《线性代数之矩阵运算》课件

《线性代数之矩阵运算》线性代数核心课程矩阵运算基础与应用课程概述课程目标掌握矩阵基本运算主要内容十大章节全面覆盖学习方法第一章：矩阵的基本概念定义矩阵本质与表示类型各种特殊矩阵性质基本特性与操作1.1矩阵的定义什么是矩阵m×n个数按矩形方式排列由行和列组成的二维数组矩阵的表示方法A=(aij)m×n使用方括号或圆括号表示矩阵的维度m行n列记为m×n行数×列数确定矩阵大小1.2矩阵的类型方阵行数等于列数n阶方阵：n×n对角矩阵非对角元素全为零形如diag(d₁,d₂,...,dₙ)单位矩阵主对角线全为1其余元素全为0零矩阵所有元素均为0记为O或01.3特殊矩阵对称矩阵满足A=Aᵀ关于主对角线对称上三角矩阵主对角线以下元素全为0正交矩阵满足Q·Qᵀ=I行列向量互相正交1.4矩阵的基本性质相等对应元素都相等维度必须相同1转置行列互换(Aᵀ)ᵀ=A2共轭复数矩阵中各元素取共轭实数矩阵共轭等于自身3第二章：矩阵的基本运算4基本运算类型加减乘和转置2维度要求加减要求相同维度∞应用广泛各领域计算基础2.1矩阵加法1定义对应位置元素相加C=A+B,cᵢⱼ=aᵢⱼ+bᵢⱼ2性质满足交换律:A+B=B+A满足结合律:(A+B)+C=A+(B+C)3示例二阶矩阵加法演示注意维度必须相同2.2矩阵减法定义对应位置元素相减性质A-B=A+(-B)示例二阶矩阵减法演示2.3矩阵数乘定义常数乘以矩阵每个元素性质k(A+B)=kA+kB示例2×[[1,2],[3,4]]=[[2,4],[6,8]]2.4矩阵乘法（一）1计算结果C=AB,m×p阶2运算规则cᵢⱼ=Σaᵢₖ·bₖⱼ(k=1至n)3条件A的列数必须等于B的行数2.4矩阵乘法（二）性质满足结合律满足左右分配律(AB)ᵀ=BᵀAᵀ不满足交换律一般情况AB≠BA特殊情况：可交换矩阵反例图解2.4矩阵乘法（三）结合律(AB)C=A(BC)多矩阵连乘可任意加括号左分配律A(B+C)=AB+AC左侧因子分配到各项右分配律(A+B)C=AC+BC右侧因子分配到各项2.4矩阵乘法（四）确认可乘条件检查维度匹配逐元素计算行与列的内积填充结果矩阵按位置排列避免常见错误维度不匹配计算规则用错2.5矩阵转置定义：行列互换，A变为Aᵀ性质：(Aᵀ)ᵀ=A，(A+B)ᵀ=Aᵀ+Bᵀ，(AB)ᵀ=BᵀAᵀ2.6矩阵的幂2幂的定义A²=A·A3高次幂A³=A·A·An一般形式Aⁿ=A·A·...·A(n个A)第三章：矩阵的行列式定义方阵的特征数值性质反映方阵的关键特性计算多种高效方法应用方程组求解关键3.1行列式的定义2×2矩阵|A|=a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁对角线相乘减法3×3矩阵萨吕法则主对角线乘积和-副对角线乘积和n阶行列式n!项代数和递归定义3.2行列式的性质（一）转置不变性|A|=|Aᵀ|行列式因子|kA|=kⁿ|A|行列式乘积|AB|=|A|·|B|3.2行列式的性质（二）行列互换行列式变号行列式可按任一行或列展开代数余子式：Aᵢⱼ=(-1)ⁱ⁺ʲ·Mᵢⱼ3.3行列式的计算方法三角化方法初等行变换化为上三角形式主对角线元素乘积拉普拉斯展开按行/列展开递归计算子式适合特殊结构矩阵3.4克拉默法则1定义利用行列式求解线性方程组2条件系数矩阵行列式不为零3解法xᵢ=|Aᵢ|/|A|4示例二元线性方程组求解第四章：矩阵的逆定义满足AA⁻¹=A⁻¹A=I性质唯一性与可逆条件计算多种有效方法4.1逆矩阵的定义概念矩阵A的逆矩阵A⁻¹满足AA⁻¹=A⁻¹A=I存在条件矩阵可逆⟺|A|≠0非奇异矩阵才有逆特点方阵才可能有逆满秩是必要条件4.2逆矩阵的性质唯一性若存在，则唯一转置与逆(A⁻¹)ᵀ=(Aᵀ)⁻¹乘积的逆(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹幂与逆(Aⁿ)⁻¹=(A⁻¹)ⁿ4.3逆矩阵的计算方法（一）构造增广矩阵[A|I]行初等变换将左侧变为单位矩阵读取结果右侧即为A⁻¹验证检查AA⁻¹=I4.3逆矩阵的计算方法（二）1计算行列式求|A|2求代数余子式矩阵计算所有Aᵢⱼ3构造伴随矩阵adj(A)=(Aᵢⱼ)ᵀ4应用公式A⁻¹=adj(A)/|A|4.4分块矩阵的逆计算复杂度适用性特殊结构分块矩阵求逆公式适用于大型稀疏矩阵第五章：矩阵的秩定义线性无关向量最大数目性质反映矩阵的退化程度计算初等变换与子式法5.1矩阵的秩的定义概念最大线性无关列(行)向量数非零子式的最高阶数表示r(A)表示矩阵A的秩0≤r(A)≤min(m,n)5.2矩阵的秩的性质满秩矩阵r(A)=min(m,n)所有行(列)向量线性无关秩与转置r(A)=r(Aᵀ)行秩等于列秩秩与线性方程组r(A)=r(A|b)时有解r(A)<n时有无穷多解5.3矩阵的秩的计算方法初等变换法行阶梯形矩阵非零行数即为秩高斯消元子式法检验各阶子式最高阶非零子式适用于特殊结构矩阵第六章：特征值和特征向量特征值矩阵作用的缩放因子特征向量方向不变的向量特征方程求解特征值的关键对角化矩阵的简化形式6.1特征值和特征向量的定义数学定义Ax=λx非零向量x是特征向量标量λ是对应特征值几何意义线性变换方向不变只改变向量长度缩放因子为λ6.2特征方程1定义|A-λI|=02展开n次多项式方程3求根λ₁,λ₂,...,λₙ为特征值4求特征向量解(A-λᵢI)x=06.3特征值的性质特征值之和等于矩阵的迹特征值之积等于矩阵的行列式代数重数：特征值作为特征方程根的重数几何重数：对应特征空间的维数6.4相似矩阵定义B=P⁻¹AP1性质特征值相同2对角化条件n个线性无关特征向量3对角化步骤P由特征向量构成4第七章：矩阵分解分解为何便于计算与理解主要类型LU,QR,特征值,SVD应用广泛数值计算基础7.1LU分解定义A=LUL为下三角矩阵U为上三角矩阵计算方法高斯消元法杜利特尔(Doolittle)算法克劳特(Crout)算法应用高效求解线性方程组矩阵求逆行列式计算7.2QR分解定义A=QRQ和R性质Q为正交矩阵R性质R为上三角矩阵计算方法格拉姆-施密特正交化7.3特征值分解1应用幂运算简化、主成分分析2计算方法特征值和特征向量求解3数学形式A=PDP⁻¹4条件方阵且可对角化7.4奇异值分解（SVD）1定义A=UΣVᵀ2U和V性质正交矩阵3Σ性质对角矩阵，对角元为奇异值4应用数据压缩、降维、噪声过滤第八章：向量空间与线性变换向量空间满足特定公理集合基与维数描述空间结构线性变换保持向量运算性质可用矩阵表示8.1向量空间的定义定义带有加法和数乘运算的集合满足八条公理加法公理结合律，交换律零元素，负元素数乘公理结合律，分配律单位元素8.2子空间定义向量空间的非空子集条件对加法和数乘封闭示例零空间，列空间，行空间8.3基与维数1基线性无关向量组2生成空间基的线性组合能生成整个空间3维数基中向量的个数8.4线性变换定义保持向量加法和数乘的映射性质T(u+v)=T(u)+T(v)性质T(cv)=cT(v)矩阵表示n×m矩阵表示线性变换第九章：正定矩阵定义对称且特征值全为正判定多种等价判定条件应用优化问题关键9.1正定矩阵的定义概念实对称矩阵A对任意非零向量x满足xᵀAx>0判定条件特征值全为正顺序主子式全为正可表示为Bᵀ·B形式配方法得正平方和9.2正定矩阵的性质特征值性质所有特征值均为正迹为正可逆性正定矩阵必可逆行列式为正分解性质存在唯一的正定平方根可进行Cholesky分解9.3正定矩阵的应用二次型判别：正定矩阵对应正二次型最优化：正定矩阵保证严格凸函数统计学：协方差矩阵为半正定第十章：矩阵运算的应用线性方程组工程问题建模与求解最小二乘法数据拟合与优化数据分析PCA降维与特征提取图像处理图像变换与压缩机器学习算法基础与优化10.1线性方程组求解高斯消元法系数矩阵行阶梯形前向消元和回代过程可处理任意方程组矩阵求逆法X=A⁻¹B适用于多个右端向量要求系数矩阵可逆10.2最小二乘法1原理最小化误差平方和2矩阵表示法方程：AᵀAX=AᵀB3解法X=(AᵀA)⁻¹AᵀB4应用曲线拟合、预测模型10.3主成分分析（PCA）原理寻找数据最大方差方向矩阵运算协方差矩阵特征分解降维选取前k个主成分应用数据压缩、特征提取10.