辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 含解析

丹东市2024~2025学年度（上）期末教学质量监测高二数学总分150分时间120分钟命题：杨晓东郭欣葛冰阮征石婧审核：杨晓东注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用直线的方向向量求得直线斜率，即可求出直线倾斜角.【详解】由直线的方向向量为可知直线斜率，又因为倾斜角，且，所以.故选：C2.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据抛物线标准方程可直接求解.【详解】由标准方程可得，即；所以准线方程为.故选：A3.圆与圆的位置关系是（）A.内含 B.内切 C.外切 D.相交【答案】D【解析】【分析】求圆与圆的圆心及半径，再求圆心距及半径的和与差，结合圆与圆的位置关系的定义判断结论.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，，，所以圆与圆相交，故选：D.4.一个口袋里装有大小不同的2个红球和4个白球，从中取3个球，则至少含有1个红球和1个白球的取法有（）A.35种 B.32种 C.16种 D.14种【答案】C【解析】【分析】求出从装有大小不同的2个红球和4个白球的口袋里取3个球的取法，求出其中全部为白球的取法即可求解.【详解】从装有大小不同的2个红球和4个白球的口袋里取3个球有种取法，其中全部为白球有种取法，则至少含有1个红球和1个白球的取法有种.故选：C.5.在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.【详解】由题意，所以，解得，故选：B6.将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（）A.90种 B.180种 C.60种 D.120种【答案】A【解析】【分析】先将5名志愿者按要求分成三组，再将分得的三组分配到A，B，C三个地区，按分组分配方法计算即可得解.【详解】由题先将5名志愿者分成三组有种分法，再将分得的三组分配到A，B，C三个地区参加公益活动有种分法，所以所求的不同的分配方案有种.故选：A.7.在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再由线面角的向量求法可得结果.【详解】因为两两互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：由可设，则，因此，显然，，设平面的一个法向量为，则，令，则；所以，设直线与平面所成的角为，所以.故选：A8.已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据点差法结合直线斜率可求出，即可得到椭圆的离心率.【详解】由题意得，.设，则，∵点在椭圆上，∴，两式相减得，，即，∴，∴，∴C的离心率.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在的展开式中，则（）A.x的系数为135 B.第4项的二项式系数为10C.无常数项 D.所有项的系数之和为125【答案】BC【解析】【分析】求出二项展开式的通项公式，再逐项计算判断即可.【详解】的展开式的通项公式为，对于A，令，则，故的系数为，故A错误；对于B，令，则，故第4项的二项式系数为，故B正确；对于C，因为为奇数，故展开式中无常数项，故C正确；对于D，令，则所有项系数之和为，故D错误；故选：BC.10.已知直线与圆交于两点，则（）A.直线恒过定点 B.圆与轴相切C.最大值为2 D.的面积最大值为【答案】BCD【解析】【分析】选项A，当时，，可判断；选项B，圆心到轴的距离为半径可判断；选项C，直线的定点在圆上，故最大为直径2；选项D，设到的距离为，则，进而可得.【详解】选项A：当时，，故直线恒过定点，故A错误；选项B：圆圆心为，半径为，由圆心到轴的距离为，即等于半径，故圆与轴相切，故B正确；选项C：由题意在圆上，故当为圆的直径时，最大为2，故C正确；选项D：设到的距离为，则，，，当且仅当，即时等号成立.故D正确，故选：BCD11.已知正三棱柱中，，且满足，，则（）A.当时，与所成角的余弦值为B.当时，平面平面C.存在，，使平面平面D.存在，，使二面角为钝角【答案】AC【解析】【分析】根据正三棱柱的性质建立空间直角坐标系，利用异面直线成角、面面平行、面面垂直和二面角的向量求法逐项判断即可.【详解】因为三棱柱是正三棱柱，取，中点，，分别以为轴建立如图所示坐标系，设，则，，，，，，，选项A：当时，，，此时与所成角的余弦值为，说法正确；选项B：当时，，，，，设平面的法向量，平面的法向量，则，解得平面的一个法向量，，解得平面的一个法向量，因无解，所以平面与平面不平行，B说法错误；选项C：显然当，，即与重合，与重合时，由正三棱柱的性质可知平面平面，C说法正确；选项D：过作，垂足为，过作，垂足为，因为四边形为正方形，故，同理，故，故，所以，同理，，所以，而，故，所以，故为锐角即的平面角为锐角，而的平面角不超过的平面角，故二面角的平面角小于，故D错误.故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，若，则__________.【答案】2或14【解析】【分析】利用双曲线标准方程及其定义计算即可求出结果.【详解】由双曲线可知，所以，因此的最小值为；再由双曲线定义可知，可知2或14.故答案为：2或1413.计算：__________.（结果用数字作答）【答案】【解析】【分析】利用可求代数式的值.【详解】，故答案为：14.已知椭圆的左右焦点为，，双曲线（，）的左右顶点分别为，，C与D在第一，第二象限的交点为，则__________；若直线，的斜率之积为，则D的渐近线方程为__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据图形的对称性及椭圆定义可得的值；设，，表示，根据点在双曲线上可求得的值，即可得到结果.【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，故，则.由图形对称性得，，∴.设，则，则，，∴，∵点在双曲线上，∴，故，∴，解得，∴D的渐近线方程为，即.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用点在双曲线上，结合直线、的斜率之积确定的值，即可得到双曲线的渐近线方程.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知，是椭圆的焦点，，且过点.（1）求C的方程；（2）若点P在C上，，求的面积.【答案】（1）（2）2.【解析】【分析】（1）根据椭圆顶点坐标和焦距长代入标准方程即可求得结果；（2）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得，再由的面积是的面积的一半即可求解.【小问1详解】因为是椭圆短半轴的一个顶点，则，又，则，由，则，所以C的方程为.【小问2详解】如下图所示：根据椭圆的定义及可得①②联立①②得，则的面积为，因为的面积是的面积为，所以的面积为2.16.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，是边长为2的等边三角形，.（1）证明：平面平面ABCD：（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）由，得到，再由，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；（2）法一：由（1）可知平面PCD，过D作，由三垂线定理得到是二面角的平面角求解；法二：以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，先求得平面APC的一个法向量为，再由是平面PCD的法向量，由求解.【小问1详解】证明：因为，所以.因为，，所以平面PCD.因为平面ABCD，所以平面平面ABCD.【小问2详解】法一：因为，由（1）可知平面PCD.如图所示：在平面PCD内过D作，垂足为E，连结AE，由三垂线定理可得，因此是二面角的平面角.在等边中，，，所以.于是二面角的余弦值为.法二：以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）可知z轴在平面PCD内.则，，，，.设平面APC的一个法向量为，由，可得，可取.又是平面PCD的法向量，故.因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.17.已知点M到定点的距离比它到直线的距离小2，记动点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）直线交C于P，Q两点，点，直线AP，AQ的斜率之和为0，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出轨迹方程.（2）设出点坐标，利用斜率坐标公式列式计算得解.【小问1详解】由点M到点的距离比它到直线的距离小2，得点M到点的距离等于它到直线的距离，因此点M的轨迹C是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以C方程为.【小问2详解】由（1）设点，，显然，由直线AP，AQ的斜率之和为0，得，解得，所以直线的斜率.18.如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E、F分别是线段PA，CD的中点.（1）求EF；（2）求直线EF与BD所成的角的余弦值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）解法一：以为基底，根据结合空间向量的数量积运算求解即可；解法二：过点P作平面ABCD，垂足为Q，连接QB，QD，QA，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，再根据两点间的坐标公式求解即可；（2）解法一：根据空间向量数量积运算可得，结合求解即可；解法二：根据空间向量的坐标运算求解即可.【小问1详解】解法一：以为基底，则，，.因为.因此解法二：过点P作平面ABCD，垂足为Q，连接QB，QD，QA，由，，所以，在，中，得，有，则，即AQ是的平分线，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由三余弦定理知，得，所以，，，，则，，所以.【小问2详解】解法一：因为而，所以，于是EF与BD所成的角的余弦值为.解法2：由（1）知，所以，于是EF与BD所成的角的余弦值为.【点睛】19.某核磁实验基地建设两条电磁辐射隔离带，两条电磁辐射隔离带的形状可近似的看成双曲线.记双曲线（，），其渐近线方程为，且过点.（1）求C的方程；（2）在点处存在一个强辐射中心，并释放着一个近似圆形的高能粒子团，记为，其半径可变（范围不超过隔离带），控制中心为更好的监测高能粒子区域，在点发射两条与相切的伽马射线，两条切线与电磁辐射隔离带分别交于，两点（异于点）.若经过点反射的光线不经过点，则系统才能正常工作，为使系统正常运行，需要摆放一个光线屏蔽器，求此光线屏蔽器所在位置的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由双曲线的渐近线方程为，可得，将点代入双曲线