17.2 第1课时 勾股定理的逆定理 课件-2024-2025学年人教版数学

17.2勾股定理的逆定理第十七章勾股定理人教版八年级下册

据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）

把一根长绳打上等距离的13

个结，然后以3

个结间距，4

个结间距、5

个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角.新课学习请同学们测量课本31页中三角形的角度，并计算三边长的关系.

如何证明这样的结论呢？命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．

求证：△ABC是直角三角形．A

B

C

abc△ABC≌△A′B′C′

？由命题的已知条件难以直接证明△ABC是直角三角形A

B

C

abc构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′

已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．

求证：△ABC是直角三角形．∠C=∠C′=90°

证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠C=∠C′=90°

，

即△ABC是直角三角形.则ACaBbc勾股定理的逆定理:

如果三角形的三边长a

，b

，c满足

a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理.形数

例1下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1)a=15，

b=8，c=17;解：(1)∵152+82=289，172=289，

∴152+82=172，

根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=15.例题讲解

像15，17，8这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等.勾股数拓展性质：

一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.

例1下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1)a=15，

b=8，c=17;(2)a=13，b=14，c=15；

(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.例题讲解像15，17，8这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．

例1下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1)a=15，

b=8，c=17;(2)a=13，b=14，c=15；

根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方，且最长边所对的角是直角.归纳例题讲解像15，17，8这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．

(3)∵42+52=41，

=41，∴42+52=

，

根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形，且∠A=90°【变式题1】若△ABC的三边a,b,c满足

a:b:c=3:4:5，判断△ABC的形状.解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.【变式题2】若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，试说明△ABC是直角三角形.解：∵a+b=4,ab=1,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又∵c2=14,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.命题2

如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.问题3

该命题题设和结论分别是什么？题设如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2结论这个三角形是直角三角形.新课学习命题1

如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.两个命题的题设和结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个就叫做它的逆命题.

问题4

命题1和命题2的题设和结论有着什么的关系？新课学习命题2如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.命题1

如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么

a2+b2=c2.

一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；

(3)全等三角形的对应角相等；

(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.内错角相等，两条直线平行.如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.

对应角相等的三角形全等.

在角平分线上的点到角的两边距离相等.

成立不成立不成立成立跟踪训练1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，7C2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（）A．4B．3C．2.5D．2.4D3.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.等腰三角形或直角三角形当堂练习4.下列各组数是勾股数的是(

)

A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.5.在△ABC中，∠A,

∠B,∠C的对边分别a,b,c.①若∠C-∠B=∠A,则△ABC是直角三角形；②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.以上命题中的假命题个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个A

ACBabc知识回顾1.两直线平行，同位角相等.2.同位角相等，两直线平行.说出下列命题的题设和结论.题设结论题设请说出你的发现！结论课堂导入

仔细观察命题1、命题2的题设和结论，你能发现什么？知识点：互逆命题和互逆定理新知探究互逆命题：如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做它的逆命题.命题1和命题2的题设和结论正好相反.互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另外一个定理的逆定理.（1）命题有真有假，而定理都是真命题；（2）每个命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理；（3）原命题的真假与其逆命题的真假没有关系.原命题逆命题定理逆定理推出推出证明（1）有些命题不容易确定题设和结论，可以先写成“如果……那么……”的形式，再确定题设和结论.（2）判断一个命题是假命题，只需要能够举出一个反例即可.写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？（1）如果两个角相等，那么这两个角的补角相等.（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.如果两个角的补角相等，那么这两个角相等.

如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.跟踪训练新知探究成立.不成立，如等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角.（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（4）若a>0，b>0，则a+b>0.与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上若a+b>0，则a>0，b>0.成立.不成立，如-1+2>0，-1<0，2>0.说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？（1）两条直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；内错角相等，两条直线平行.逆命题成立.如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.逆命题不成立.例如：1和-1的绝对值相等.随堂练习对应角相等的两个三角形全等.逆命题不成立.例如：两个大小不一样的等腰直角三角形.

角平分线上的点到角的两边的距离相等.逆命题成立.（3）全等三角形的对应角相等；（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.[中考·无锡]请写出命题“如果a>b，那么b－a<0”的逆命题：_________________________.考法逆命题与逆定理1例11如果b－a<0，那么a>b试题评析：本题考查了逆命题，解题的关键是了解交换一个命题的题设和结论即可得到这个命题的逆命题．解：命题“如果a>b，那么b－a<0”的逆命题是“如果b－a<0，那么a>b”.勾股定理的逆定理互逆定理如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题.一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.课堂小结互逆命题1.在直角三角形中，有