四川省峨眉第二中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

峨眉二中高级高一下期3月考数学试卷本试卷满分分，考试时间分钟.注意事项：答题前，务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡规定的位置上，条码要粘贴在条码框内.答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，必须使用毫米黑色笔迹的签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.考试结束后，只将答题卡交回.一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共分只有一项是符合题目要求的）1.已知非零向量与共线，下列说法正确的是（）A.与共线B.与不共线C.若，则D.若，则是一个单位向量【答案】D【解析】【分析】根据向量共线，向量相等及单位向量的定义分别判断各选项.，，，四点在一条直线上时，与与AB选项错误；若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，C选项错误；根据单位向量定义可知若，则是一个单位向量，D选项正确；故选：D.2.已知角的终边经过点，则（）A.B.C.D.【答案】D第1页/共14页【解析】【分析】由已知结合三角函数的定义即可求解．【详解】因为角的终边经过点，则.故选：D.3.已知单位向量满足，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用单位向量的定义､数量积运算性质即可得出.【详解】因为，所以．故选：C4.已知，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求得答案.【详解】由，得，，所以在上的投影向量为.故选：A5.已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（）A.B.C.D.【答案】A第2页/共14页【解析】【分析】代入进行线性运算即可.【详解】，则在基下的坐标为.故选：A.6.已知，则（）A.B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】由三角函数的诱导公式和同角的三角函数化简可得.【详解】.故选：C7.函数在一个周期内的图象可以是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第3页/共14页【分析】函数的图象可由向左平移个单位得到，结合周期可得结论.【详解】因为，所以函数图象可由向左平移个单位得到，又最小正周期为，所以只有C符合.故选：C.8.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（）A.2B.8C.9D.18【答案】C【解析】【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值.【详解】由题意，，又共线，则，且，所以，当且仅当时取等号，即的最小值为9.故选：C二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）第4页/共14页9.下列各组向量中，不可以作为基底的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】平面内两个不共线的非零向量构成一组基底，判断每个选项的向量是否共线即可得到答案.【详解】A选项：零向量和任意向量都共线，不能作为一组基底；B选项：，两向量不共线，可以作为一组基底；C选项：，两向量共线，不能作为一组基底；D选项：，两向量共线，不能作为一组基底.故选：ACD.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.的最小正周期为B.当时，的值域为C.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称第5页/共14页D.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象【答案】AC【解析】【分析】利用周期，带点求出解析式，再利用变换解题即可.【详解】A.，故A正确；B.，，由图知，则，即，因，故，则，当时，，故，故B错误；C.新函数，因，故C正确；D.新函数，故D错误.故选：AC.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的图象关于直线对称B.若在上恰有三个零点，则的取值范围是C.当时，在上单调递增D.若在上最小值为，则【答案】ACD【解析】第6页/共14页【分析】根据函数对称性的结论判断A；求出函数其中的2个零点，可知在上只有一aBC数在给定区间上的最值问题求解，即可判断D.【详解】由题意知，对于A，，即的图象关于直线对称，A正确；对于B，由，得或，由于在上有2解，即，，结合在上恰有三个零点，可知需在上只有一解，由于在上单调递增，在上单调递减，且，故要使在上只有一解，需或，B错误；对于C，当时，，令，，，则在上单调递减，而图象对称轴为，该函数在上单调递减，故在上单调递增，C正确；对于D，令，，，则化为，第7页/共14页该函数图象对称轴，当，即时，；当，即时，；当，即时，，综合上述在上的最小值为，则，D正确，故选：ACD【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于D的判断，解答时将函数最值问题转化为二次函数的最值问题，分类讨论进行求解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知，则__________.【答案】【解析】【分析】将已知等式平方后结合同角的三角函数关系可得.【详解】，即.故答案为：.13.已知，，若，则实数的值为______．【答案】1【解析】【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为，，且，所以，解得.故答案为：第8页/共14页14.若平面有不共线的五点A，B，C，D，O，记，，，，满足.，，则的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】利用平面向量的几何意义，结合图像即可得到答案.【详解】由,可得，且，即.作，如图所示，则，，均正三角形，且，由，得，化简可得，，所以在直线上.由图像可知，，所以，可得点在以点为圆心，以为半径的圆E上，所以.如图过E作MN垂线垂足为C，交圆E于D点，则显然，此时的最小值为.四､解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）第9页/共14页【解析】1）将两边平方，求出，即可得解；（2）首先求出，再由同角三角函数基本关系计算可得.【小问1详解】因为，所以，即，，所以，即.【小问2详解】因为，所以，又，所以，则，所以.16.设，是两个不共线的向量，已知，，．（1）求证：，，三点共线；（2）若，且，求实数的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）先根据向量的线性运算，求得，再判断与的关系，即可证明.（2）根据向量平行的结论，求参数的值.【小问1详解】由已知，得．第10页/共14页因为，所以.又与有公共点，所以，，三点共线．【小问2详解】由（1，若，且，可设（所以，即．又，是两个不共线的向量，所以，解得．17.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，若的最大值为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】1的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（2可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可得出函数可求出实数的值.【小问1详解】.所以，函数的最小正周期为.【小问2详解】第11页/共14页当时，，故当时，函数的最大值为，解得.18.如图，点、分别是角、的终边与单位圆的交点，.（1）若，，求的值；（2）证明角、在上述范围下的两角差的余弦公式，即.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】1）根据条件，利用平方关系得到差角公式，即可求解；（2）根据条件得，再利用向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】因为，则，又，则，又，所以.【小问2详解】因为，、在单位圆上，则，，，所以，，第12页/共14页则，即.19.在锐角中，，，点为的外心.（1）求证：；（2）求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）证出，设出与的夹角为，计算得到，由可得，即可证得结论；（2的外接圆半径为的取值范围，结合余弦函数的性质可求得的取值范围.【小问1详解】由，则，则，即，设，所以，即，又，而，，所以，令与夹角为，则，即，第13页/共14页即，所以，得证.【小问2详解】因则,