2025年大学统计学期末考试题库数据分析计算题库（多元统计分析试题）

2025年大学统计学期末考试题库数据分析计算题库（多元统计分析试题）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、描述性统计量计算要求：计算给定数据集的均值、中位数、众数、极差、标准差、方差以及偏度和峰度。1.设有一组数据：{12,18,19,14,22,14,18,23,14,12,18,19}，请计算该数据集的均值、中位数、众数、极差、标准差、方差、偏度和峰度。二、假设检验要求：根据给出的假设检验问题，判断拒绝原假设的结论。2.已知总体服从正态分布，方差已知。在α=0.05的显著性水平下，对总体均值进行假设检验。原假设H0：μ=μ0，备择假设H1：μ≠μ0，其中μ0=15，样本均值x̄=14，样本标准差s=3，样本容量n=100。3.假设总体X服从正态分布，已知方差σ²=9，从总体中随机抽取一个容量为16的样本，计算以下问题：a.样本均值x̄的分布；b.样本方差s²的分布；c.样本均值与总体均值之间差的分布；d.样本均值与总体均值之间差的平方的分布。三、线性回归分析要求：根据给定数据，建立线性回归模型，并分析模型的拟合程度。4.以下是某品牌产品售价与广告费用之间的数据：广告费用：500，600，700，800，900，1000售价：800，850，870，890，910，930a.请根据上述数据建立线性回归模型，并计算回归方程的系数；b.根据模型计算R²值，判断模型的拟合程度；c.分析模型的假设是否成立。5.某工厂在研究生产效率与工人年龄之间的关系时，收集了以下数据：工人年龄：20，25，30，35，40，45生产效率：100，150，180，210，240，270a.请根据上述数据建立线性回归模型，并计算回归方程的系数；b.根据模型计算R²值，判断模型的拟合程度；c.分析模型的假设是否成立。四、主成分分析要求：对一个包含多个变量的数据集进行主成分分析，提取前两个主成分，并计算每个样本在这两个主成分上的得分。6.假设我们有一个包含5个变量的数据集，变量为X1,X2,X3,X4,X5，数据如下表所示：|X1|X2|X3|X4|X5||----|----|----|----|----||1|2|3|4|5||2|3|4|5|6||3|4|5|6|7||4|5|6|7|8||5|6|7|8|9|请完成以下任务：a.计算每个变量的均值和标准差；b.计算协方差矩阵；c.计算特征值和特征向量；d.提取前两个主成分；e.计算每个样本在这两个主成分上的得分。五、因子分析要求：对一个包含多个变量的数据集进行因子分析，确定合适的因子个数，并解释每个因子的含义。7.假设我们有一个包含6个变量的数据集，变量为X1,X2,X3,X4,X5,X6，数据如下表所示：|X1|X2|X3|X4|X5|X6||----|----|----|----|----|----||1|2|3|4|5|6||2|3|4|5|6|7||3|4|5|6|7|8||4|5|6|7|8|9||5|6|7|8|9|10||6|7|8|9|10|11|请完成以下任务：a.计算每个变量的均值和标准差；b.计算协方差矩阵；c.进行KMO和Bartlett的球形度检验；d.计算特征值和特征向量；e.确定合适的因子个数；f.解释每个因子的含义。六、聚类分析要求：对一个包含多个变量的数据集进行聚类分析，选择合适的聚类方法，并对结果进行解释。8.假设我们有一个包含5个变量的数据集，变量为X1,X2,X3,X4,X5，数据如下表所示：|X1|X2|X3|X4|X5||----|----|----|----|----||1|2|3|4|5||2|3|4|5|6||3|4|5|6|7||4|5|6|7|8||5|6|7|8|9|请完成以下任务：a.计算每个变量的均值和标准差；b.选择合适的聚类方法（例如K均值聚类）；c.对数据进行聚类；d.解释聚类结果。本次试卷答案如下：一、描述性统计量计算1.均值=(12+18+19+14+22+14+18+23+14+12+18+19)/12=18.25中位数=(14+18)/2=16众数=14极差=23-12=11标准差=√[Σ(xi-x̄)²/n]=√[(12-18.25)²+(18-18.25)²+(19-18.25)²+(14-18.25)²+(22-18.25)²+(14-18.25)²+(18-18.25)²+(23-18.25)²+(14-18.25)²+(12-18.25)²+(18-18.25)²+(19-18.25)²]/12≈3.28方差=(Σ(xi-x̄)²/n)=[(12-18.25)²+(18-18.25)²+(19-18.25)²+(14-18.25)²+(22-18.25)²+(14-18.25)²+(18-18.25)²+(23-18.25)²+(14-18.25)²+(12-18.25)²+(18-18.25)²+(19-18.25)²]/12≈10.69偏度=(Σ(xi-x̄)³/n)/[(Σ(xi-x̄)²/n)^(3/2)]≈-0.25峰度=(Σ(xi-x̄)⁴/n)/[(Σ(xi-x̄)²/n)^(2)]≈0.75二、假设检验2.根据t检验公式，计算t值：t=(x̄-μ0)/(s/√n)=(14-15)/(3/√100)≈-1.47在α=0.05的显著性水平下，查t分布表得到tα/2(99)≈1.984因为|-1.47|<|1.984|，所以不拒绝原假设H0：μ=μ0。3.a.样本均值x̄的分布为正态分布，均值为μ，标准差为σ/√n=3/√16=0.75b.样本方差s²的分布为χ²分布，自由度为n-1=16-1=15c.样本均值与总体均值之间差的分布为t分布，自由度为n-1=15d.样本均值与总体均值之间差的平方的分布为χ²分布，自由度为n-1=15三、线性回归分析4.a.回归方程的系数：b0=ȳ-b1x̄=900-0.9*800=100b1=Σ(xy)/Σ(x²)-(Σx*Σy)/(n*Σx²)=(500*800+600*850+700*870+800*890+900*910+1000*930)/(500²+600²+700²+800²+900²+1000²)-(500+600+700+800+900+1000)*(800+850+870+890+910+930)/(6*500²+6*600²+6*700²+6*800²+6*900²+6*1000²)≈0.9所以回归方程为y=0.9x+100b.R²值=Σ(ŷi-ȳ)²/Σ(yi-ȳ)²=(0.9*500+100-800)²+(0.9*600+100-850)²+(0.9*700+100-870)²+(0.9*800+100-890)²+(0.9*900+100-910)²+(0.9*1000+100-930)²/[(500-800)²+(600-800)²+(700-800)²+(800-800)²+(900-800)²+(1000-800)²]≈0.97c.模型的假设成立，因为R²值接近1，说明模型对数据的拟合程度较好。5.a.回归方程的系数：b0=ȳ-b1x̄=270-0.9*35=223.5b1=Σ(xy)/Σ(x²)-(Σx*Σy)/(n*Σx²)=(20*100+25*150+30*180+35*210+40*240+45*270)/(20²+25²+30²+35²+40²+45²)-(20+25+30+35+40+45)*(100+150+180+210+240+270)/(6*20²+6*25²+6*30²+6*35²+6*40²+6*45²)≈0.9所以回归方程为y=0.9x+223.5b.R²值=Σ(ŷi-ȳ)²/Σ(yi-ȳ)²=(0.9*20+223.5-100)²+(0.9*25+223.5-150)²+(0.9*30+223.5-180)²+(0.9*35+223.5-210)²+(0.9*40+223.5-240)²+(0.9*45+223.5-270)²/[(20-100)²+(25-100)²+(30-100)²+(35-100)²+(40-100)²+(45-100)²]≈0.97c.模型的假设成立，因为R²值接近1，说明模型对数据的拟合程度较好。四、主成分分析6.a.计算每个变量的均值和标准差：均值：x̄1=(1+2+3+4+5)/5=3，x̄2=(2+3+4+5+6)/5=4，x̄3=(3+4+5+6+7)/5=5，x̄4=(4+5+6+7+8)/5=6，x̄5=(5+6+7+8+9)/5=7标准差：s1=√[(1-3)²+(2-3)²+(3-3)²+(4-3)²+(5-3)²]/5≈1.4，s2=√[(2-4)²+(3-4)²+(4-4)²+(5-4)²+(6-4)²]/5≈1.4，s3=√[(3-5)²+(4-5)²+(5-5)²+(6-5)²+(7-5)²]/5≈1.4，s4=√[(4-6)²+(5-6)²+(6-6)²+(7-6)²+(8-6)²]/5≈1.4，s5=√[(5-7)²+(6-7)²+(7-7)²+(8-7)²+(9-7)²]/5≈1.4b.计算协方差矩阵：协方差矩阵=[(s1²,s1*s2,s1*s3,s1*s4,s1*s5),(s2*s1,s2²,s2*s3,s2*s4,s2*s5),(s3*s1,s3*s2,s3²,s3*s4,s3*s5),(s4*s1,s4*s2,s4*s3,s4²,s4*s5),(s5*s1,s5*s2,s5*s3,s5*s4,s5²)]c.计算特征值和特征向量：特征值：λ1=5.8，λ2=2.4，λ3=1.8，λ4=1.8，λ5=0.6特征向量：[0.9,0.2,0.1,0.1,0.1],[0.2,0.9,0.1,0.1,0.1],[0.1,0.1,0.9,0.1,0.1],[0.1,0.1,0.1,0.9,0.1],[0.1,0.1,0.1,0.1,0.9]d.提取前两个主成分：主成分1=0.9X1+0.2X2+0.1X3+0.1X4+0.1X5主成分2=0.2X1+0.9X2+0.1X3+0.1X4+0.1X5e.计算每个样本在这两个主成分上的得分：样本1得分=0.9*1+0.2*2+0.1*3+0.1*4+0.1*5=1.5样本2得分=0.2*1+0.9*2+0.1*3+0.1*4+0.1*5=2.0样本3得分=0.1*1+0.1*2+0.9*3+0.1*4+0.1*5=3.0样本4得分=0.1*1+0.1*2+0.1*3+0.9*4+0.1*5=4.0样本5得分=0.1*1+0.1*2+0.1*3+0.1*4+0.9*5=5.0五、因子分析7.a.计算每个变量的均值和标准差：均值：x̄1=(1+2+3+4+5)/5=3，x̄2=(2+3+4+5+6)/5=4，x̄3=(3+4+5+6+7)/5=5，x̄4=(4+5+6+7+8)/5=6，x̄5=(5+6+7+8+9)/5=7，x̄6=(6+7+8+9+10)/5=8标准差：s1=√[(1-3)²+(2-3)²+(3-3)²+(4-3)²+(5-3)²]/5≈1.4，s2=√[(2-4)²+(3-4)²+(4-4)²+(5-4)²+(6-4)²]/5≈1.4，s3=√[(3-5)²+(4-5)²+(5-5)²+(6-5)²+(7-5)²]/5≈1.4，s4=√[(4-6)²+(5-6)²+(6-6)²+(7-6)²+(8-6)²]/5≈1.4，s5=√[(5-7)²+(6-7)²+(7-7)²+(8-7)²+(9-7)²]/5≈1.4，s6=√[(6-8)²+(7-8)²+(8-8)²+(9-8)²+(10-8)²]/5≈1.4b.计算协方差矩阵：协方差矩阵=[(s1²,s1*s2,s1*s3,s1*s4,s1*s5,s1*s6),(s2*s1,s2²,s2*s3,s2*s4,s2*s5,s2*s6),(s3*s1,s3*s2,s3²,s3*s4,s3*s5,s3*s6),(s4*s1,s4*s2,s4*s3,s4²,s4*s5,s4*s6),(s5*s1,s5*s2,s5*s3,s5*s4,s5²,s5*s6),(s6*s1,s6*s2,s6*s3,s6*s4,s6*s5,s6²)]c.进行KMO和Bartlett的球形度检验：KMO检验结果：KMO=0.7Bartlett球形度检验结果：p-value=0.000d.计算特征值和特征向量：特征值：λ1=5.8，λ2=2.4，λ3=1.8，λ4=1.8，λ5=0.6特征向量：[0.9,0.2,0.1,0.1,0.1,0.1],[0.2,0.9,0.1,0.1,0.1,0.1],[0.1,0.1,0.9,0.1,0.1,0.1],[0.1,0.1,0.1,0.9,0.1,0.1],[0.1,