2025年中考数学总复习考前板块训练-反比例函数与几何图形交点问题

反比例函数与几何图形交点问题—2025年中考数学总复习考前板块训练一、选择题1．如图，已知点A是一次函数y＝2x的图象与反比例函数y＝﹣kx的图象在第一象限内的交点，AB⊥x轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且∠ACB＝∠OAB，△AOB的面积为4，则点CA．（﹣5，0） B．（﹣6，0）C．（﹣5.5，0） D．（﹣4，0）2．如图，矩形ABCD的边BC在x轴的负半轴上，顶点D(a,b)在反比例函数y=kx的图像上，直线AC交yA．－16 B．－8 C．－4 D．－23．如图，点B在反比例函数y=8x(x>0)的图象上，点C在反比例函数y=−4x(x>0)的图象上，且BC//yA．4 B．5 C．6 D．74．如图，A，~B是函数y=6x上两点，P为一动点，作PB//①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝2，则S△ABP＝8A．①③ B．②③ C．②④ D．③④5．如图，点P是函数y=k1x(k1>0,x>0)的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A，~B，交函数y=k2x(k2>0A．①② B．①③ C．②③ D．①6．如图，A、B是函数y=12①△AOP≅△BOP；②S△AOP=S△BOP；③若OA=OB，则OP平分∠AOB；④A．①③ B．②③ C．②④ D．③④7．如图，直线y=k1x+b与x轴，y轴相交于P，Q两点，与y=k2x的图象相交于A(−2,m),B(1,n)两点，连接OA，OB．下列结论：A．①③ B．②③④ C．①③④ D．②④8．如图，点P是函数y=k1x(k1>0,x>0)的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A，、B，交函数y=k2xA．①② B．①③ C．②③ D．①9．如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=k1x和y=k2x的一支上，过点A，点C分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N，有以下结论：①ON=OM；②AMCN=|k1kA．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④10．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y＝kx（k≠0，x＞0）的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN，下列结论中①△OCN≌△OAM；②四边形DAMN与△OMN面积相等；③ON＝MN；④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为（0，2其中正确的结论有（）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空题11．如图，线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且△ABO的面积为6，若双曲线y=kx(k<0)恰好经过线段AB的中点M12．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C，D在x轴上，且BC‖AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为13．如图，点A和点B分别是反比例函数y=mX(x>0)和y=nX(x>0)的图象上的点，AB⊥x轴，点14．如图，△ABC的顶点A，B在双曲线y=kx上，顶点C在y轴上，BC边与双曲线交于点D，若BD=3CD，△ABC的面积为50，则k的值为15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的负半轴上，反比例函数y＝kx（x＜0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为6，则k的值等于16．如图，点A是反比例函数y=kx(x>0)图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，且△17．/span>．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y=1x(x>0)与y=18．如图，在平面直角坐标系中，□OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y=kx(x>0)的图象交BC于点D．若CD=2BD19．如图，正方形ABCD的顶点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，函数y=3x(x>0)的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，若AB=2，现给出下列结论：①O，A，C三点一定在同一直线上；②点A的横坐标是2；③点20．如图，点A，B分别是反比例函数y=ax(a>0,x>0)和y=bx(b<0,x<0)图象上的点，且AB//三、解答题21．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在坐标轴上，且OA=3，OC=6，反比例函数y=kxx>0的图象与AB、BC（1）如图2，连结OD、OE，当△OAD的面积为2时：①k=______；②求△ODE的面积；（2）如图3，将△DEB沿DE翻折，当点B的对称点F恰好落在边OC上时，求k的值．22．如图（1）【阅读理解】王亮同学在学习了“平行线分线段成比例定理”后，发现角平分线还具有性质“若AD是△ABC的一条角平分线（如图①），则ABAC=BDDC．”对此结论他进行了证明，想法是：过点C作AD的平行线交BA的延长线于点（2）【问题解决】请你利用以上角平分线的性质解决下列问题：如图③，已知反比例函数y＝22x，点A是该图象第一象限上的动点，连接AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角△ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连接BP，点A在运动过程中，是否存在BP恰好平分∠ABC的情况，若存在，请求出点23．学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P'，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P'也随之运动，并且点试根据下列各题中所给的定点A的坐标，角度α的大小来解决相关问题．（1）【初步感知】如图1，设A(1,1),α=90①点P1旋转后，得到的点P1'②若点P'的运动轨迹经过点P（2）【深入感悟】如图2，设A(0,0),α=45°，点P是反比例函数（3）【灵活运用】如图3，设A(1,−3),α=60°24．如图1，直线y=−x+42与x，y轴的交点分别为点A，B，与反比例函数y=6x（1）求△OCD的面积；（2）是否存在点M，使得△ODM~△OAD？若存在，请求出点（3）过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E，F，是否存在点M，使得矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于236？若存在，请求出点M25．在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩形ABCD的“友好函数”，例如：如图1，矩形ABCD，经过点A−1,1和点C3,3的一次函数y=1（1）如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A2,1，B6,1，C6,3，D2,3，反比例函数y=k（2）矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且点A的坐标为1,2，正比例函数y1=ax经过点A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数y2①如图3，当OC>OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；②设矩形ABCD的周长为y，求y关于k的函数表达式；③在②的条件下，当矩形ABCD的周长y=4时，设矩形ABCD的面积为S1；当矩形ABCD的周长y=8时，设矩形ABCD的面积为S2，请直接写出26．【问题背景】如1图，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y=ax(a>0)上第一象限内的两个动点(OD>OB)，以线段BD为对角线作矩形ABCD【构建联系】（1）求证：函数y=kx的图象必经过点（2）如2图，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点B的坐标为(1,2（3）【深入探究】如3图，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E，A重合时，连接AC交BD于点P.以点O为圆心，AC长为半径作⊙O.若OP=32，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k27．【阅读理解】如图1，在平面直角坐标系中，直线l的函数关系式y=kx+b，P1x1,y1，P2x2,y2是直线l上任意两个不同的点，过点P1、P2分别作y轴、x轴的平行线交于点【直接应用】（1）直线y=2x+1的“纵横比”为_______，直线y=−1【拓展提升】（2）如图2，已知直线l:y=kx+bk>0与直线l':y=mx+nm<0互相垂直，请用“纵横比”原理以及相关的几何知识分析【综合应用】（3）如图3，已知点A8,0，P是y轴上一动点，线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB，设此时点B的运动轨迹为直线l，若另一条直线m⊥l，且与y=2x28．如图1，直线y=−2x+6的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，点D是线段AB上一点，过D点分别作OA、OB的垂线，垂足分别是C、E，矩形OCDE的面积为4，且CD>DE．（1）求D点坐标；（2）将矩形OCDE以1个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形MNPQ，记平移时间为t秒．①如图2，当矩形MNPQ的面积被直线AB平分时，求t的值；②如图3，当矩形MNPQ的边与反比例函数y=12

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】-312．【答案】y=−13．【答案】414．【答案】−1015．【答案】﹣216．【答案】-1217．【答案】518．【答案】1819．【答案】①③20．【答案】2421．【答案】（1）①4；解：②在矩形OABC中，OA=BC=3，OC=AB=6，∵k=4，∴反比例函数的解析式是：y=4∵OA=3，即点D的纵坐标是3，令4x解得：x=4∴D43同理，当x=6时，y=4∴E6,∴AD=43，BD=AB−AD=6−43=∴=OA⋅OC−=6×3−2−2−=77（2）解：过点D作DG⊥x轴于点G，则DG=OA=3，∵OA=3，即点D的纵坐标是3，令y=k解得：x=k∴Dk同理可得，当x=6时，y=k∴E6,∴AD=k3，BD=AB−AD=6−k3，由折叠的性质可知：DF=BD=6−k3，FE=BE=3−k∴∠DFG+∠CFE=90°，∵DG⊥x轴，∴∠DFG+∠GDF=90°，∴∠CFE=∠GDF，∵∠CFE=∠GDF，∠FCE=∠DGF=90°∴△CFE∽△GDF，∴CE即k6∴GF=k∵DG⊥x轴，∴△GDF是直角三角形，DG∴3解得：k=27即k的值为27422．【答案】（1）证明：∵AD∥CE，∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，ABBD∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠E＝∠ACE，∴AC＝AE∴ABBD（2）解：假设存在．∵点A在反比例函数y=2∴设点A的坐标为(m,∵△ABC为以AB边为底边的等腰直角三角形，点C为点A绕原点O顺时针旋转90°后得到的点，∴点C的坐标为（22∵BP平分∠ABC，∴∴AP=2PC解得：m=2或m=−经检验m=2是方程2∴点C的坐标为(2故存在BP平分∠ABC的情况，此时点C的坐标为(23．【答案】（1）解：①（1，3）；②（2）解：设双曲线与二，四象限平分线交于N点，则：y=−x,y=−1x(①当x≤−1时，作PQ⊥x轴于Q，∵∠QAM=∠PO∴∠PAQ=∠∵PM⊥AM∴∠∴在△PQA和△P∠PQA=∠∴△PQA≅△∴S△P②当−1<x<0时，作PH⊥y轴于点H，∵∠PO∴∠PON=∠∴∠M∵∠POH=∠PO∴∠POH=∠M在△POH和△OP∠PHO=∠OM∴△POH≅△O∴综上所述，△OMP'的面积为（3）解：24．【答案】（1）解：当y=−x+42=0时，∴点B的坐标为(0解方程组：y=−x+42得：x=32y=2∴点C坐标为(2,32)过点C作CG⊥OB于点G，过点D作DH⊥OB于点H，∴S（2）解：存在点M，使得△ODM∽△OAD，假设存在点M，使得△ODM∽△OAD，此时∠MDO＝45°，以OD为直角边构建等腰直角△NOD，过点N作NP⊥OB于点P，过点D作DQ⊥OA于点Q，∴∠NOP+∠POD＝∠DOQ+∠POD＝90°，∴∠NOP＝∠DOQ，∵∠NPO＝∠DQO＝90°，NO＝DO，∴△NPO≌△DQO（AAS），∴PN=QD=∴点N的坐标为(−设直线DN的关系式为：y=kx+b，把点D(3解得：k=−1直线DN的函数关系式为：y=−1解方程组：y=−1解得：x=22y=3∴点M坐标为(22∴DM=(OD=(OA=42AD=∴AD:∴AD：OA＝DM：OD，且∠MDO＝∠DAO＝45°∴△MOD~DOA，此时M点坐标为（3）解：如图，重叠面积为四边形MSOT，设点M坐标为(m,6m)，根据点D坐标为当x=m时，y=1∴点T的坐标为(m,∴OE=m根据点C坐标为(2,32)，得OC的关系式为：y=3x解得：x=2∴点S的坐标为(2∴SF=∵矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于236∴6−化简得，m4解得：m=±2或±3，∵m>0，∴m=2或3，∴m点坐标为(2,325．【答案】（1）解：将点B6,1的坐标代入反比例函数表达式y=kx得：k=1×6=6，∴反比例函数的表达式为：y=6x，

当x=2时，y=3，

∴点D在反比例函数图象上，（2）解：①将点A1,2的坐标代入正比例函数表达式y1=ax得a=2，∴正比例函数表达式为y=2x，

∵正比例函数是矩形ABCD的“友好函数”，

∴点C在直线y=2x上，

设点Cm,2m，则B(m,2),D(1,2m)，

∴AB=m−1,BC=2m−2；

∵将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上，

∴AE=AB=m−1，CE=BC=2m−2，∠BCO=∠ECO，

延长BA交y轴于F，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°，BC∥AD，

∵AD∥y轴，

∴∠EFA=∠DAB=90°，BC∥y，

∴∠BCO=∠EOC，

∵∠BCO=∠ECO，

∴∠EOC=∠ECO，

∴OE=CE=2m−2，

∵AB∥x轴，

∴F0,2，AF=1，

∴OF=2，

∴EF=OE−OF=2m−2−2=2m−4，

在Rt△AEF中，AF2+EF2=AE2，

∴1+2m−42=m−12，

解得：m=83或m=2，

∵AE>AF，

∴m−1>1，

∴m>2，

∴m=83，

当m=83时，B83,2，

把B83,2代入反比例函数y=kx得，k=163；

②当OC>OA时，即m>1，

将点B(m,2)的坐标代入反比例函数表达式得k=2m，即m=k2，∵AB=m−1,BC=2m−2，

∴y=2AB+BC=6m−6=3k−6，

∵m>1，

∴k>2，

∴当k>2时，y=3k−6，

当OC<OA时，即0<k<226．【答案】（1）证明：设点B(t，at)，D(s，as)，

∵四边形ABCD是矩形，且AD∥x轴，

∴点A(t，as)，C(s，at)，

∵反比例函数经过点A(t，as)，代入反比例函数中，

∴k=ast，

此时，若x=s，则y=ks=ast（2）解：如图，连接CE，延长CB和DA交y轴与点F和点G，

∵B(1，2)，代入直线y=ax(a>0)，

∴2=a，即直线y=2x，

设点D(2m，4m)，

此时点C(2m，2)，A(1，4m)，

即BC=2m-1，CD=4m-2，BF=1，

∵四边形ABCD是矩形，△DEB是△DCB折叠所得，

∴∠DEB=∠DCB=90°，CE⊥BD，

∴∠BDC+∠CBD=∠BCE+∠DCE=90°，

∴∠CDB=∠FCE，

在Rt△CFE和Rt△DCB中，

tan∠BDC=tan∠ECF，

∴BCCD=EFCF，即2m−14m−2=EF2m=12，

∴EF=m，

同理，∠BEF+∠EBF=∠DEG+∠EDG=90°，

在Rt△BFE和Rt△DGE中，

tan∠BEF=tan∠EDG，

∴BFEF=GEDG，即1m=GE2m，

∴GE=2，（3）解：如图，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，交BC于点N，

∵矩形ABCD沿BD折叠，点E，A重合时，

此时AB=AC，故四边形ABCD是正方形，

∴BD平分∠ABC，即∠BOM=45°，

∴OM=PM，

在等腰Rt△OMP中，

∵OP=32，

∴由勾股定理得OM=PM=3，即点P(3，3)

设点B(a，a)，则C(6-a，a)，D(6-a，6-a)，A(a，-a+6)，

易得直线AC的解析式为y=-x+6，此时k=a(-a+