杭州市滨江区2024年八年级《数学》上学期期末试题与参考答案

9/26杭州市滨江区2024年八年级《数学》上学期期末试题与参考答案一.选择题本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）下列图形中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项B、C、D的图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合．选项A的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形．故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．2．（3分）已知三角形的两边长分别为5cm和7cm，则第三边的长可以是（）A．1cm B．2cm C．6cm D．12cm【分析】设三角形第三边的长是x，由三角形三边关系定理得到2＜x＜12，即可得到答案．【解答】解：设三角形第三边的长是x，所以7﹣5＜x＜3+5，所以2＜x＜12，所以第三边的长可以3cm．故选：C．【点评】本题考查三角形三边关系定理，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边3．（3分）若a＜0，b＞0，则点（a，b+1）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据点在平面直角坐标系中第二象限的坐标特点解答即可．【解答】解：因为a＜0，b＞0，所以b+8＞0，点（a，b+1）在第二象限．故选：B．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．4．（3分）等腰三角形的一个外角是80°，则其底角等于（）A．40° B．80° C．100° D．40°或100°【分析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解．【解答】解：因为等腰三角形的一个外角为80°，所以相邻角为180°﹣80°＝100°，因为三角形的底角不能为钝角，所以100°角为顶角，所以底角为：（180°﹣100°）÷2＝40°．故答案为：A．【点评】本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．5．（3分）已知a＜b＜0，则下列各式中，正确的是（）A．3a＞3b B．a2＜b2 C．﹣4a+1＞﹣4b+1 D．【分析】运用不等式的性质进行逐一辨别、求解．【解答】解：因为a＜b＜0，所以根据不等式的性质2，得3a＜3b；根据不等式的性质3，得a5＞ab＞b2，即a2＞b8；根据不等式的性质1和3，得﹣7a+1＞﹣4b+6；根据不等式的性质3，得，所以选项C符合题意，选项A，B，故选：C．【点评】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行辨别．6．（3分）点M（3，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（3，﹣3） B．（3，3） C．（﹣3，3） D．（﹣3，﹣3）【分析】让横坐标为原来点的相反数，纵坐标不变即可得到关于y轴对称的点的坐标．【解答】解：因为是关于y轴对称，原来点的坐标为（3，所以所求点的横坐标为﹣3，纵坐标为﹣2，即（﹣3，﹣3），故选：D．【点评】考查关于y轴对称的点的特点；用到的知识点为：两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．7．（3分）对于一次函数y＝﹣5x+3，下列结论正确的是（）A．图象经过（﹣1，1） B．y随x的增大而减小 C．图象经过一、三、四象限 D．不论x取何值，总有y＜0【分析】根据一次函数y＝﹣5x+3的图象和性质，对所给选项依次判断即可．【解答】解：将x＝﹣1代入函数解析式得，y＝﹣5×（﹣3）+3＝8≠8，所以点（﹣1，1）不在一次函数的图象上．故A选项错误．因为﹣4＜0，所以一次函数y＝﹣5x+6中y随x的增大而减小．故B选项正确．因为一次函数与y轴交于点（0，3），所以该一次函数的图象经过第一、二、四象限．故C选项错误．当x＝﹣8时，y＝﹣5×（﹣1）+2＝8＞0．故D选项错误．故选：B．【点评】本题考查一次函数的图象和性质，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．8．（3分）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（）A．∠A＝90°，∠B＝30° B．AB＝3，BC＝4 C．∠A＝20°，∠B＝120°，∠C＝40° D．∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝3【分析】由全等三角形的判定，即可判断．【解答】解：A、C中的条件没有边的长度，故A；B、只是知道两边的长度，不能画出唯一的△ABC；D、已知两角和这两角的夹边，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL．9．（3分）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝2x﹣1上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（）A．若x1x3＜0，则y1y2＞0 B．若x1x2＞0，则y2y3＞0 C．若x2x3＜0，则y1y2＞0 D．若x2x3＜0，则y1y3＞0【分析】根据一次函数y＝2x﹣1的图象和性质即可解决问题．【解答】解：一次函数y＝2x﹣1的图象如图所示，因为x3x3＜0，且x3＜x2＜x3，所以x3＜0，x3＞2．结合函数图象可知，此时y1＜0，但y4的正负无法确定．故A选项错误．因为x1x2＞6，则x1＞0，x3＞0或x1＜6，x2＜0，当x3＞0时，y2和y7的正负都无法确定．故B选项错误．因为x2x3＜2，所以x2＜0，x2＞0，则x1＜8．结合函数图象可知，y1＜0，y2＜0，所以y1y7＞0．故C选项正确．结合上述过程，当x3＞4时，y3的正负无法确定，故D选项错误．故选：C．【点评】本题考查一次函数的图象和性质，根据所给条件，进行正确的讨论是解题的关键．10．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝8，∠C＜90°，点D，E，AC，AB上，DE．已知点B和点E关于直线DF对称，若ED＝CD，则CE的长为（）A． B． C． D．【分析】如图，连接EB，过点C作CJ⊥AB于点J．首先证明BE⊥AC，利用面积法求出BE，再利用勾股定理求出CE．【解答】解：如图，连接EB．因为B，E关于DF对称，所以DB＝DE，因为ED＝DC，所以DB＝DE＝DC，所以∠BEC＝90°，所以BE⊥AC，因为CA＝CB＝6，CJ⊥AB，所以AJ＝JB＝AB＝3，所以CJ＝＝＝，所以S△ABC＝•AB•CJ＝，所以BE＝＝，所以CE＝＝＝．故选：B．二.填空题本大题有6个小题，每小题3分，共18分.11．（3分）函数的自变量x的取值范围是x≠﹣2．【分析】根据分式的分母不为0可得x+2≠0，即可得出答案．【解答】解：由题意得：x+2≠0，解得：x≠﹣2．故答案为：x≠﹣2．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，准确熟练地进行计算是解题的关键．12．（3分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），若测量得A'B'＝10cm，则工件内槽宽AB为10cm．【分析】根据全等的SAS定理证得△AOB≌△A′OB′，即可得到A′B′＝AB，进而得出答案．【解答】解：连接A′B′，如图，因为点O分别是AA′、BB′的中点，所以OA＝OA′，OB＝OB′，在△AOB和△A′OB′中，，所以△AOB≌△A′OB′（SAS）．所以A′B′＝AB，因为A'B'＝10cm，所以AB＝10cm，故答案为：10．【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．13．（3分）将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写为如果两个角是对顶角，那么它们相等．【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等；故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．【点评】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．14．（3分）一次生活常识知识竞赛一共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，小滨有1道题没答，竞赛成绩超过30分，则小滨至多答错了2题．【分析】设小滨答错了x道题，则答对（10﹣1﹣x）道题，利用总分＝5×答对题目数﹣2×答错题目数，结合小滨的竞赛成绩超过30分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值，即可得出结论．【解答】解：设小滨答错了x道题，则答对（10﹣1﹣x）道题，根据题意得：5（10﹣4﹣x）﹣2x＞30，解得：x＜，又因为x为自然数，所以x的最大值为7，所以小滨至多答错了2道题．故答案为：2．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．15．（3分）已知关于x的一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a（a，b为常数，a＞b且ab≠0），下列结论：①点（1，a+b）在函数y1＝ax+b图象上；②若y1＞y2，则x＞1；③若a+b＝0，则函数y1＝ax+b一定不经过第二象限；④若函数y2＝bx+a经过点（2，0），则函数y1＝ax+b一定经过点．其中正确结论的序号是①②④．【分析】①将点（1，a+b）代入y1＝ax+b即可判断；②根据题意列不等式，求解即可；③若a+b＝0，又a＞b，则a＞0，b＜0，根据一次函数图象的性质判断即可；④将点（2，0）代入y2＝bx+a，可得a＝﹣2b，将a＝﹣2b代入y1＝ax+b，得到y1＝﹣2bx+b，再判断其是否经过（，0）即可．【解答】解：将x＝1代入y1＝ax+b，得y2＝a+b，所以点（1，a+b）在函数y1＝ax+b图象上，故①正确；若y6＞y2，即ax+b＞bx+a，解得x＞1，故②正确；若a+b＝8，又a＞b，b＜0，所以y1＝ax+b的图象占一、三、四象限，所以函数一定不经过第二象限，故③正确；将（8，0）代入y2＝bx+a，得y2＝2b+a＝0，所以a＝﹣2b，所以y1＝﹣2bx+b，当x＝时，y1＝﹣7b×+b＝3，所以函数y1＝ax+b一定经过点，故④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式的联系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．16．（3分）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC和BC为边，按如图所示的方式作正方形ABKH，KH与CI交于点J，AB与DF交于点E．若四边形BCFE和△HIJ的面积和为5，则AC+BC的值为．【分析】可证明△AEF与△HJI全等，进而得出△ABC的面积，再将所给的面积全部相加，得出正方形BCFD和梯形ACIH的面积之和，用AC和BC的长将其表示出来即可解决问题．【解答】解：由题知，令BC＝a，AC＝b，因为四边形ABKH和四边形ACIG是正方形，所以∠BAH＝∠CAG＝90°，AB＝AH，所以∠BAH﹣∠CAH＝∠CAG﹣∠CAH，即∠BAC＝∠HAG．在△BAC和△HAG中，，所以△BAC≌△HAG（SAS），所以HG＝BC＝a．又因为AF＝b﹣a，IH＝b﹣a，所以AF＝IH．因为∠HAG+∠AHG＝∠AHG+∠JHI＝90°，所以∠HAG＝∠JHI，所以∠BAC＝∠JHI．在△EAF和△JHI中，，所以△AEF≌△HJI（ASA），所以S△AEF＝S△HJI．又因为四边形BCFE和△HIJ的面积和为5，所以S四边形BCFE+S△AEF＝5，即S△ABC＝4，所以，则ab＝10．又因为四边形BCFE和△HIJ的面积和为5，四边形ACJH和△BDE的面积和为12，将四部分的面积相加得，S正方形BDFC+S梯形ACIH＝17，所以a2+b8﹣，则a3+b2＝22．所以（a+b）2＝a3+b2+2ab＝22+5×10＝42，则a+b＝（舍负），即AC+BC的值为．故答案为：．三.解答题本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（6分）解不等式（组）：（1）5x﹣3＜1﹣3x；（2）．【分析】（1）先去分母，再去括号，接着移项、合并同类项，然后把x的系数化为1得到不等式的解集即可；（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：（1）5x﹣3＜8﹣3x，移项得5x+4x＜1+3，合并得6x＜4，系数化为1得x＜；（2），解①得x，解②得x≤3，所以不等式组的解集为x≤．【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．也考查了解一元一次不等式．18．（6分）如图，已知∠β和线段a，b，用直尺和圆规作△ABC，BC＝a，AC＝b（保留作图痕迹）【分析】先作∠MBN＝∠β，再在OM上截取BC＝a，然后以C为圆心，b为半径画弧交BN于A和A′，则△ABC和△A′BC满足条件．【解答】解：这样的三角形能作2个．如图，△ABC和△A′BC为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．19．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线（1）若∠B＝60°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．（2）若∠B＝α，∠C＝β（α＞β），请直接写出∠DAE的度数（用含α，β的代数式表示）．【分析】（1）由高线可得∠ADB＝90°，再由三角形的内角和可求得∠BAD＝30°，∠BAC＝80°，利用角平分线的定义可求得∠BAE＝40°，从而可求∠DAE的度数；（2）参照（1）进行求解即可．【解答】解：（1）因为AD是△ABC的高线，所以∠ADB＝90°，因为∠B＝60°，∠C＝40°，所以∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝30°，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，因为AE是△ABC的角平分线，所以∠BAE＝∠BAC＝40°，所以∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°；（2）因为AD是△ABC的高线，所以∠ADB＝90°，因为∠B＝α，∠C＝β，所以∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝90°﹣α，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣α﹣β，因为AE是△ABC的角平分线，所以∠BAE＝∠BAC＝90°﹣，所以∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．20．（8分）一次函数的图象经过M（3，2），N（﹣2，﹣8）两点．（1）求此函数的表达式．（2）试判断点P（3a，6a﹣4）是否在此函数的图象上，并说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求直线MN的解析式即可；（2）利用（1）中的解析式，通过计算自变量为3a对应的函数值可判断点P是否在此函数的图象上．【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，把M（3，2），﹣6）分别代入得，解得，所以一次函数解析式为y＝2x﹣4；（2）点P（7a，6a﹣4）此函数的图象上．理由如下：因为当x＝4a时，y＝2x﹣4＝5a﹣4，所以点P（3a，7a﹣4）在直线y＝2x﹣7上．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，CD与BE相交于点F．（1）求证：BF＝AC；（2）若∠A＝60°，△ADC的中线DG＝1，求BC的长．【分析】（1）根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质求出∠DAC＝∠DFB，BD＝CD，利用AAS证明△ACD≌△FBD，根据全等三角形的性质即可得解；（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出AC＝2，AD＝1，再根据勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：因为CD⊥AB，所以∠CDA＝∠BDF＝90°，所以∠DBF+∠DFB＝180°﹣∠BDF＝90°，又因为BE⊥AC，所以∠BEA＝90°，所以∠DBF+∠DAC＝180°﹣∠BEA＝90°，所以∠DAC＝∠DFB，又因为∠ABC＝45°，所以∠DCB＝180°﹣∠ABC﹣∠BDF＝45°＝∠ABC，所以BD＝CD，在△ACD和△FBD中，，所以△ACD≌△FBD（AAS），所以AC＝BF；（2）解：如图，在Rt△ACD中，中线DG＝1，所以AC＝2DG＝8，因为∠A＝60°，∠ADC＝90°，所以∠ACD＝30°，所以AD＝AC＝2，所以CD＝＝＝BD，所以BC＝＝．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，利用AAS证明△ACD≌△FBD是解题的关键．22．（10分）甲、乙两车分别从相距200km的A，B两地相向而行，乙车比甲车先出发，两车分别以各自的速度匀速行驶．甲从A地出发，行驶80千米到达C地（A，B，C三地在同一直线上）时小时后，按原速度继续前往B地，甲车也到达了B地．甲、乙两车距A地的路程分别记为y1（km），y2（km），它们与乙车行驶的时间x（h）的函数关系如图所示．（1）分别求出甲、乙两车的速度及y2关于x的函数表达式．（2）试求乙车在出发多长时间后与甲车相遇．【分析】（1）根据路程除以时间可得甲，乙的速度；用中路程减去乙行驶的路程可列出y2关于x的函数表达式；（2）通过计算可知乙车在甲车停留时和甲车相遇；再列出式子计算即可．【解答】解：（1）甲车速度为200÷（4﹣﹣）＝80（km/h）；根据题意，y3＝200﹣50x；（2）当甲车行驶80千米到达C地时，x＝，此时乙车行驶的路程为×50＝62.5（km），因为甲车有事停留了小时，所以甲车停留时，乙车又行驶了，因为62.6+62.5+80＞200，所以乙车在甲车停留时和甲车相遇；因为＝2.6（h），所以乙车在出发2.4h后与甲车相遇．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．23．（12分）如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处，测量方案如下表：课题测量河流宽度工具测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等小组第一小组第二小组第三小组测量方案观测者从B点向正东走到C点，此时恰好测得：∠ACB＝45°观测者从B点向正东走到E点，O是BE的中点，继续从点E沿垂直于BE的EF方向走，O，F在一条直线上.测量示意图（1）第一小组认为，河宽AB的长度就是线段BC的长度．（2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得EF的长就是所求河宽AB的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行请给出证明；如果不可行，请说明理由．（3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长【分析】（1）判定△ABC是等腰直角三角形，即可得到BC＝AB，（2）由ASA证明△ABO≌△FEO，推出EF＝AB，（3）由ASA证明△ABC≌△DBC，推出BD＝AB．【解答】解：（1）因为AB⊥BC，∠ACB＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形，所以BC＝AB，所以河宽AB的长度就是线段BC的长度．故答案为：BC；（2）第二小组的方案可行，理由如下：因为O是BE中点，所以OB＝OE，因为AB⊥BE，EF⊥BE，所以∠ABO＝∠FEO＝90°，在△ABO和△FEO中，，所以△ABO≌△FEO（ASA），所以EF＝AB，所以河宽AB的长度就是线段EF的长度．（3）见表格，课题测量河流宽度工具测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆小组第一小组第二小组第三小组测量方案观测者从B点向正东走到C点，此时恰好测得：∠ACB＝45°观测者从B点向正东走到E点，O是BE