2025年春湘教版七年级下册数学教学课件 1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理

1.2乘法公式第1章整式的乘法1.2.3运用乘法公式进行计算和推理学习目标1.理解并掌握乘法公式.（重点）2.会灵活选用合适的乘法公式解决问题.（难点）我们已经学了哪些乘法公式？（1）平方差公式：(a+b)2=(a+b)(a-b)=（2）完全平方公式：a²-2ab+b²a²+2ab+b²(a-

b)²=a²-

b²注意：公式中的a与b既可以是数，也可以是单项

式或多项式.根据式子特征，灵活运用乘法公式，往往给我们的解题带来方便！怎样计算下列各题？（3）(x

+

y

+

4)(x

+

y

-

4).（1）(x+1)(x2+1)(x-

1)；（2）(a

+

3)2

(a

-

3)2；运用乘法公式进行计算讨论：选择什么方法呢？1平方差公式=x4-

1.（1）(x+1)(x2+1)(x-1)；交换律（2）(a

+

3)2

(a

-

3)2.=a4-18a2

+81.逆用积的乘方平方差公式完全平方公式解：原式

=

(x

+

1)(x

-

1)(x2

+

1)=(x2-1)(x2+1)解：原式

=[(a

+

3)(a

-

3)]2=(a2-9)2（3）(x

+

y

+

4)(x

+

y

-

4).=(x+y)2-

16=x2+2xy+y2-

16.平方差公式完全平方公式注意：把(x+y)看作一个整体，那么(x+y)就相当于平方差公式中的

a，4就相当于平方差公式中的

b.解：原式

=[(x+y)+4][(x+y)-

4]例1用乘法公式计算下列各题=x4-81.=16x4-72x2

+81.运用什么运算律？积的乘方的逆用(2)(2x+3)2(2x-

3)2总结：要根据具体情况灵活运用运算律、乘法公式、幂的运算法则（正用与逆用）.交换律典例精析例2怎样才能用完全平方公式呢？运用乘法公式计算：（1）(a+b+c)2；（2）(a+b-

c)2.根据计算结果，你能发现什么规律？(a+b-

c)2=[(a+b)

-

c]2=(a+b)2

-2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2

=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc.=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.解：(a+b+c)2

例3运用乘法公式计算：(a–

b+

c)(a+

b–

c).方法总结：1.选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.2.

式子变形添括号时注意符号的变化.

解：原式=[a–(b

–c)][a

+(b

–c)]=a2

–(b

–c)2=a2–(b2–2bc

+c2)=a2–b2

+2bc

–c2.计算：(1)(a－b＋c)2；(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．针对训练＝1－4x2＋4xy－y2.解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc.(2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)]＝12－(－2x＋y)2例4运用乘法公式计算:(x+y)3

解：(x+

y)

=

(x

+

y)(

x

+

y)²=

(x

+

y)(x²

+

2xy

+

y2)=

x³+2x²y+

xy2+

yx²

+

2xy²

+

y3=

x³

+

3x²y

+

3xy²+

y³.思考先填空：(1)

152

=

100×1×___

＋

25；(2)252

=

100×2×

＋

25；(3)352

=

100×

×

＋

.由此猜测：十位数字是

a、个位数字是

5

的两位数可以表示为

，它的平方可表示为100×___×

＋

.233425aa＋12510a

+

5思考十位数字是

a、个位数字是

5

的两位数是10a

+

5.由完全平方公式

1

得

(10a

+

5)²

=

(10a)²+

2·10a·5

+

5²=100a²

+

100a

+

25.又100a(a

+

1)

+

25

=

100a²

+

100a

+

25，于是(10a

+

5)²

=

100a(a

+

1)

+

25.因此，十位数字是

a、个位数字是

5

的两位数的平方，等于其十位数字

a

与

a

+

1

的积的

100

倍，再加上

25.例如，85²

=

100×8×9

+

25

=

7225.例5一个正方形花圃的边长增加到原来2倍还多1m，它的面积就增加到原来的4倍还多21m2

，求这个正方形花圃原来的边长.解：设正方形花圃原来的边长为xm.由数量关系，得(2x+1)2=4x2+21，化简，得4x2+4x+1=4x2+21，即4x=20，解得x=5.答:这个正方形花圃原来的边长为5m.如何运用乘法公式进行计算：3.

灵活运用公式进行求值计算.2.

有时会结合其它运算法则；1.

先观察式子的特点，选取适当的乘法公式；

（1）(x-

2)(x+2)(x2+4)

（2）(x-1)2

-(x+1)2（3）(x+1)2(x-1)2（4）(a+2b-1)(a+2b+1)（5）(a-

b-

c)2

1.运用乘法公式计算：

=

x4-16=-4x=x4-2x2+1=

a2+4ab+4b2-1=

a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc2.一个正方形的边长增加了

2

cm，它的面积就增加了

16

cm2，求这个正方形原来的边长.答：这个正方形原来的边长为3cm.解：设正方形原来的边长为

xcm.列方程，得(x+2)2=x2+16，解得

x=3.x2

+

4x

+

4

=x2

+

16，4x

=

12，3.先化简，再求值：2b2

+