第九章 整式（12个知识归纳+15类题型突破）（原卷版）

第九章整式（12个知识归纳+15类题型突破）1.掌握代数式的概念和分类；掌握单项式、多项式的概念与区别；2.掌握合并同类项的方法和技巧；3.掌握同底数幂的乘法和整式的乘法运算；4、掌握乘法公式并熟练运用乘法公式进行计算；5、掌握因式分解的方法；6、掌握整数的除法，尤其是同底数幂的除法计算；知识点1．代数式代数式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、和2a2这样的式子都是代数式。注意：1、代数式不能有等号和不等号，有就不是代数式，而是等式或者不等式。2、单独一个数字或者字母也是代数式。3、代数式可以包含绝对值。4、注意π并不是字母，而是一个数字。知识点2．整式一、单项式1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算。二、多项式1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。诠释：“几个”是指两个或两个以上。2.多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号。（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。3.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。三、整式1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。诠释：单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。（2）分母中含有字母的式子一定不是整式。知识点3．代数式的值代数式的值：将具体数字代替代数式中对应的字母,计算所得的结果就是这个代数式的值知识点4．合并同类项同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项，-a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和-ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同，a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。合并同类项法则同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。诠释：(1)注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。(2)字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。(3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。知识点5．去括号一、去括号法则如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。诠释：去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘。去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号。(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号。（4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形。二、添括号法则（1）添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；（2）添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。诠释：(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的。(2)去括号和添括号的关系如下：如：，知识点6．整式的加减一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。诠释：（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。(3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数。知识点7．同底数幂的乘法法则：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.特别说明：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.知识点8．幂的乘方与积的乘方一、幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.特别说明：（1）公式的推广：(，均为正整数)（2）逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.二、积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.特别说明：（1）公式的推广：(为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：三、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.知识点9．整式的乘法单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.特别说明：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.特别说明：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.知识点10．乘法公式一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如二、完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.四、补充公式；；；.知识点11．因式分解一、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.三、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.四、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.五、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.六、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.七、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组

③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项

二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式八：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.九：因式分解的解题步骤因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.特别说明：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.知识点12．整式的除法一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）特别说明：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.题型一代数式1．（2023秋·七年级课时练习）下列式子符合书写要求的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期中）如图，下列整式中不能正确表示图中阴影部分面积的是（

）

A． B．C． D．巩固训练：1．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，某长方形广场四角均设计一块半径为的四分之一圆形的花坛，正中是一个半径为的圆形喷水池，广场长为，宽为，则广场空地面积为（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）一个两位数的十位上的数字是a，个位上的数字是十位上数字的2倍，则这个两位数是．3．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）已知的相反数比的2倍多4．(1)用含的式子表示；(2)若，且，求的所有负整数值．题型二代数式的值3．（2023春·浙江杭州·七年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）若，则的值是（）A．2 B．1 C． D．34．（2023春·安徽合肥·七年级校考期中）已知，当时，y的值为2；当时，y的值为．则当时，y的值为（

）A．4 B．1 C．3 D．2巩固训练1．（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）已知，那么多项式的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考开学考试）若实数，满足，则．3．（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）已知代数式，当和时，它的值都为5，当时，它的值为1．(1)求a，b，c的值；(2)当时，求代数式的值．题型三合并同类项5．（2023春·湖南郴州·七年级校考阶段练习）若与的和是单项式，则，的值为(

)A． B．C． D．6．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是（

）A．与是同类项 B．与是同类项C．与是同类项 D．与是同类项巩固训练1．（2023春·山东泰安·六年级校考开学考试）如果单项式与的和仍然是一个单项式，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）如果与是同类项，则的值为．3．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）已知a是最大的负整数，与是同类项，且a，b，c分别对应数轴上的点A，B，C．(1)求出a，b，c的值；(2)若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点B恰好是的中点时，求运动时间t的值．题型四整式的加减7．（2023秋·七年级课时练习）减去等于（

）A． B． C． D．8．（2023秋·七年级课时练习）如果关于的代数式的值与无关，那么（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2023秋·全国·七年级专题练习）某同学在完成化简：的过程中，具体步骤如下：解：原式①②③以上解题过程中，出现错误的步骤是（

）A．① B．② C．③ D．①，②，③2．（2023秋·七年级课时练习）若式子的值与字母的取值无关，则式子的值为．3．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）小明在做一道数学题：“化简：．”他根据此题拓展提出了下列问题：(1)如果这个整式化简后是常数，求的值；(2)若，，求原式的值；(3)若，原式的值为4，求的值．题型五同底数幂的乘法9．（2023春·湖南永州·七年级校考期中）已知，，则的值为（

）A．2 B．6 C．8 D．1610．（2023春·山东聊城·七年级统考期末）若，则（

）A．15 B．5 C．6 D．14巩固训练1．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．记，，．则a、b和c的关系是（

）A． B． C． D．无法确定2．（2023春·广东河源·七年级统考期末）已知，，则．3．（2023秋·八年级课时练习）计算：(1)；(2)；(3)（为大于1的整数）；(4)．题型六幂的乘方与积的乘方11．（2023春·浙江宁波·七年级宁波市海曙外国语学校校考期中）若，，则（

）A． B． C． D．12．（2023春·陕西榆林·七年级校考期中）计算的结果是（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2023春·辽宁阜新·七年级校联考期中）若，，则的值为（

）A．40 B．100 C． D．2．（2023春·辽宁朝阳·七年级校考期中）计算；；．3．（2023春·山东东营·六年级校考阶段练习）计算：(1)(2)(3)(4)题型七整式的乘法13．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．14．（2023春·广西贺州·七年级校考期中）已知，则代数式的值为（

）A．8 B．14 C． D．2巩固训练1．（2023春·四川雅安·七年级统考期末）已知，则的值为（

）A．1 B． C． D．42．（2023春·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）若的积中不含项与项．则代数式的值为．3．（2023春·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）观察下列各式．(1)请你按照以上各式的运算规律，填空．①____________②____________③(2)应用规律计算：题型八平方差公式15．（2023春·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）下列算式能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．16．（2023春·山东菏泽·七年级统考期中）化简的结果是（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2023春·河北石家庄·七年级校考期中）已知，则括号里应填（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·八年级专题练习）已知，则的个位数字为．3．（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）观察下列各式：；；．(1)请你按照以上各式的运算规律，填空．①；②；③．(2)应用规律计算：．题型九完全平方公式17．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如果，那么（

）A．5 B．7 C．9 D．1118．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（

）A． B．．C． D．巩固训练1．（2023秋·八年级课时练习）若，则的结果是（

）A．23 B．8 C． D．2．（2023春·福建三明·七年级校考阶段练习）我们把形如“”的式子称为完全平方式，若是一个完全平方式，，且，则．3．（2023春·安徽宣城·七年级校考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的整体或某一部分通过恒等变形，化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．【解决问题】（1）已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式：______；（2）已知，求的值；【探究问题】（3）已知（x是正整数，y是大于1的正整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件k的值，并说明理由．题型十乘法公式在几何背景下的应用19．（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，将边长为的正方形沿虚线剪成两个正方形和两个长方形．若去掉边长为的小正方形后，再将剩余部分拼成一个长方形，则长方形的面积为（

）

A． B． C． D．20．（2023春·浙江杭州·七年级统考期中）如图张长为a、宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则（）

A． B． C． D．巩固训练1．（2023春·甘肃兰州·七年级统考期中）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，其中不能验证平方差公式的是（

）

A．① B．②③ C．①③ D．③2．（2023春·山东聊城·七年级统考期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2的阴影部分面积为2，则图1的阴影部分面积为．

3．（2023春·山东济南·七年级统考期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于___________；面积等于___________．(2)观察图2，请你写出下列三个代数式之间的等量关系为___________．(3)运用你所得到的公式计算：若m、n为实数，且，试求的值．(4)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为α、b，且，，求图中阴影部分的面积．题型十一提取公因式法21．（2023秋·全国·八年级课堂例题）把分解因式时，应提取的公因式是（

）A．2 B． C． D．22．（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）已知，，则的值为（）A． B． C． D．2巩固训练1．（2023春·河北邯郸·八年级统考期末）将多项式因式分解，结果为（

）A． B． C． D．2．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为．3．（2023秋·八年级课时练习）分解因式：(1)．(2)．(3)．题型十二公式法23．（2023秋·八年级课时练习）下列等式从左到右的变形，属于因式分解且正确的是（

）A． B