云南省玉溪市澄江市第一中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题(含详解)

云南省玉溪市澄江市一中2024-2025学年上学期期末考试高三数学注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则A的子集个数为（）A.4 B.7 C.8 D.162.已知函数，若对于任意实数k，总存在实数，使得成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.3.设函数若无最大值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4.当时，曲线与交点的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.65.复数对应的点在复平面内的（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知数列满足，且对任意均有.记的前项和为，则（）A.28 B.140 C.256 D.7847.已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（）A. B. C. D.8.如图，是椭圆的左､右顶点，是上不同于的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.定义无穷有界级数，且零项级数，则（）A. B. C. D.，10.已知函数的定义域均为，其中的图象关于点中心对称，的图象关于直线对称，，则（）A. B. C. D.11.已知函数，则（）A.的一个对称中心为B.的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象C.在区间上单调递增D.若在区间上与有且只有6个交点，则三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知是函数的导函数，且对任意的实数x都有，，则不等式的解集是________．13.已知向量，若与的夹角为锐角，则的取值范围是__________.14.已知二面角为60º，，，A为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______________.四、解答题:本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分,第18、19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.某动物园观光车载有5位旅客自动物园门口出发，游览途中游客有4个车站可以下车.如到达一个车站没有游客下车就不停车.设每位游客在各个车站下车是等可能的，并设各位游客是否下车相互独立.随机变量，.（1）求随机变量的概率分布和数学期望；（2）已知：若随机变量服从两点分布，且，则.记停车的次数为，求的数学期望.16.已知数列的首项，且满足，记.（1）证明：是等比数列；（2）记，证明：数列的前项和.17.已知椭圆的右焦点为，过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，在两点处的切线交于点．（1）求证：点在定直线上，并求出该直线方程；（2）设点为直线上一点，且，求的最小值．18.日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时，为美观起见，通常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎，常见的捆扎方式有两种，如图（A）、（B）所示，并配上花结.图（A）中，正四棱柱的底面是正方形，且，.（1）若，记点关于平面的对称点为，点关于直线的对称点为.（ⅰ）求线段的长；（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.（2）据烘焙店的店员说，图（A）这样的捆扎不仅漂亮，而且比图（B）的十字捆扎更节省彩绳.你同意这种说法吗？请给出你的理由.（注意，此时、、、、、、、这8条线段可能长短不一）19.已知函数是奇函数.（e是自然对数的底）（1）求实数k的值；（2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；（3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值.一、单选题1.【答案】C【解析】x2-2x≤0所以A=0,1,2，即集合有三个元素，所以A2.【答案】D【解析】依题知对于任意实数k，总存在实数，使得成立，所以值域为R，因此必须要求取遍一切正实数，当时，值域为R，符合题意．当时，需即．综上所述，实数a的取值范围．故选：D.3.【答案】A【解析】因为函数无最大值，令x3-3x=-2令，画出函数图象如图所示，当时，有最大值f-1=2或，当时，有，此时无最大值，故实数取值范围为.所以选择A。4.【答案】D【解析】在坐标轴中画出两个函数的图象，如图所示在上一共有6个交点，所以选择D.5.【答案】B【解析】，因此，复数对应的点在复平面内的第二象限.故选：B.6.【答案】B【解析】由数列an满足，且，令，可得，即，再令，可得，即数列是公差为的等差数列，又由，可得，即，又由即，所以及，令，可得，代入可得，解得，所以，即数列an的通项公式为，所以.故选：B.7.【答案】B【解析】为向量以为基底时的坐标为，所以，设，由空间向量基本定理得，解得，所以以为基底时的坐标为.故选：B.8.【答案】D【解析】由题意得Q在椭圆C：上，则设，所以，，两式相乘得,①因为AB是的直径，则,即，故,②由①②得，又，故，故选：D.二、多选题9.【答案】BCD【解析】由，可得，所以，同理，所以，，其中第项为，，即可得，因为，令，得，令，得，令，得，同理可得，即可得选项BC正确，A错误，由上述前9项的值可知，当为奇数时，除之外，其余均为0，即，故D正确.故选：BCD.10.【答案】BD【解析】由已知，所以，即，故A错误；又因为，因为关于点中心对称，所以，即，又因为，所以，所以函数的周期为4，所以，所以B正确；由，所以C错误；因为，所以，所以，所以D正确.故选：BD.11.【答案】BD【解析】对于选项A：，令（），解得.当时，，选项A错误.对于选项B：图象向右平移个单位长度，得，是奇函数，选项B正确.对于选项C：令（），解得（）.当时，，不在此区间，选项C错误.对于选项D：由，得，则（）.要使在上与有且只有6个交点，则，解得.又，，所以，选项D正确.综上，答案是BD.三、填空题12.【答案】【解析】令，，则，又，∴，∴，所以，即，求得：或，所以不等式的解集为.13.【答案】【解析】因为的夹角为锐角，所以，即，解得但同向共线时也有，故,解得，综上且，故答案为：.14.【答案】【解析】如图所示:过作于,于,再过作的平行线与过作的垂线交于,连接,则为二面角的平面角,易知四边形为矩形.由知,所以为与所成的角,设,因为,则,又由条件知,且,所以在△中,,所以在△中,.四、解答题15.【答案】解：（1）由已知可得任一游客在第3站不下车的概率为，因此5位游客都不在第3站下车的概率为，则在第3站有人下车的概率为，所以的概率分布列为所以；（2）由已知可得任一游客在第站不下车的概率为，因此5位游客都不在第站下车的概率为，则在第站有人下车的概率为，所以，，所以，.因，所以.16.【答案】证明：（1）因为，所以，，所以，因为，，所以，因为，因为，又因为当时，所以，所以，所以是以5为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可得，因为，所以.17.【答案】（1）证明：因为椭圆的右焦点为，所以，所以，所以椭圆方程为，直线不垂直于坐标轴，所以设方程为，联立可得3+4k2x所以，过点的切线为，过点的切线为，因为点在两切线上，所以，所以直线的方程为，又直线过点F1,0，所以，解得．（2）解：将代入得，，所以直线的方程为，设直线和交于点，联立，解得，又，所以为线段的中点，根据弦长公式可得：，所以，又因，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为12．18.【答案】解：（1）（ⅰ）以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，由题意得，，，，，设平面的法向量为则有，取得点H到平面的距离线段的长为（ⅱ）取的中点，所以且，由（ⅰ）知，又为平面ABCD的法向量，直线与平面ABCD所成角的正弦值为.（2）对于图(A)，在正方体展开图中找出彩绳的轨迹，连接J,Q，JQ即为所求的最小值。（三角形两边之和大于第三边）；对于图(B)，彩绳的最小值为，且；所以店员的说法正确。19.【答案