高中数学【二面角一】教学设计

二面角⑴

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

A.掌握二面角的概念.1.数学抽象：二面角的定义

B.理解二面角的平面角的含义.2.逻辑推理：二面角的定义

C.会用向量法解决二面角的计算问题.3.直观想象：二面角的几何模型

4.数学运算：用向量法解决二面角的计算问题

教学重难点

1.教学重点：会用向量法解决二面角的计算问题

2.教学难点：二面角的概念.

课前准备

多媒体

教学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

*、情境导学

问题1:日常生活中，很多场景中都有平面与平面.呈一定角度的形象，例如如图

(1)所示，在建造大坝时;为了加固大坝大巴外侧白勺平面，一般于水平面呈一定

角度,如图(2)所示，很2名屋顶都是二面角的形营艮，通过来源于生活中的

你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？面与面所成角的问题，帮

助学生发现问题，并建立

心

二面角的概念，提升学生

数学抽象，逻辑推理和数

(1)(2)学建模的核心素养。

1-面角及其度量

1.在正方体ABCD-ABCD中，平面BCDA与平面BCDA所成二面角的大小

11111I

为.

答案:45。

2.两个平面相交时，它们所成角的取值范围是什么？

提示:(0。,90。］

问题2：如图所示，设S为二面角a-AB-0的半平面a上一点，过点S做半平面/?

的垂线SS',设O为棱4B上一点

(I)判断S。14B是S'。148/^什么条件；

(2)由二面角的作法，你能得到什么启发?

通过梳理求解二面角

的基本方法和步骤，提升

运算速度和准确度，让学

提示：(1)充要条件

生感受，用代数方法解问

(2)若二面角a—48一夕的大小为8,

题决立体儿何问题。发展

嬲S'AB的面积与1SZB的面积比就是二面角的余弦，即:山=cos0

SASAB学生逻辑推理，数学抽象

问题3：如果几1，电分别是平面生,©的一个法向量，设与。2所成角的大小为仇

和数学运算的核心素养。

通过作图讨论。与<%,电>的关系.

(I)(2)

2.用空间向量求二面角的大小

(1)如果n,n分别是平面a,a的一个法向量，设a与a所成角的大小为“则有

12I2I2

0=<n,n>或0=Tt-<n,n>，特别地,sin0=sin<n,n>.

121212

(2)设二面角a-1-P为仇平面a4的法向量分别为n,n/

有|cos例=|cos<ni,ii2>|=-^^成立.

点睛：利用公式cos<n,n>=『(n,n分别为两平面的法向量)进行求解，注意

I2|ni||n2|।2

<n,n>与二面角大小的关系，是相等还是互补，需结合图形进行判断.

I2

如图⑵(4)中＜n/n,＞就是二面角a-1-B的平面角的补角;如图(1)(3)中＜n「n,＞就是

二面角a-//的平面角.

3.判断

(1)二面角的大小就是该二面角两个半平面的法向量的夹角.()

(2)若二面角两个半平面的法向量的夹角为120。,则该二面角的大小等于60。或

120°.()

答案:(l)x(2)4

4.在正方体ABCD-ABCD中，点E为BB的中点，则平面AED与平面ABCD所

111111

成的角的余弦值为()

A.iB.2C9D.它

2332

解：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Ax”,设棱长为1,

则4(0,0,1)1。,0,，£＞(0,1,0),；.初=(0,1,-1),布=(1,0,

设平面A\ED的一个法向量为ni=(x,y,z),

(y-z-o,

则I1b口令》二L则尸2修=2,Ani=(1,2,2).

(x--z=U,

•.•平面ABCD的一个法向量为血=(0,0,1),

22

/.cos＜nhn2＞=—=

即平面与平面ABCD所成角的余弦值为|.

答案:B

二、典例解析

例1如图所示,PCJ_平面43。,48=8。=。4=尸。,求二面角B-PA-C的平面角的正切

值.

通过典例解析想，对

二面角典型问题的分析

解决，明确思考方向，让

学生感受，用代数方法解

问题决立体几何问题。发

分析由PC，平面ABC,知平面ABCJ_平面PAC,从而B在平面PAC上的射影在

展学生逻辑推理，数学抽

4c匕由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.

象和数学运算的核心素

解:；PC_L平面A8C,.•.平面PACJ_平面A8C,交线为AC.作8D_LAC于。点，据面

养。

面垂直性质定理,8。，平面PAC,作DELPA于E点，连接BE,据三垂线定理，则BE

上PA,从而NBED是二面角B-PA-C的平面角.

设PC=a,依题意知AASC是边长为a的正三角形，

二。是4c的中点,且BD与.

"：PC=CA=«,ZPCA=90°,A/%C=45。，

在RtADEA中,E£>=AQsin45弓­y=

则在RSBED中,tan/8E3=空=空=瓜

EDv2

故二面角8-M-C的平面角的正切值为在.

B

1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来

求解.

2.二面角的定义求法主要有：

(1)由定义作出二面角的平面角；

(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角；

(3)作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面

角.

跟踪训练1如图，己知二面角a//等于12(r,PA_La/Ca,尸求NAP8

的大小.

解:设平面PA0Bna=04平面PAOBn/3=OB.

,.,PA_La,aua,，PAJ_”.同理「B_L”....”"L平面PAOB.

又•；04u平面PA08.；.a_L0A.同理a_LOB

AZAOB是二面角a-a-0的平面角.

在四边形PAOB中,乙408=120°,

/PAO=NP8O=90。,所以NAPB=60。.

例2：如图所示，已知直三棱柱4BC-4B1C1中，

/.ABC=90°,AB=BC=1,44]=2,且D是441的中点.求平面BDC与平面BDQ

所成角的大小.

解:以题意，CA,CB，CC、两两相互垂直。

以C为原点，CA,CB,西＞的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向，

建立如图所示直角坐标系，

则:C(0,0,0),8(0,1,0),D(l,0,1)0式1,1,1)

所以丽=(0,1,0),而=(1,0,1),西=(-1,0,1),西=(0,-1,2),

设平面BDC的一个法向量为n=

则【上”】=。，

(n•CD=jq+Zi=0

取Zi=L可得%i=—1,%=0,此时九=(-1,0,1),

设平面BDG的一个法向量为m=(x2,y2,z2).

m

则('跖=-x2+z2=0

l?n-BCy=-y2+2Z2=0

取Zi=l,可得%=1,yt=2,此时m=(1,2,1),

通过典型例题的分

因为n=0,所以<m,n>=90°,

析和解决，让学生感受空

从而可知平面BDC与平面BDQ所成角的大小为90。，

间向量坐标运算在解决

也就是说，这两个平面是相互垂直的。

空间几何中的应用。发展

利用向量方法求二面角的大小时，多采用求法向量的方法,即求出两个面

学生数学抽象、逻辑推理

的法向量，然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小，但利用这种方法求解时，

的核心素养。

要注意结合图形观察分析，确定二面角是锐二面角还是钝二面角，不能将两个法向

量的夹角与二面角的大小完全等同起来.

跟踪训练2如图,四棱柱A28-ABC。的所有棱长都相

Illi

等/CnB£>=QACHBD=O，四边形ACCA和四边形BQ。B均为矩形.

II111।।।।

⑴证明:O底面A8C。；

1

⑵若/C8A=60。,求二面角C-OB-D的余弦值.

(1)证明:因为四边形ACCA和四边形BDO5均为矩形，所以CCJ_4C,£>£>

11।।11

又CC〃£>£>〃00.所以。0±AC,001BD,

।।11।

因为ACnBO=O,所以O0,底面ABCD.

1

⑵解:因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形48co为菱形又。

।

底面ABCD所以OB0C。。两两垂直.

1

如图，以。为原点。B0C,00所在宜线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.设棱

।

长为2,因为NC8A=60。,

所以08=75,OC=1,所以0(0,0,0)巴(75,0,2)0(0,1,2),

平面CBD的一个法向量为1)=(01,0),

1

设平面OCiBi的法向量为m=(x,y,z),则西二(75,0,2),西二(01,2),

贝！j由m_LOBi，m得V^r+2z=0j+2z=0,

取z=・V5,贝ijX=2J=2V5,所以m=(2,2V3,->^),

的、mn

所以I”cos/<mn>=—-=2F6=2y/57

,\m\\n\\/1919

由图形可知二面角C\-OB\-D的大小为锐角，所以二面角Ci-OB\-D的余弦值为

2历

19,

探究变式如果本例条件不变，求二面角B-AC-D的余弦值.

1

解:由例2(2)知5(73,0,0)^!(0,-1,2),C(0,1,0),D(-V3,0,0),

设平面BA\C的法向量为m=(xi,yi,zi),

=(0,2,-2),BC=(-<3,1,0),

贝,m冬=0,即1々-2z：=0,

{m-BC=0,<-V3Xi+yi=0,

令为=1,则yi=V3,zi=V3,

/.m=(l,V3,V3),

同理得，平面AXCD的法向量n=(l,-V3,-V3),

cos<m,n>="°==由图可知二面角B-A\C-D的大小为钝角，

则二面角B-MC-D的余弦值为

三、达标检测

1.已知平面a内有一个以A8为直径的圆,PA，a,点C在圆周上(异于点A,8),点DE通过练习巩固本节所

分别是点A在PCFB上的射影，则()学知识，通过学生解决问

又5£>=2,NSDC=120。,求平面SAD与平面SAB所成角的余弦值.

C

解:如图，过点D作DC的垂线交SC于E,以D为原点，以