广州市南沙区2024年八年级《数学》下学期期末试题与参考答案

6/25广州市南沙区2024年八年级《数学》下学期期末试题与参考答案一、选择题本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．【解答】解：A、＝＝，故A不符合题意；B、是最简二次根式，故B符合题意；C、＝2，故C不符合题意；D、＝2，故D不符合题意；故选：B．2．（3分）一组数据5，4，5，6，5，3，4的众数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据众数的概念求得这组数据的众数即可．【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据出现次数最多的数是5，即众数是5，故选：C．3．（3分）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝110°，则∠B的度数是（）A．35° B．55° C．70° D．90°【分析】由平行四边形的性质得∠B＝∠D，即可解决问题．【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠B＝∠D，因为∠B+∠D＝110°，所以∠B＝∠D＝55°，故选：B．4．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的运算法则判断即可．【解答】解：A．+≠，故本选项不符合题意；B．3﹣＝2，故本选项不符合题意；C．+≠3，故本选项不符合题意；D．×＝3，故本选项符合题意；故选：D．5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（2，y2）在函数y＝2x﹣7的图象上，则（）A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．无法判断【分析】根据所给函数解析式，得出y随x的变化情况，据此可解决问题．【解答】解：因为函数解析式为y＝2x﹣7，所以y随x的增大而增大，又因为﹣1＜2，所以y1＜y2．故选：A．6．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD是两条对角线，添加下列条件后能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD【分析】由矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、因为四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，所以平行四边形ABCD是矩形，故选项A符合题意；B、因为四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，所以平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、因为四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，所以平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠DAC＝∠BCA，因为AC平分∠BAD，所以∠DAC＝∠BAC，所以∠BCA＝∠BAC，所以AB＝CB，所以平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：A．7．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列选项中能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a＝1，b＝2，c＝3 C．a2＝（c+b）（c﹣b） D．∠A＝∠B【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算即可解答．【解答】解：A、因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以∠C＝×180°＝75°，所以不能判定△ABC为直角三角形，故A不符合题意；B、因为a2+b2＝12+22＝5，c2＝32＝9，所以a2+b2≠c2，所以不能判定△ABC为直角三角形，故B不符合题意；C、因为a2＝（c+b）（c﹣b），所以a2+b2＝c2，所以能判定△ABC为直角三角形，故C符合题意；D、因为∠A＝∠B，所以a＝b，所以能判定△ABC为等腰三角形，不能判定△ABC为直角三角形，故D不符合题意；故选：C．8．（3分）已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离y与时间x之间的关系如图所示．下列结论错误的是（）A．小丽家到便利店距离500米 B．小丽在便利店停留了5分钟 C．小丽步行的速度是0.1km/min D．小丽骑自行车的速度是步行速度的1.5倍【分析】由函数图象分别得出选项的结论，然后作出判断即可．【解答】解：由图象知，A、小丽家到便利店距离是0.5千米＝500米，故A选项不符合题意；B、小丽在便利店停留了10﹣5＝5（分钟），故B选项不符合题意；C、小丽步行的速度是＝0.1（km/min），故C选项不符合题意；D、小丽骑自行车的速度是＝0.2（km/min），＝2，小丽骑自行车的速度是步行速度的2倍，故D选项符合题意；故选：D．9．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边AD中点，连接OE．若AB的长为6，△DOE的周长为10，则△BCD的周长是（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】由平行四边形的性质得CD＝AB＝6，OA＝OC，OB＝OD＝BD，AD＝BC，再证明OE是△ABD的中位线，得OE＝AB＝3，然后求出DE+OD＝7，则BC+BD＝14，即可解决问题．【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以CD＝AB＝6，OA＝OC，OB＝OD＝BD，AD＝BC，因为E是边AD中点，所以OE是△ABD的中位线，所以DE＝ADOE＝AB＝3，因为△DOE的周长为10，所以OE+DE+OD＝10，所以DE+OD＝10﹣3＝7，即AD+BD＝2（DE+OD）＝2×7＝14，所以BC+BD＝14，所以△BCD的周长＝BC+BD+CD＝14+6＝20，故选：D．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD＝10，CD＝6，作AF⊥DE于点G，交CD于F，则CF的长是（）A． B． C．32 D．2【分析】由矩形的性质得BC＝AD＝10，AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，则BE＝＝8，求得CE＝BC﹣BE＝2，因为AF⊥DE，所以AF垂直平分DE，则EF＝DF＝6﹣CF，由勾股定理得22+CF2＝（6﹣CF）2，求得CF＝，于是得到问题的答案．【解答】解：因为四边形ABCD是矩形，AE＝AD＝10，CD＝6，所以BC＝AD＝10，AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，所以BE＝＝＝8，所以CE＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，因为AF⊥DE于点G，交CD于F，所以AF垂直平分DE，所以EF＝DF＝6﹣CF，因为CE2+CF2＝EF2，所以22+CF2＝（6﹣CF）2，解得CF＝，故选：B．二、填空题本大题共6小题，每小题3分，满分18分。11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥3．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：因为二次根式在实数范围内有意义，所以x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．12．（3分）技术员分别从甲、乙两块玉米试验田中随机抽取100株玉米苗，测得玉米苗高的平均数相同，方差分别为，，则玉米苗长得更整齐的试验田是甲．【分析】根据方差越小，长势越整齐进行求解即可．【解答】解：因为，，所以S2甲＜S2乙，所以玉米苗长得更整齐的是甲，故答案为：甲．13．（3分）若直线y＝﹣2x+b与x轴的交点为（2，0），则关于x的一元一次方程﹣2x+b＝0的解为x＝2．【分析】将（2，0）代入直线函数解析式，求出b，再解关于x的方程即可解决问题．【解答】解：将（2，0）代入y＝﹣2x+b得，b＝4，则解方程﹣2x+4＝0得，x＝2，所以关于x的一元一次方程﹣2x+b＝0的解为x＝2．故答案为：x＝2．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC，点E是BC的中点，∠EAB＝35°，则∠CAD的度数为35°．【分析】利用直角三角形斜边中线的性质，求出∠B＝55°，可得结论．【解答】解：因为∠∠BAC＝90°，E是BC的中点，所以AE＝EB＝EC，所以∠B＝∠EAB＝35°，所以∠C＝90°﹣∠B＝55°，因为AD⊥BC，所以∠ADC＝90°，所以∠CAD＝90°﹣55°＝35°．故答案为：35°15．（3分）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西50°方向航行，那么慢船沿南偏西40°方向航行．【分析】根据三角形的三边长，可知AC2+BC2＝AB2，得∠ACB＝90°，从而得出答案．【解答】解：由题意知，AC＝24海里，BC＝10海里，AB＝26海里，因为AC2+BC2＝400，AB2＝400，所以AC2+BC2＝AB2，所以∠ACB＝90°，因为甲船沿北偏西50°方向航行，所以乙船以南偏东40°方向航行．故答案为：南偏西40°．16．（3分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C的坐标为（3，0），点D，E分别是线段BO，BC上的动点，且BD＝CE，则BC的长为5；当AD+AE的值取最小值时，点D的坐标为（0，）．【分析】依据题意，由一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，从而令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣3，故可得A（﹣3，0），B（0，4），又C为（3，0），从而可得BC＝＝5；又作CF⊥x轴于C，使得CF＝AB，连接EF，先证明△ABD≌△FCE，进而可得AD＝FE，故AD+AE＝AE+EF≥AF，则当E在AF上时，AD+AE最小，然后先求出直线AF为y＝x+，再求出BC，进而可得E的坐标，最后求出CE＝BD，结合D在y轴上可得坐标．【解答】解：由题意，因为一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，所以令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣3．所以A（﹣3，0），B（0，4）．又C为（3，0），所以OB＝4，OC＝3．所以BC＝＝5．如图，作CF⊥x轴于C，使得CF＝AB，连接EF，所以BO∥FC．所以∠FCE＝∠CBD．因为A（﹣3，0），C（3，0），所以OA＝OC．又OB⊥AC，所以AB＝BC＝CF＝5，∠ABD＝∠CBD＝∠FCE．在△ABD和△FCE中，，所以△ABD≌△FCE（SAS）．所以AD＝FE．所以AD+AE＝AE+EF≥AF．所以当E在AF上时，AD+AE最小．因为F（3，5），A（﹣3，0），所以直线AF为y＝x+．又因为直线BC为y＝﹣x+4，所以联列方程组．所以E（，）．所以CE＝BD＝．所以D的纵坐标为：4﹣＝．所以D（0，）．故答案为：5；（0，）．三、解答题本大题共9小题，满分72分。17．（4分）计算：．【分析】根据乘法的分配律以及合并同类二次根式进行计算即可．【解答】解：原式＝2+3﹣3＝3﹣．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧交AB于点D，求BD的长．【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再由题意可得到AD＝AC，根据BD＝AB﹣AD即可算出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝＝＝10，因为以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，所以AD＝AC＝6，所以BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．19．（6分）如图，E、F为▱ABCD的对角线AC上的两点，请你添加一个条件，使得BE＝DF．（1）你添加的条件是AE＝CF（答案不唯一）．（2）根据你添加的条件和题目的已知条件，求证：BE＝DF．【分析】（1）由题意添加条件即可；（2）由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，则∠BAE＝∠DCF，再证明△ABE≌△CDF（SAS），即可得出结论．【解答】（1）解：添加条件：AE＝CF，故答案为：AE＝CF（答案不唯一）；（2）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，AB∥CD，所以∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，所以△ABE≌△CDF（SAS），所以BE＝DF．20．（6分）小明打算利用暑假阅读名著《儒林外史》，该书有472页，他计划每天看15页，设小明看书时间为x天，还剩下y页书没看．（1）求y与x的函数关系．（2）当小明阅读20天后，还剩下多少页书没看．【分析】（1）根据题意列函数关系式；（2）代入数据求值．【解答】解：（1）y与x的函数关系式：y＝﹣15x+472；（2）x＝20时，y＝﹣15×20+472＝172（页），所以当小明阅读20天后，还剩下172页书没看．21．（8分）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得成功，将我国航天事业推向了新的高峰．南沙区某中学为了丰富学生们航天知识，组织全校学生进行航天知识竞赛，并随机抽取50名学生的成绩，整理成如统计表：分数60708090100频数23151614（1）该50名同学这次竞赛成绩的中位数是90．（2）求该50名同学这次竞赛成绩的平均数．（3）若竞赛成绩90分以上（含90分）为优秀，该校有1500名学生，请估计竞赛成绩为优秀的人数．【解答】解：（1）把50名学生的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是90，90，故中位数90；故答案为：90；（2）该50名同学这次竞赛成绩的平均数为（2×60+3×70+15×80+16×90+14×100）÷50＝87.4；（3）1500×＝900（名），答：估计竞赛成绩为优秀的人数为900名．22．（10分）已知一次函数y＝（3﹣m）x+4的图象不经过第四象限．（1）求m的取值范围．（2）当m＝1时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（3）在（2）的情况下，当﹣3＜x≤1时，根据图象求出y的取值范围．【分析】（1）根据一次函数图象与系数的关系得到3﹣m＞0，即可得出答案；（2）根据两点确定一条直线可以画出该函数的图象；（3）根据函数图象即可得到结论．【解答】解：（1）因为一次函数y＝（3﹣m）x+4的图象不经过第四象限，所以3﹣m＞0，解得m＜3；（2）当m＝1时，所以y＝（3﹣1）x+4＝2x+4，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣2，该一次函数的图象如图所示：（3）由图象可得，当﹣3＜x≤1时，y的取值范围是﹣2＜x≤6．23．（10分）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：（1）化简；＝．＝3﹣3．（2）矩形的面积为，一边长为，求这个矩形的周长．（3）当a＞b＞0时，化简：．【分析】（1）分别分子、分母同乘和﹣即可；（2）首先求另一边长为6﹣2，再按矩形的周长公式计算即可；（3）把各加数分母有理化，再加减即可．【解答】解：（1）＝＝，＝＝3﹣3；故答案为：，3﹣3；（2）另一边长为：＝＝6﹣2，所以2（+2+6﹣2）＝16﹣2，答：这个矩形的周长为16﹣2；（3）当a＞b＞0时，＝﹣＝＝．24．（12分）如图1，矩形ABCD的一边AD在x轴上，点C的坐标为（﹣2，4），点A的坐标为（4，0）．（1）求证：四边形OABE为正方形；（2）如图2，若点F为AB中点，连接OC，OF，直线AC交OF于点G，交y轴于点H．①求△OCG的面积．②点M在x轴的正半轴上，平面内是否存在点N，使以点A，HM，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由A（4，0）得OA＝4，根据四边形ABCD是矩形，C（﹣2，4），可得OA＝OE＝4，∠OAB＝∠B＝∠EOA＝90°，故四边形OABE为正方形；（2）①求出F（4，2），直线OF解析式为y＝x，直线AC解析式为y＝﹣x+，联立，可得G（，），再求出H（0，），OH＝，故S△COH＝××2＝，S△GPH＝××＝，从而S△OCG＝+＝；②设M（t，0），N（m，n），当AH，MN为对角线时，AH，MN的中点重合，且AM＝HM，有，可解得N（，）；当AN，MH为对角线时，AN，MH的中点重合，且AM＝AH，同理得N（8，﹣）；当AN，MH为对角线时，AN，MH的中点重合，且AM＝AH，可得N（4，）．【解答】（1）证明：因为A（4，0），所以OA＝4，因为四边形ABCD是矩形，所以∠C＝∠CDA＝∠DAB＝∠B＝90°，因为∠DOE＝90°，所以四边形CDOE是矩形，因为C（﹣2，4），所以CD＝OE＝4，所以OA＝OE＝4，因为∠OAB＝∠B＝∠EOA＝90°，所以四边形OABE为正方形；（2）解：①由（1）知，OA＝4，四边形OABE为正方形，所以B（4，4），因为点F为AB中点，所以F（4，2），由O（0，0），F（4，2）的直线OF解析式为y＝x，由A（4，0），C（﹣2，4）得直线AC解析式为y＝﹣x+，联立，解得，所以G（，），在y＝﹣x+中，令x＝0得y＝，所以H（0，），所以OH＝，所以S△COH＝××2＝，S△GPH＝××＝，所以S△OCG＝+＝，所以△OCG的面积为；②平面内存在点N，使以点A，HM，N为顶点的四边形是菱形，理由如下：设M（t，0），N（m，n），而A（4，0），H（0，），当AH，MN为对角线时，AH，MN的中点重合，且AM＝HM，所以，解得，所以N（，）；当AM，HN为对角线时，AM，HN的中点重合，且AH＝HM，所以，解得或（此时M不在x轴正半轴，舍去），所以N（8，﹣）；当AN，MH为对角线时，AN，MH的中点重合，且AM＝AH，所以，解得或（舍去），所以N（4，）；综上所述，N的坐标为（，）或（8，﹣）或（4，）．25．（12分）四边形ABCD是正方形，点E是射线CB上一动点，过点A作AE⊥AF交直线CD于点F，作∠EAF的平分线AH交直线BC于点H，连接HF．（1）如图1，若点E在线段CB延长线上，点H在线段CB上．①求证：∠1＝∠2；②如图2，连接BD交AH于点K，交AF于点L，请探索BK，KL，DL之间的数量关系并证明．（2）请直接写出BH，BE和HF之间的数量关系．【分析】（1）①由四边形ABCD是正方形，得∠1+∠BAF＝90°，由AE⊥AF，得∠2+∠BAF＝90°，故∠1＝∠2；②在AE上取点G，使AG＝AL，连接BG，KG，证明△ABG≌△ADL（SAS），可得BG＝DL，∠ABG＝∠ADL，根据四边形ABCD是正方形，可得∠GBK＝∠ABD+∠AB