN而+加+以

在此不等式两边同乘以2,再加上M+b'+J得：8+“0«3(1+廿+/)

.2IL3I-2

v(a3+^+?)JS(J+炉+/"(/+/+/)故/+廿+八—3—

类型三：柯西不等式在几何上的应用6.AABC的三边长为a、b、c,其外接圆半径为

(oJ+Z>a+?)(—^―+—^―+-4—)236#

R,求证：$m1Asm3Bsin2C

i4R2

smi4=————5—F,

证明：由三角形中的正弦定理得2R,所以sm2力

14R214R2

同理sm’8b2,$mJCc2

(/+/+1)(—+-4—)之36R'

于是左边=sin。sm25sm2C。

【变式】△ABC之三边长为4,5,6,P为三角形内部一点，P到三边的

距离分别为x,y,z,求/+,/+/的最小值。

15/1〃,/、

—^―=2(4x+5y+6z)=

且^kMC=册+SifiC+50心=>

15^7

4x+5y+6z=2

由柯西不等式(4x+5y+6z>2(x2+y2+z2)(42+52+62)

15?x7225

=>4N(x2+y2+z2)X77=>x2+y2+z2三44o

柯西不等式

等号当且仅当％=。2=••=%,=0或4=左4时成立(k为常数，，=1,2…")

利用柯西不等式可处理以下问题：

1)证明不等式

AQqtz2+/?2+C2

例2:正数。力,。满足a+b+c=l证明<23+/?3+c3>-----------

2(3』--3j_V(3\2(3\2

证明:(〃2+/+02)=+及官+<+庐+[〃+Z?+c]

I7\7V7

又因为a2+b2+c2>ab+bc+ca在此不等式两边同乘以2,再加上4+/得:

(a+Z?+c)<3(々2+/+0?)

+/+02『+b3+/卜3(〃2+/十片)故〃3+匕3+/1"+'

2)解三角形的相关问题

例3设p是，ABC内的一点，x,y,z是p到三边。力,。的距离，R是ABC外接圆的半径,

证明+y[y+V—>

J2H

证明：