2024年勾股定理知识点

勾股定理（知识點）【知识要點】1.勾股定理的概念：假如直角三角形的两直角边長分别為a，b，斜边長為c，那么a2＋b2＝c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。常用关系式由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC2.勾股定理的逆定理：假如三角形的三边長a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形，其中為斜边。3.勾股数：①满足a2＋b2＝c2的三個正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、為勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）②记住常見的勾股数可以提高解題速度，如；；；；8,15,17等③用含字母的代数式表达组勾股数：（為正整数）；（為正整数）（，為正整数）4.判断直角三角形：（1）有一种角為90°的三角形是直角三角形。（2）有两個角互余的三角形是直角三角形。（3）假如三角形一边上的中线等于這边的二分之一，那么這個三角形是直角三角形。（4）假如三角形的三边長a、b、c满足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。（經典直角三角形：勾三、股四、弦五）用勾股定理逆定理判断三角形与否為直角三角形的一般环节是：（1）确定最大边（不妨设為c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C為直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形為钝角三角形（其中c為最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形為锐角三角形（其中c為最大边）5.直角三角形的性质（1）直角三角形的两個锐角互余。可表达如下：∠C=90°∠A+∠B=90°（2）在直角三角形中，30°角所對的直角边等于斜边的二分之一。∠A=30°可表达如下：BC=AB∠C=90°（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的二分之一。∠ACB=90°可表达如下：CD=AB=BD=ADD為AB的中點6.数轴上表达無理数第一步：分析所有表达二次根式中被開方数可以写成哪两個有理数的和第二步：在数轴上画出其中一种有理数，以该有理数為垂足做垂线，在垂线上標出第二個有理数的長度。连接端點和原點，以原點為圆心，端點為半径画圆，于数轴交點即為所有無理数。勾股定理专題练习一、基本应用考點1：勾股定理1.下列是勾股数的一组是（D）A.4,5,6B.5,7,12C.12,13,15D.21,28,352.△ABC中，∠A：∠B：∠C=，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的對边，则下列各等式中成立的是（）A.a2+b2=c2B.a2=2b2C.c2=2a2D.b2=2a23.矩形ABCD,AB=5cm,AC=13cm,则這個矩形的面积為60cm2.4.如图，在△ABC中，∠BAC=90o，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足為D，则△ABC斜边上的高AD=12．5.已知等腰三角形底边長為10cm，腰長為13cm，则腰上的高為(C)A.12cmB.C.D.6.一种直角三角形的三边為三個持续偶数，则它的三边長分别為6，8，10．7.（易錯題）已知直角三角形的两边x，y的長满足│x－4│+=0，则第三边的長為5或7.8.若直角三角形的三边長分别為2，4，x，则x的也許值有（）A.1個B.2個C.3個D.4個9.已知直角三角形两边長分别為3、4，则第三边長為．10.已知直角三角形的两直角边之比為3：4，斜边為10，则直角三角形的两直角边的長分别為．11.如图，分别以Rt△ABC三边為边向外作三個正方形，其面积分别用S、S、S表达，轻易得出S、S、S之间有的关系式S+S=S．12.（易錯題）如图，已知在Rt△ABC中∠ACB=90°，AB=4，分别以AC，BC為直径作半圆，面积分别记為S1，S2，则S1+S2的值等于2π．13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边長為7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和為49cm2。第4題第11題第12題第13題14.在Rt△ABC，∠C=90°（1）已知c=17，b=8,求a。（a=15）（2）已知a∶b=1∶2，c=5,求a。（a=5）（3）已知b=15，∠A=30°，求a，c。（a=53，c=1015.若直角三角形的三边長分别是n+1，n+2，n+3，求n。（n=2）16.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边長是20，求此直角三角形的面积。（S=96）考點2.勾股定理逆定理1.如下列各组线段為边長，能构成三角形的是_________，能构成直角三角形的是_________．（填序号）①3，4，5②1，3，4③4，4，6④6，8，10⑤5，7，2⑥13，5，12⑦7，25，242.在下列以线段a、b、c的長為三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（D）A.a=9，b=41，c=40B.a=b=5，c=C.a∶b∶c=3∶4∶5D.a=11，b=12，c=153.若一种三角形三边長的平方分别為：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（D）A．42B．52C．7D．52或74.下列說法不對的的是（B）A.三個角的度数之比為的三角形是直角三角形B.三個角的度数之比為的三角形是直角三角形C.三边長度之比為的三角形是直角三角形D.三边長度之比為的三角形是直角三角形5.若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（C）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形6.有下列說法：①若两直角边的平方和等于斜边的平方，则此三角形是直角三角形；②在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的對边，若a2+b2＞c2，则△ABC是钝角三角形；③在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的對边，若b2+c2=a2，则∠C=900；④在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的對边，∠C≠900，则a2+b2≠c2。其中對的的是（D）A.①②③B.②③④C.②④D.④7.下列說法中對的的有（）①假如∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形；②假如∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；③假如三角形三边之比為6：8：10，则ABC是直角三角形；④假如三边長分别是n2-1，2n，n2+1（n＞1），则△ABC是直角三角形。A.1個B.2個C.3個D.4個8.若+|a-12|+(b-5)2=0,则以a、b、c為三边的三角形是直角三角形.9.假如△ABC的三边a,b,c满足关系式+（b-18）2+=0则△ABC是三角形。10.已知:a、b、c為△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,①∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).②∴c2=a2+b2.③∴△ABC是直角三角形.問:(1)在上述解題過程中,從哪一步開始出現錯误?請写出该步的代号:③(2)錯误的原由于除数也許為零;11.已知△ABC的三边為a、b、c，且，求三角形三個内角度数的比（=1:1：:2）12.△ABC的三边a、b、c满足．试判断△ABC的形状．（直角三角形）13.已知△ABC的三边為a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试鉴定△ABC的形状。（直角三角形）14.若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试鉴定△ABC的形状．（直角三角形）15.一根24米绳子，折成三边為三個持续偶数的三角形，则三边長分别為多少米？此三角形的形状為？（6；8；10；直角三角形）16.若△ABC的三边長為a,b,c，根据下列条件判断△ABC的形状.（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c(2)a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b考點3.数轴表达無理数（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）1.用圆规与尺子在数轴上作出表达的點，并补充完整作图措施2.在数轴上画出表达的點？3.在数轴上作出表达3-的點考點4:勾股定理几何应用1.如图在矩形ABCD中,M是CD中點，AB=8，AD=3．（1）求AM的長；（2）△MAB是直角三角形吗？為何？（AM=5；不是直角三角形）2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上高，若AD=8，BD=2，求CD．（CD=4）3.一种長方体木箱沿斜面下滑，當木箱滑至如图位置時，AB=3m，已知木箱高BE=m，斜面坡角為30°，求木箱端點E距地面AC的高度EF。（EF=3）4.有一块土地形状如图所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,請计算這块地的面积.（S=234）5.四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。（S=36）6.如图，在四边形ABCD中,AB=12cm,BC=3cm,CD=4cm,∠C=90°(1)求BD的長;（BD=5）(2)當AD為多少時,∠ABD=90°?（AD=13）7.农民牛伯伯承包了一块四边形水稻田ABCD，他量得边長AB=90m，BC=120m，CD=130m，DA=140m，且边AB、BC恰好位于两条互相垂直的公路的拐角处，請你幫牛伯伯计算8.如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這块地的面积．（二）、实际应用：1.梯子滑動問題：1.一架長2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），假如梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑動0.8米2.如图，一种長為10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离為8米，假如梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑動距离51-1米3.小明想懂得學校旗杆的高度，他发現旗杆上的绳子垂到地面上還多1m，當他把绳子的下端拉開5米後，发現绳子下端刚好触到地面，试問旗杆的高度為12米4.如图，一根12米高的電线杆两侧各用15米的铁丝固定，两個固定點之间的距离是18。第1題第2題第4題5.如图，一种3米長的梯子AB，斜著靠在竖直的墙AO上，這時AO的距离為2.5①求梯子的底端B距墙角O多少米？（1.66）②假如梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C算一算，底端滑動的距离近似值（成果保留两位小数）．（0.58）6.如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离為2m，梯子的顶端B到地面的距离為7m．現将梯子的底端A向外移動到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离為3m，同步梯子的顶端B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?（不等于1，不不小于1）2.爬行距离最短問題：1.如图，正方体盒子的棱長為2，AB中點為M，一只蚂蚁從點M沿正方体的表面爬到點，蚂蚁爬行的最短距离是（B）A.B.C.D.2.如图，一块砖宽AN=5㎝，長ND=10㎝，CD上的點F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到F处吃食，要爬行的最短路线是17cm3.如图，是一种三级台阶，它的每一级的長、宽、高分别為20dm、3dm、2dm，A和B是這個台阶两相對的端點，A點有一只昆虫想到B點去吃可口的食物，则昆虫沿著台阶爬到B點的最短旅程是25分米？4.一只蚂蚁從長、宽都是3，高是8的長方体紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所爬行的最短路线的長是10.5.在一种長為2米，宽為1米的矩形草地上，如图堆放著一根長方体的木块，它的棱長和場地宽AD平行且>AD，木块的正视图是边長為0.2米的正方形，求一只蚂蚁從點A处，抵达C处需要走的最短路2.6．第1題第2題第3題第4題第5題3.方向問題：1.一座垂直于两岸的桥長15米,一艘小船自桥北頭出发,向正南方向驶去,因水流原因,抵达南岸後,发現已偏离桥南頭9米,则小船实际行驶了___3___米.2.一职工下班後以50米/分的速度骑自行車沿著東西馬路向東走了5.6分,又沿南北馬路向南走了19.2分到家,则他的家离企业距离為（D）A.100mB.500mC.1240mD.1000m3.有一次，小明坐著轮船由A點出发沿正東方向AN航行，在A點望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，當他到B點時，测得∠MBN＝45°，AB＝100米，你能算出AM的長吗？（x=50+503）4.“遠航”号、“海天”号轮船同步离開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”号每小時航行16海裏，“海天”号每小時航行12海裏，它們离開港口一种半小時後相距30海裏．假如懂得“遠航”号沿東北方向航行，能懂得“海天”号沿哪個方向航行吗？（西北方向）5.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8km，接著，它又掉頭向正東方向航行15仟米．⑴此時轮船离開出发點多少km?（17km）⑵若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此過程中轮船共耗油多少升?（9.2km）6.甲、乙两船上午11時同步從港口A出发,甲船以每小時20海裏的速度向東北方向航行,乙船以每小時15海裏的速度向東南方向航行,求下午1時两船之间的距离.（50海裏）4.折叠問題：1.如图，在長方形ABCD中，将△ABC沿AC對折至△AEC位置，CE与AD交于點F。（1）试阐明：AF=FC；（2）假如AB=3，BC=4，求AF的長2.如图，正方形ABCD中，E是BC边上的中點，F是AB上一點，且，那么△DEF是直角三角形吗？為何？3.如图，矩形紙片ABCD的長AD