专题提升五　带电粒子(体)在电场与重力场中的运动及带电粒子在交变电场中的运动

专题提升五带电粒子（体）在电场与重力场中的运动及带电粒子在交变电场中的运动学习目标1.能进一步掌握平行板电容器的综合问题。2.能解决带电粒子（体）在复合场中的类平抛问题。3.能解决带电粒子（体）在复合场中的圆周运动问题。4.学会分析带电粒子在交变电场中的运动。提升1带电粒子（体）在电场和重力场中的直线运动1.做直线运动的条件（1）合外力为0，物体做匀速直线运动。（2）合外力不为0，但合外力的方向与运动方向在同一直线上，物体做变速直线运动。2.带电粒子（体）在电场和重力场中直线运动的研究方法（1）动力学方法：若题目涉及运动时间，则优先考虑牛顿运动定律、运动学公式。（2）功和能量方法：若题中已知量和所求量涉及功和能量，则优先考虑动能定理、能量守恒定律。例1（2024·广东实验中学月考）如图所示，充电后的平行板电容器水平放置，电容为C，极板间距离为d，上极板正中有一小孔。质量为m、电量为＋q的小球从小孔正上方高h处由静止开始下落，穿过小孔到达下极板处速度恰为零。空气阻力忽略不计，极板间电场可视为匀强电场，重力加速度为g，求：（1）小球到达小孔处的速度大小；（2）小球从开始下落到运动到下极板的时间；（3）电容器所带电量Q。训练1（多选）如图所示，平行板电容器的两个极板与水平地面成一角度，两极板与一恒压直流电源相连。若一带电粒子恰能沿图中所示水平直线通过电容器，则在此过程中，该粒子（）A.所受重力与静电力平衡B.电势能逐渐增加C.动能逐渐增加 D.做匀变速直线运动提升2带电粒子（体）在电场和重力场中的曲线运动角度1带电粒子（体）在电场和重力场中的类平抛运动例2如图所示，真空中水平放置两块间距为d的无限大平行极板，两极板间的电场是匀强电场，质量为m，带电量为＋q的小油滴，从两极板中央以水平速度v0射入后做匀速直线运动，重力加速度为g，求：（1）两极板分别带何种电荷？两极板间的电势差；（2）若保持两平行极板间距d不变，仅将两极板间的电势差增大一倍，则小油滴将打到哪个极板上？其落点距入射点的水平位移。训练2如图所示，平行金属板A、B水平正对放置，分别带等量异号的电荷。一带电微粒沿水平方向射入板间，在重力和静电力共同作用下运动，其运动轨迹如图中虚线所示，那么（）A.若微粒带正电荷，则A板一定带正电荷B.微粒从M点运动到N点，其电势能一定增加C.微粒从M点运动到N点，其动能一定增加D.微粒从M点运动到N点，其机械能一定增加带电粒子（体）在电场和重力场中的类平抛运动（1）运动分解的方法：将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的匀加速直线运动，在这两个方向上分别列运动学方程或牛顿第二定律。（2）利用功能关系和动能定理分析①功能关系：静电力做功等于电势能的变化量，W电＝Ep1－Ep2。②动能定理：合力做功等于动能的变化量，W＝Ek2－Ek1。角度2带电粒子（体）在电场和重力场中的一般曲线运动例3（2024·广州市高二期中）如图，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面（纸面）内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称。忽略空气阻力。由此可知（）A.Q点的电势比P点低B.油滴在Q点的动能比它在P点的大C.油滴在Q点的电势能比它在P点的大D.油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小听课笔记例4（多选）（2024·翼城中学高二月考）如图所示，在空间中水平面MN的下方存在竖直向下的匀强电场，质量为m的带电小球由MN上方的A点以一定初速度水平抛出，从B点进入电场，到达C点时速度方向恰好水平，A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2BC，由此可知（）A.小球带负电B.静电力为3mgC.小球从A到B与从B到C的运动时间之比为3∶1D.小球从A到B与从B到C的速度变化量大小不相同听课笔记处理带电粒子在电场和重力场中一般曲线运动的方法1.明确研究对象并对其进行受力分析。2.利用运动的合成与分解把曲线运动转化为直线运动，然后利用牛顿运动定律、运动学公式进行处理。3.涉及到功和能量的问题时常用功能关系等处理。提升3带电粒子（体）在电场和重力场中的圆周运动解决电场和重力场中的圆周运动问题的方法1.首先分析带电体的受力情况进而确定向心力的来源。2.用“等效法”的思想找出带电体在电场和重力场中的等效“最高点”和“最低点”。（1）等效重力法将重力与静电力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“等效重力”，F合的方向为“等效重力”的方向，即等效重力场中的“竖直向下”方向。a＝eq\f(F合,m)视为等效重力场中的“等效重力加速度”。（2）几何最高点（最低点）与物理最高点（最低点）①几何最高点（最低点）：是指图形中所画圆的最上（下）端，是符合人视觉习惯的最高点（最低点）。②物理最高点（最低点）：是指“等效重力F合”的反向延长线过圆心且与圆轨道的交点，即物体在圆周运动过程中速度最小（大）的点。例5（2024·广东广雅中学期中）如图所示，竖直平面内有一水平向右的匀强电场，电场强度大小为E＝1×102V/m，其中有一个半径为R＝2m的竖直光滑圆环，现有一质量为m＝0.08kg、电量为q＝6×10－3C的带正电小球（可视为质点）在最低点A点，给小球一个初动能，让其恰能在圆环内做完整的圆周运动，不考虑小球运动过程中电量的变化（已知cos37°＝0.8，g取10m/s2）。求：（1）小球所受电场力与重力的合力F；（2）小球在A点的初动能Ek。在等效重力场中做圆周运动的小球，小球能做完整圆周运动的条件是能过物理最高点。训练3（2024·河源市高二月考）一长为l的绝缘细线，上端固定，下端拴一质量为m、电量为q的带正电的小球，处于如图所示水平向右的匀强电场中。先将小球拉至A点，使细线水平。然后释放小球，当细线与水平方向夹角为120°时，小球能到达B点且速度恰好为零，重力加速度为g，求：（1）匀强电场AB两点间的电势差UAB的大小；（2）小球由A点到B点过程中速度最大时细线与竖直方向的夹角θ；（3）小球速度最大时细线拉力的大小。提升4带电粒子在交变电场中的运动1.带电粒子在交变电场中的直线运动（1）带电粒子进入电场时初速度为零，或初速度方向与电场方向平行，带电粒子在交变电场力的作用下，做加速、减速交替的直线运动。（2）通常用动力学知识分析求解。重点分析各段时间内的加速度、运动性质、每段时间与交变电场的周期T间的关系等。（3）常用图像法来处理此类问题：通过画出粒子的v－t图像，可将粒子复杂的运动过程形象、直观地反映出来，便于求解。2.带电粒子在交变电场中的曲线运动带电粒子以一定的初速度垂直于电场方向进入交变电场，粒子做曲线运动。（1）若带电粒子的初速度很大，粒子通过交变电场时所用时间极短，故可认为粒子所受电场力为恒力，粒子在电场中做类平抛运动。（2）若粒子在电场中运动时间较长，在初速度方向上做匀速直线运动，在垂直初速度方向上利用vy－t图像进行分析：①vy＝0时，速度方向沿v0方向。②y方向位移可用vy－t图像的面积进行求解。例6在如图所示的平行板电容器的两板间分别加如图甲、乙所示的两种电压，开始B板的电势比A板高。在静电力作用下原来静止在两板中间的电子开始运动。若两板间距足够大，且不计重力，试分析电子在两种交变电压作用下的运动情况，并定性画出相应的v－t图像。例7（多选）如图甲所示，长为8d、间距为d的平行金属板水平放置，O点有一粒子源，O点到两极板的距离相同，能持续水平向右发射初速度为v0、电量为q（q>0）、质量为m的粒子，在两板间存在如图乙所示的交变电场，取竖直向下为正方向，不计粒子重力，下列判断正确的是（）A.粒子在电场中运动的最短时间为eq\f(\r(2)d,v0)B.粒子射出时的最大动能为eq\f(5,4)mveq\o\al(2,0)C.t＝eq\f(d,2v0)时刻射入的粒子，从O′点射出D.t＝eq\f(3d,v0)时刻射入的粒子，从O′点射出听课笔记随堂对点自测1.（带电体在电场和重力场中的直线运动）如图所示，两金属板M、N带有等量异种电荷，正对且水平放置。带正电小球a、b以一定的速度分别从A、B两点射入电场，两小球恰能分别沿直线AC、BC运动到C点，则下列说法正确的是（）A.电场中的电势φC>φBB.小球a、b在C位置一定具有相等的电势能C.仅将下极板N向左平移，则小球a、b仍能沿直线运动D.仅将下极板N向下平移，则小球a、b仍能沿直线运动2.（带电体在电场和重力场中的类平抛运动）如图所示，有三个质量相等，分别带正电、负电和不带电的小球，从平行板电场左端的中点P以相同的初速度沿水平方向垂直于电场方向进入电场，它们分别落在A、B、C三点，可以判断（）A.小球A带正电，B不带电，C带负电B.三个小球在电场中运动的时间相等C.三个小球到达极板时的动能EkA>EkB>EkCD.三个小球在电场中运动的加速度aA>aB>aC3.（带电体在电场和重力场中的圆周运动）如图所示，用绝缘细线拴住一带正电的小球，在方向竖直向上的匀强电场中的竖直平面内做圆周运动，则正确的说法是（）A.当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小B.当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大C.小球可能做匀速圆周运动D.小球不可能做匀速圆周运动专题提升五带电粒子(体)在电场与重力场中的运动及带电粒子在交变电场中的运动提升1例1(1)eq\r(2gh)(2)eq\f(2（h＋d）,\r(2gh))(3)eq\f(mg（h＋d）C,q)解析(1)小球自由下落过程中由运动学公式可得v2＝2gh解得v＝eq\r(2gh)。(2)加速下落过程有eq\f(v,2)t1＝h减速过程有eq\f(v,2)t2＝d则t＝t1＋t2＝eq\f(2（h＋d）,\r(2gh))。(3)对从释放到到达下极板处过程由动能定理有mg(h＋d)－qU＝0电容器所带电量Q＝CU＝eq\f(mg（h＋d）C,q)。训练1BD[对带电粒子受力分析如图所示，F合≠0，A错误；由图可知静电力与重力的合力方向与v0方向相反，F合对粒子做负功，其中重力mg不做功，静电力qE做负功，故粒子动能减少，电势能增加，B正确，C错误；F合恒定且F合与v0方向相反，粒子做匀减速直线运动，D正确。]提升2例2(1)上极板带负电，下极板带正电eq\f(mgd,q)(2)上极板v0eq\r(\f(d,g))解析(1)带正电油滴做匀速直线运动，说明所受电场力方向向上，所以上极板带负电，下极板带正电根据平衡条件有mg＝qE，又有E＝eq\f(U,d)联立解得电势差U＝eq\f(mgd,q)。(2)仅将电势差增大一倍，即有E′＝eq\f(2U,d)场强增大一倍，电场力增大一倍，小油滴所受合力向上，所以小油滴将打到上极板上竖直方向上，做匀加速直线运动，有ma＝qE′－mgy＝eq\f(d,2)＝eq\f(1,2)at2水平方向上做匀速运动，有x＝v0t联立解得x＝v0eq\r(\f(d,g))。训练2C[由于不知道重力和静电力的大小关系，所以不能确定静电力方向，不能由微粒电性确定极板所带电荷的电性，也不能确定静电力对微粒做功的正、负，选项A、B、D错误；根据微粒偏转方向可知微粒所受合外力一定竖直向下，则合外力对微粒做正功，由动能定理知微粒的动能一定增加，选项C正确。]例3B[由于油滴所受重力方向向下，而到达P点时其竖直方向的速度减为零，故其所受电场力的方向竖直向上，又油滴带负电，在电场中所受电场力的方向与该点场强方向相反，故该匀强电场的方向竖直向下，由于沿电场线方向电势降低，故P点电势比Q点低，A错误；由于油滴先向下减速，后向上加速，故电场力大于重力，故若油滴从P运动到Q，合力对其做正功，动能增大，电势能减小，若油滴从Q运动到P，合力对其做负功，动能减小，电势能增大，故油滴在Q点的动能比它在P点的大，在Q点的电势能比它在P点的小，B正确，C错误；由于油滴所在电场为匀强电场，故所受的电场力为恒力，所受合力为恒力，故加速度处处相等，D错误。]例4AB[由题意知，在BC段，小球在竖直方向做减速直线运动，故小球所受静电力方向向上，电场方向向下，故小球带负电，故A正确；由题意知，小球在水平方向不受力，故水平方向做匀速直线运动，又AB＝2BC，根据分运动和合运动的关系，可知小球从A到B与从B到C的运动时间之比为2∶1，设在B点时小球在竖直方向的分速度为v，则在AB段，竖直方向有v＝gtAB，在BC段，竖直方向有v＝eq\f(1,2)atAB，又qE－mg＝ma，得qE＝3mg，小球从A到B与从B到C的水平分速度不变，竖直分速度变化量大小相同，故合速度变化量大小相同，故B正确，C、D错误。]提升3例5(1)1N，方向与竖直方向夹角为37°斜向右下方(2)4.6J解析(1)因为重力与电场力均为恒力，所以二者的合力大小为F＝eq\r(（mg）2＋（qE）2)＝1N方向与竖直方向的夹角为θ，有tanθ＝eq\f(qE,mg)＝eq\f(3,4)可得合力与竖直方向夹角为θ＝37°斜向右下方。(2)小球恰能在圆环内做完整的圆周运动，则在其等效最高点，有F＝meq\f(v2,R)小球从等效最高点至A点的过程中，由动能定理得F(R＋Rcosθ)＝Ek－eq\f(1,2)mv2代入数据联立解得小球在A点的初动能Ek＝4.6J。训练3(1)－eq\f(\r(3)mgl,2q)(2)30°(3)eq\f(4\r(3),3)mg解析(1)小球由A点到B点过程，根据动能定理得qUAB＋mglcos30°＝0解得电势差UAB＝－eq\f(\r(3)mgl,2q)。(2)d＝l＋lsin30°，由E＝eq\f(U,d)得匀强电场电场强度的大小为E＝eq\f(\r(3)mg,3q)小球所受重力和电场力的合力大小为F合＝eq\r(（mg）2＋（qE）2)＝eq\f(2\r(3)mg,3)合力方向与竖直方向夹角的正切值tanθ＝eq\f(qE,mg)＝eq\f(\r(3),3)故θ＝30°小球由A点到B点过程中，在细线与竖直方向夹角θ＝30°时速度最大。(3)当小球运动到细线与竖直方向夹角θ＝30°时速度最大，设此时速度为v，根据动能定理得F合l(1－cos60°)＝eq\f(1,2)mv2根据牛顿第二定律得T－F合＝meq\f(v2,l)联立解得速度最大时细线拉力大小T＝eq\f(4\r(3),3)mg。提升4例6见解析解析t＝0时，B板电势比A板高，在静电力作用下，电子向B板(设为正向)做初速度为零的匀加速直线运动。对于题图甲所示电压，在0～eq\f(1,2)T内电子做初速度为零的正向匀加速直线运动，eq\f(1,2)T～T内电子做末速度为零的正向匀减速直线运动，然后周期性地重复前面的运动，其速度—时间图像如图(a)所示。对于题图乙所示电压，在0～eq\f(T,2)内做类似题图甲0～T的运动，eq\f(T,2)～T内电子先反向做匀加速、后匀减速、末速度为零的直线运动。然后周期性地重复前面的运动，其速度—时间图像如图(b)所示。例7AD[由题图乙可知电场强度大小E＝eq\f(mveq\o\al(2,0),2qd)，则粒子在电场中的加速度a＝eq\f(qE,m)＝eq\f(veq\o\al(2,0),2d)，粒子在电场中运动的最短时间tmin满足eq\f(d,2)＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,min)，解得tmin＝eq\f(\r(2)d,v0)，选项A正确；能从板间射出的粒子在板间运动的时间均为t＝eq\f(8d,v0)，则任意时刻射入的粒子若能射出电场，则射出电场时沿电场方向的速度均为0，可知射出电场时粒子的动能均为eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，选项B错误；t＝eq