省赛数学竞赛试题及答案

省赛数学竞赛试题及答案姓名：____________________

一、多项选择题（每题2分，共20题）

1.若函数\(f(x)=x^3-3x+2\)在区间\([1,2]\)上是增函数，则下列结论正确的是：

A.\(f(1)<f(2)\)

B.\(f'(1)>f'(2)\)

C.\(f'(1)<f'(2)\)

D.\(f(1)>f(2)\)

2.若\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,4)\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)的值为：

A.10

B.5

C.-10

D.-5

3.已知等差数列\(\{a_n\}\)的首项为3，公差为2，则第10项\(a_{10}\)的值为：

A.19

B.21

C.23

D.25

4.若\(\sinx+\cosx=\sqrt{2}\)，则\(\sin^2x+\cos^2x\)的值为：

A.1

B.2

C.0

D.\(\sqrt{2}\)

5.在直角坐标系中，点\(P(1,3)\)关于直线\(y=x\)的对称点\(Q\)的坐标为：

A.(1,3)

B.(3,1)

C.(3,-1)

D.(-1,3)

6.若\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{xy}\)，则\(x+y\)的值为：

A.0

B.2

C.4

D.-2

7.已知\(a^2+b^2=1\)，\(ab=\frac{1}{2}\)，则\(a-b\)的取值范围是：

A.\([-1,1]\)

B.\([-1,2]\)

C.\([-2,1]\)

D.\([-2,2]\)

8.若\(\log_2a+\log_2b=\log_2(ab)\)，则\(ab\)的值为：

A.1

B.2

C.4

D.8

9.在直角坐标系中，若点\(A(2,3)\)，\(B(4,5)\)，则\(\overrightarrow{AB}\)的坐标为：

A.(2,3)

B.(2,2)

C.(2,4)

D.(2,1)

10.若\(a,b,c\)是等差数列，且\(a+b+c=12\)，\(ab+bc+ca=36\)，则\(abc\)的值为：

A.27

B.36

C.48

D.54

11.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\cos\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则\(\sin(\alpha+\beta)\)的值为：

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

C.\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

D.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

12.已知函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)在区间\([-1,1]\)上单调递增，则\(a,b,c\)的取值范围是：

A.\(a>0,b>0,c>0\)

B.\(a>0,b<0,c>0\)

C.\(a>0,b>0,c<0\)

D.\(a>0,b<0,c<0\)

13.若\(\log_3a+\log_3b=\log_3(ab)\)，则\(ab\)的值为：

A.1

B.3

C.9

D.27

14.在直角坐标系中，若点\(A(2,3)\)，\(B(4,5)\)，则\(\overrightarrow{AB}\)的模长为：

A.2

B.3

C.4

D.5

15.若\(a,b,c\)是等比数列，且\(a+b+c=6\)，\(abc=27\)，则\(abc\)的值为：

A.9

B.27

C.81

D.243

16.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\cos\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则\(\sin(\alpha-\beta)\)的值为：

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

C.\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

D.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

17.已知函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)在区间\([-1,1]\)上单调递减，则\(a,b,c\)的取值范围是：

A.\(a>0,b>0,c>0\)

B.\(a>0,b<0,c>0\)

C.\(a>0,b>0,c<0\)

D.\(a>0,b<0,c<0\)

18.若\(\log_3a+\log_3b=\log_3(ab)\)，则\(ab\)的值为：

A.1

B.3

C.9

D.27

19.在直角坐标系中，若点\(A(2,3)\)，\(B(4,5)\)，则\(\overrightarrow{AB}\)的模长为：

A.2

B.3

C.4

D.5

20.若\(a,b,c\)是等比数列，且\(a+b+c=6\)，\(abc=27\)，则\(abc\)的值为：

A.9

B.27

C.81

D.243

二、判断题（每题2分，共10题）

1.若\(a>b>0\)，则\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。（）

2.\(x^2-4\)的因式分解为\((x+2)(x-2)\)。（）

3.在直角坐标系中，原点\(O\)是所有直线的中点。（）

4.若\(a,b,c\)是等差数列，则\(a^2,b^2,c^2\)也是等差数列。（）

5.函数\(f(x)=x^3-3x+2\)在\(x=1\)处取得极小值。（）

6.\(\cos0+\cos\frac{\pi}{2}+\cos\pi=0\)。（）

7.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，则\(\alpha\)是锐角。（）

8.在等差数列中，任意一项都是前一项加上一个常数。（）

9.\(\log_28-\log_24=1\)。（）

10.若\(a,b,c\)是等比数列，则\(a^2,b^2,c^2\)也是等比数列。（）

三、简答题（每题5分，共4题）

1.简述一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的判别式\(\Delta=b^2-4ac\)的几何意义。

2.如何求一个三角形的面积，已知该三角形的三边长分别为\(a,b,c\)？

3.简述等差数列和等比数列的性质，并举例说明。

4.简述对数函数\(y=\log_ax\)（\(a>0\)，\(a\neq1\)）的单调性，并给出证明。

四、论述题（每题10分，共2题）

1.论述函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图像特征及其与系数\(a,b,c\)的关系。包括但不限于顶点坐标、对称轴、开口方向、与坐标轴的交点等。

2.论述复数的概念及其在数学中的应用。包括复数的表示方法、复数的运算（加法、减法、乘法、除法）、复数的几何意义以及复数在解决实际数学问题中的应用，如求解一元二次方程、解析几何等。

试卷答案如下

一、多项选择题

1.A.\(f(1)<f(2)\)

解析：函数在区间\([1,2]\)上是增函数，所以当\(x\)增大时，\(f(x)\)也增大，故\(f(1)<f(2)\)。

2.A.10

解析：向量的点积\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2=1\times3+2\times4=3+8=11\)。

3.B.21

解析：等差数列的第\(n\)项公式为\(a_n=a_1+(n-1)d\)，代入\(a_1=3\)，\(d=2\)，\(n=10\)得到\(a_{10}=3+(10-1)\times2=3+18=21\)。

4.A.1

解析：由三角恒等式\(\sin^2x+\cos^2x=1\)直接得出。

5.B.(3,1)

解析：点\(P\)关于直线\(y=x\)的对称点\(Q\)满足\(x\)坐标与\(y\)坐标互换，故\(Q(3,1)\)。

6.B.2

解析：由题意\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{xy}\)变形得\(xy=2\)，所以\(x+y=\sqrt{2xy}=\sqrt{4}=2\)。

7.C.\([-1,2]\)

解析：由\(a^2+b^2=1\)和\(ab=\frac{1}{2}\)可得\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2=1-1=0\)，所以\(a-b=0\)，取值范围是\([-1,2]\)。

8.A.1

解析：由对数恒等式\(\log_aa=1\)直接得出。

9.B.(2,2)

解析：向量的坐标表示\(\overrightarrow{AB}=B-A=(4-2,5-3)=(2,2)\)。

10.A.27

解析：由等差数列的性质，\(a,b,c\)是等差数列，则\(b=\frac{a+c}{2}\)，代入\(a+b+c=12\)得到\(b=4\)，代入\(abc=27\)得到\(a=3\)，\(c=5\)，所以\(abc=3\times4\times5=60\)。

二、判断题

1.×

解析：\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)当且仅当\(a>b>0\)。

2.√

解析：\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)是完全平方差公式。

3.×

解析：原点\(O\)不是所有直线的