天津市武清区河西务中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

2024-2025学年度高二数学第一次月考一、选择题1.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.2.甲､乙两人从3门课程中各选修1门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有（）A.6种 B.12种 C.3种 D.9种3.从5名男生中挑选3人，4名女生中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种4.公共汽车上有12位乘客，沿途8个车站，乘客下车的可能方式共有（）A.种 B.种 C.种 D.种5设函数，则（）A. B. C. D.6.如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（）①在区间上是增函数；②是的极小值点；③在区间上是增函数，在区间上是减函数；④是的极大值点.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.函数，，下列关于说法中正确的是（）A.为极小值，为极小值B.为极大值，为极小值C.为极小值，为极大值D.为极大值，为极大值8.7名身高各不相同的同学站成一排，若身高最高的同学站在中间，且其每一侧同学的身高都依次降低，则7名同学所有不同的站法种数为（）A.20 B.40 C.8 D.169.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题10.已知函数，则___________.11.已知函数在处有极值10，则等于______．12.在的二项式展开式中，项的系数是__________.13.由0，1，2三个数字组成的三位数（允许数字重复)的个数为_________.14.若函数恰有两个零点，则的取值范围是____________15.已知两个函数和.（其中为实数），若对，，使成立，则的取值范围为________.三、解答题16.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间.17.从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？（2）如果男生中甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？18.已知函数，.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，（ⅰ）求函数的单调区间；（ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围.19.已知函数，．（1）若在点处取得极值．①求值；②证明：；（2）求的单调区间．20.已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3.（1）求的值；（2）证明：当时，；（3）若对任意两个正实数，且，有，求证：.

2024-2025学年度高二数学第一次月考一、选择题1.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用常见函数的导数，对选项进行逐一求导即可.【详解】选项A.,故选项A不正确.选项B.,故选项B不正确.选项C.,故选项C不正确.选项D.,故选项D正确.故选：D2.甲､乙两人从3门课程中各选修1门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有（）A.6种 B.12种 C.3种 D.9种【答案】A【解析】【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】甲､乙两人从3门课程中各选修1门，由乘法原理可得甲､乙所选的课程不相同的选法有（种）.故选：A3.从5名男生中挑选3人，4名女生中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】A【解析】【分析】根据分步计数原理及组合的概念即得.【详解】由题可知从5名男生中挑选3人有种方法，4名女生中挑选2人有种方法，所以不同的挑选方法共有种.故选：A.4.公共汽车上有12位乘客，沿途8个车站，乘客下车的可能方式共有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】D【解析】【分析】利用分步计数原理，直接求解.【详解】按分步计数原理，12名乘客下车的不同方法种数有：种.故选：D5.设函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用导数的定义得，即可求解.【详解】因为，又，则，所以，则，故选：B.6.如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（）①在区间上是增函数；②是的极小值点；③在区间上是增函数，在区间上是减函数；④是的极大值点.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】C【解析】【分析】由导函数的图象，可判断在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案．【详解】解：由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当时，所以在区间上单调递减，故①错误；在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增，在和处取得极小值，处取得极大值，故②③正确，④错误；故选：C．7.函数，，下列关于的说法中正确的是（）A.为极小值，为极小值B.为极大值，为极小值C.为极小值，为极大值D.为极大值，为极大值【答案】C【解析】【分析】由导数可得函数的单调区间，再由极值的概念即可得解.【详解】因为，，所以，令即，可得或，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，故选：C8.7名身高各不相同的同学站成一排，若身高最高的同学站在中间，且其每一侧同学的身高都依次降低，则7名同学所有不同的站法种数为（）A20 B.40 C.8 D.16【答案】A【解析】【分析】让最高的同学站中间，再在剩余的6人中选择3人，放在左边，剩余3人放在右边，计算得到答案.【详解】让最高的同学站中间，再在剩余的6人中选择3人，放在左边，剩余3人放在右边，共有种站法.故选：A9.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据导数与单调性的关系分析可得原题意等价于在上恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析运算.【详解】由题意可得：，令，可得，原题意等价于在上恒成立，因为开口向下，对称轴，可得在上单调递减，当时，取到最大值，所以的取值范围是.故选：A.二、填空题10已知函数，则___________.【答案】2【解析】【分析】由复合函数的求导法则求出导函数后，可计算导数值．【详解】由题意，所以．故答案为：2．11.已知函数在处有极值为10，则等于______．【答案】18【解析】【详解】试题分析：，依题意，解得或，当时，，，所以在上单调递增，此时在处并没有取得极值，不符合要求，舍去；当时，，，所以时，，当时，，所以函数在处取得极小值10，符合要求，此时.考点：函数的极值与导数.12.在的二项式展开式中，项的系数是__________.【答案】【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于3，求的值，即可求得系数.【详解】展开式的通项为，令，则，所以项的系数为.故答案为：13.由0，1，2三个数字组成的三位数（允许数字重复)的个数为_________.【答案】18【解析】【分析】先从1，2中选一个数排在百位，再由十位和个位各有3种选法求解.【详解】解：先从1，2中选一个数排在百位，有2种选法，然后十位和个位各有3种选法，故组成的三位数（允许数字重复)的个数为，故答案为：1814.若函数恰有两个零点，则取值范围是____________【答案】【解析】【分析】先求出导函数，对进行分类讨论，发现若，则在上至多只有一个零点，故必有，由此分析在上的单调性和极值，发现存在极小值，根据零点存在的条件，则有极小值小于，由此解出则的取值范围.【详解】函数的定义域为，，因为，所以若，则，根据零点存在定理，在上至多只有一个零点，故，令，得，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以存在极小值，也是最小值，因为，所以当时，；当时，，若函数在上恰有两个零点，则，即，所以的取值范围是.故答案为：.15.已知两个函数和.（其中为实数），若对，，使成立，则的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】由题设将问题化为在上，并利用导数求区间上最大值，即可得参数范围.【详解】由题设，则在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，而，由，则在、上，在上，所以在、上单调递增，在上单调递减，而，要使对，，使成立，所以，只需在上，则，可得.故答案为：【点睛】关键点点睛：在上为解题的关键.三、解答题16.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间.【答案】（1）（2）的单调递增区间是和；单调递减区间是【解析】【分析】（1）求出导函数，得出切线斜率，再计算出，由点斜式写出切线方程，整理即得；（2）由得增区间，得减区间，即可．【小问1详解】由题意得：，所以(1)，(1)，故曲线在点，(1)处的切线方程，即；【小问2详解】，令，易得或，令，易得，所以函数在和上递增，在上递减，即的单调递增区间是和；单调递减区间是.17.从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？【答案】（1）60；（2）21；（3）91；（4）120【解析】【分析】（1）根据要求直接选取即可；（2）在剩下的7人中任选2人即可；（3）包含两种情况，第一种甲和乙都在内，第二种情况，甲乙选1人；（4）从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况.【详解】（1）如果4人中男生女生各选2人，有种选法；（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的7人中任选2人，有种选法；（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种甲和乙都在内的选法有种，第二种情况，甲乙选1人，有种选法，则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法；（4）如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法.18.已知函数，.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，（ⅰ）求函数的单调区间；（ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）(i)单调递增区间为和；单调递减区间为；(ii)．【解析】【分析】（1）求导数，可得切线斜率，进而得出曲线在点处的切线方程；（2）(i)求导数，利用导数的正负，即可求函数的单调区间；(ii)方程有3个不同的实数根，则极大值大于0，极小值小于0，即可求实数的取值范围．小问1详解】对，求导得，，当时，，又切点为切线方程为即；【小问2详解】依题意得(i)由，可得或，由，可得．函数的单调递增区间为和；单调递减区间为.(ii)由(i)可知：当变化时，的变化情况如表：12＋0－0＋单调递增单调递减单调递增当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为，若方程有3个不同的实数根，则，解得．19.已知函数，．（1）若在点处取得极值．①求的值；②证明：；（2）求的单调区间．【答案】（1）①1；②证明见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）①先由在点处取得极值，求出参数的值；②经分析函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，即时，取得最小值，即可得证；（2）分和两种情况讨论函数的单调区间即可.【小问1详解】①由于函数，得，因为在点处取得极值，所以,所以，经检验的导函数在区间上小于，在区间上大于，故在点处取得极小值．②由①得，，．令，解得．当x变化时，，的变化情况如表所示．x1－0＋单调递减1单调递增所以，当时，取得最小值．所以，即．【小问2详解】函数的定义域为，且，当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令解得，的解集为，的解集为，所以的单调递增区间为，单调递减区间为综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.20.已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3.（1）求的值；（2）证明：当时，；（3）若对任意两个正实数，且，有，求证：.【答案】（1）2（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由求得值；（2）设，利用导数确定其单调性后可证；（3）不妨设，令，由进行转化后把用表示，把要证不等式化为