北师大版九年级数学上册全册2

反比例函数

教学目标：经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数

的概念。

教学程序：

一、导入：

1、从现实情况和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加强对函数概

念的理解，导入反比例函数。

2-.U=IR,当U=220V时，

(1)你能用含R的代数式表示I吗？

(2)利用写出的关系式完成下表：

R(Q)20406080100

I(A)

当R越来越大时，I怎样变化?

当R越来越小呢？

(3)变量I是R的函数吗？为什么？

答：①[=£

②当R越来越大时，I越来越小，当R越来越小时，I越来越大。

③变量I是R的函数。当给定一个R的值时，相应地就确定了一个I值，因此1

是R的函数。

二、新授：

1、反比例函数的概念

一般地，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=^(k为常数，k#0)的形式，

那么称y是x的反比例函数。

反比例函数的自变量x小能为零。

2、做一做

一•个矩形的面积为20CH?,相邻两条边长分别为xcm和ycm,那么变量y是变量x

的函数吗？是反比例函数吗？

2()

解：y=v，是反比例函数。

三、课堂练习：

P133,12

四、作业：

P133,习题5.11、2题

反比例函数的图象与性质

教学目标：使学生会作反比例函数的图象，并能理解反比例函数的性质。培养提高学生

的计算能力和作图能力。

教学重点、难点：作反比例函数的图象。理解反比例函数的性质。

教学程序：

一、复习：

1、函数有哪几种表示方法？

答：图象法、解析法、列表法

2.一次函数尸1«+6有什么性质？

答：一次函数产kx+l的图象是一条直线。

当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。

二、新授：

1、作反比例函数污的图象：

列表:

_/_1_

X-424

-8-3-2-1~2~218

4

描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。

连线：用光滑的曲线顺次连结各点，即可得到函数沟4的图象。

2、你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？

列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样既可简化

计算，又便于描点。

3、作反比例函数尸9的图象。

4、观察函数y=。和尸一I的图象，它们有什么相同点和不同点？

图象分别都是由两支曲线组成的，它们都不与坐标轴相交，两个函数图象都是轴对称图

形，它们各自都有两条对称轴。

5、反比例函数H的图象是由两支曲线组成的，当k>0时，两支曲线分别位于一、三

象限内，当k<()时，两支曲线分别位于第二、四象限内。

三、随堂练习

P136：I、2

四、作业：P137习题5.2I

反比例函数的图象与性质

知识目标：使学生理解反比例函数V（k#0）的增减性质。培养、提高学生的空间想象

能力。

教学难点：反比例函数的对称性质

教学程序：

一、新授：

1、观察反比例函数2V，尸4；，式6的图象，回答下列问题？

（1）函数图象分别位于哪儿个象限内；

（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化的？能说明这是为什么吗？

（3）反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？

答：（1）第一、三象限

（2）y的值随着x值的增大而减小；

（3）不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，因为xWO,所以图象与y轴不可

能有交点,因为不论x取何实数值，y的值永不为0（因kRO）所以图象与x轴不可能

有交点。

2、考察当k=-2,-4,—6时，反比例函数T的图象，回答（1）中的三个问题。

3、反比例函数图象的性质：

反比例函数V的图象，当k>0时，在第一•象限内，y的值随x的增大而减小；当k<0

时，在每一象限内，y的值随x的增大而增大。

4、在一个反比例函数图象上任取两点P、Q,过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐

标轴围成的矩形面积为S”过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的面积为

S2,S）与S2有什么关系？为什么?

S1=S2=|K|

5、将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合吗？

反比例函数的图象是一个以原点为中心的中心对称图形；

反比例函数是一个以y=±x为对称轴的轴对称图形。

二、随堂练习：P1391、2

三、作业：P141习题5.31、2

反比例函数的应用

教学目标：使学生对反比例函数和反比例函数的图象意义加深理解。

教学重点：反比例函数的应用

教学程序：

一、新授：

1、实例1：（1）用含S的代数式表示P,P是S的反比例函数吗？为什么？

答：PW（S>0）,P是S的反比例函数。

（2）、当木板面积为0.2n?时，压强是多少？

答：P=3000Pa

（3）、如果要求压强不超过6000Pa,木板的面积至少要多少？

答：至少O.lnA

（4）、在直角坐标系中，作出相应的函数图象。

（5）、请利用图象（2）和（3）作出直观解释，并与同伴进行交流。

二、做-•做

1、（1）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（。）之间的函数

关系如图5-8所示。

（2）蓄电池的电压是多少？你以写出这一函数的表达式吗？

电压U=36V,1=^

2、完成下表,并回答问题,如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A,那

么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？

R(Q)345678910

I(A)

3、如图5-9,正比例函数产klx的图象与反比例函数卡的图象相交于A、B两点,

K

其中点A的坐标为（而，2小）

（1）分别写出这两个函数的表达式；

（2）你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？与同伴进行交流；

二、随堂练习：

P145-1461、2、3、4、5

三、作业:P146习题5.41、2

花边有多宽

教学目标：

I、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。

2、渗透“夹逼”思想

教学重点难点：用“夹逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的近似解。

教学方法：讲授法

教学用具：幻灯机

教学程序：

一、复习：

1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax2+bx+c-0(a#0)

2、指出下列方程的二次项系数，•次项系数及常数项。

(1)2X2-X+1=0(2)-X2+1=0(3)X2-X=0(4)一/x2=0

二、新授：

1、估算地毯花边的宽。

地毯花边的宽x(m),满足方程(8-2x)(5-2x)=18

也就是:2X2-13X+11=0

你能求出x吗？

(1)x可能小于。吗？说说你的理由；x不可能小于0,因为x表示地毯的宽度。

(2)x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？

x不可能大于4,也不可能大于2.5,x>4时,5—2x<0,x>2.5时,5-2x0.

(3)完成下表

X00.511.522.5

2x2-13x+ll

从左至右分别11,4.75,0,一4,-7,-9

(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。

地毯花边1米，另，因8-2x比5-2x多3,将18分解为6X3,8-2x=6,x=l

2、例题讲析：

例：梯子底端滑动的距离x(m)满足(x+6六72=10?

也就是x?+12x-15=0

（1）你能猜出滑动距离x（m）的大致范围吗?

（2）x的整数部分是几？十分位是几？

X00.511.52

x2+12x—15-15-8.75-25.2513

所以l<x<1.5

进一步计算

X1.11.21.31.4

X2+12X-15-0.590.842.293.76

所以l.l<x<1.2

因此x的整数部分是1,十分位是1

注意：（1）估算的精度不适过高。（2）计算时提倡使用计算器。

三、巩固练习：P47,随堂练习1

四、小结：估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高。

五、作业：P47,习题2.2：1、2

九年级上期数学教案

直角三角形（第一课时）

教学目标：

1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

2、了解勾股定理及其逆定理的证明方未能，能够证明直角三角形全等的“HL”判定定

理。

3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题

不一定成立。

教学过程：

引入：我们曾经利用数方格和割补图形的方未能得到了勾股定理。实际上，利用公理及

其推导出的定理，我们能够证明勾股定理。

定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如图，在aABC中，ZC=90°，BC=a,AC=b,AB=c,

延长CB至点D,使BD=b,作/EBD=/A,并取BE=c,连接ED、AE,则AABC当

△BED。

・・・NBDE=90°,ED=a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)。

・•・四边形ACDE是直角梯形。

；・S掷影ACDE=1(a+b)(a-b)=1(a+b)2

AZABE=180°-ZABC-ZEBD=180°-90°=90°

AB=BE

,**S梯影ACDE=SAABE+SAABC+SABED,

(a+b)2=^c2+^abgab吗

:.a2+b2=c2

反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法

得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明这个结论吗？

已知：如图，在aABC,AB2+AC2=BC2,求证：AABC是宜角三角形。

证明：作出使NA=90°,A'B^AB,A，C』AC,贝ij

A,B,2+A,C>2=B,C,2(勾股定理)

VAB2+AC2=BC2，AE=AB,AC=AC,

:.BC^B'C'2

・•・BC=B,C,

•••△ABCg/XA'B'C'(SSS)

・•・/A=NA=9()°(全等三角形的对应角相等)

因此，AABC是直角三角形。

定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两

个命题称为另一个命题的互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是

真命题，那么它也是一个定理。这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定

理的逆定理。

练习题：随堂作业

作业:P20：1、2、3

九年级上期数学教案

直角三角形（第二课时）

教学目标：

1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

2、了解勾股定理及其逆定理的证明方未能，能够证明直角三角形全等的“HL”判定定

理。

3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题

不一定成立。

教学过程：

复习：

1、勾股定理即其逆定理。

2、全等三角形的证明。

新授：

引入：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一边所对的角是

直角呢？

定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示。

已知：如图，△ABC和△A，B，C中NC=NC=90°，且AB=A'B',BC=B'C',

求证：△ABCgZ^A'B'C'

证明：RtAABC和RtAAB'C'中,

•・・AB=AB,BC=BC,AC2=BC2-AB2,XC,2=BX,2-A：B>2

•・・AC2=AC2・・・AC=AC

/.△ABCgA'B'C'(SSS)

做一做：

用三角尺可以作角平线，如图，在已知NAOB的两边上分别取点M、N,使OM=ON,

再过点M作OA的乖线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P,那么射线OP就是/

AOB的平分线

请证明：

ARtAMCP^RtANCP(IIL)

・•・NMCP=/NCP(全等三角形对应角相等)

议一议：如图，已知NACB=BDA=90°,要使△ACBg^BDA,还需要什么条件？把

它们分别写出来。

随堂练习

判断下列命题的真假，并说明理由。

（I）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。

（2）斜边及•锐角对应相等的两个直角三角形全等。

（3）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（4）一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等。

作业：P231、2

配方法(第一课时)

教学目标：

1、会用开平方法解形如(x+m^=n(n20)的方程；

2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；

3、体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程。

教学程序：

一、复习：

1、解下列方程：

(1)X2=9(2)(X+2)2=16

2、什么是完全平方式？

利用公式计算：

(1)(x+6)2(2)(x-1)2

注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。

3、解方程：(梯子滑动问题)

X2+12X-15=0

二、新授：

1、引入：像上面笫3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形

式呢？

2、解方程的基本思路(配方法)

如：X2+12X-15=0转化为

(X+6)2=51

两边开平方，得

X+6=±V?T

.\xi=y[5\—6x2=—y[5\—6(不合实际)

因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m/=n的形式，它的一

边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当nNO时，两边开平方便可求出它的

根。

3、配方：填上适当的数，使下列等式成立：

(1)x2+12x+=(x+6)2

(2)x2_12x+=(x_)2

(3)X2+8X+=(x+)2

从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。

4、讲解例题:

例I：解方程:X2+8X-9=0

分析•：先把它变成(x+m)三。(n>0)的形式再用直接开平方法求解。

解：移项，得:X2+8X=9

配方，得：X2+8K+42=9+42（两边同时加上一次项系数一半的平方）

即：（X+4）2=25

开平方，得：x+4=±5

即：x+4=5,或x+4=—5

所以:X]=Lx2=—9

5、配方法：通过配成完全平方式的方法得到了•元二次方程的根，这种解•元二闪方

程的方法称为配方法。

三、巩固练习：

P50,随堂练习：1

四、小结：

（1）什么叫配方法?

（2）配方法的基本思路是什么？

（3）怎样配方?

五、作业：P50习题2.3I、2

六、教学后记

配方法(二)

教学目标：

1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。

2、进一步理解配方法的解题思路。

教学重点、难点：用配方法解一元二次方程的思路：给方程配方。

教学程序：

一、复习：

1、什•么叫再己方法？

2..怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。

3、解方程：

(1)X2+4X+3=0(2)X2-4X+2=0

二、新授：

1、例题讲析：

例3：解方程：3X2+8X-3=0

分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。

解：两边都除以3,得：x2+|x-l=O

移项，得：X2+-|X=1

配方，得：X2+|x+(1)2=1+(1)2(方程两边都加上一•次项系数一半的平方)

)2=(|)2

451

即：X+T=±-所以XiF»x=-3

JJJ2

2、用配方法解一元一次方程的步骤：

(1)把二次项系数亿为I;

(2)移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。

(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

(4)用直接开平方法求出方程的根。

3、做一做：

一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足

关系：h=15t—5t2

小球何时能达到10m高？

三、巩固：

练习：P51,随堂练习：1

四、小结：

1、用配方法解一元二次方程的步骤。

（1）化二次项系数为1;

（2）移项；

（3）配方：

（4）求根。

五、作业：P33,习题2.41、2

六、教学后记

配方法(三)

教学目标：1、经历到方程解决实际，问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界

中数量关系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识和能力；

2、进一步掌握用配方法解题的技能

教学重点、难点：列一元二次方程解方程。

教学程序：

一、复习：

1、配方:

(1)X2—3x+=(x—)2

(2)X2-5x+=(x-)2

2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

3、用配方法解F列一元二次方程？

(1)3X2-1=2X(2)X2-5X+4=0

二、引入课题：

我们已经学习了用配方法解一元二次方程，在生产生活中常遇到一些问题，需要用

•元二次方程来解答，请同学们将课本翻到54页，阅读课本，并思考：

二、出示思考题:

1、

16m

(幻灯片)

如图所示：

(1)设花园四周小路的宽度均为xm,可列怎样的一元二次方程?

(16-2x)(12-2x)=1X16X12

(2)一元二次方程的解是什么？

x(=2X2=12

(3)这两个解都合要求吗？为什么？

xi=2合要求，X2=12不合要求，因荒地的宽为12m,小路的宽不可能为12m,

它必须小于荒地宽的一半。

2、设花园四角的扇形半径均

为xm,可列怎样的一元二次

方程？

x2n=iX12X16

（2）一元二次方程的解是什

么？

XI

X2七一5.5

（3）合符条件的解是多少?

Xi=5.5

3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。

（1）花园为菱形？（2）花园为圆形

五、小结：

1、本节内容的设计方案不只一种，只要合符条件即可。

2、设计方案时，关键是列一元二次方程。

3、一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解。

六、作业：

P56,习题2.5,1、2

七、教学后记：

为什么是0・618（第一课时）

知识目标：1、掌握黄金分割中黄金比的来历；

2、经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认以

方程模型的重要性。

教学重点难点：列一元一次方程解应用题，依题意列一元二次方程

教学程序：

一、复习

1、解方程：

(1)xz+2x+l=0(2)x2+x—1=0

2、什么叫黄金分割？黄金比是多少？（0.618）

3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解？

（方程一边为零，另一边可分解为两个一次因式）

二、新授

1、黄金比的来历

如图，如果隽考，那么点c叫做线段AB的黄金分割点。

AoAC

ACB

由强""AC'得AC?=AB•CB

设AB=1,AC=x,贝IJCB=1—x

Ax=lX（l-x）即：x2+x—1=0

解这个方程，得

（不合题意，舍去）

XL2，X2=2

所以：黄金比煞-0.618

ADZ

A/S—1

注意：黄金比的准确数为七一，近似数为0.618.

上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题，其

实，很多实际问题都可以应用一元二次方程来解决.

2、例题讲析：

例1：P64题略（幻灯片）

（1）小岛D和小岛F相距多少海里？

（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C

的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1海

里)

解：(1)连接DF,则DF_LBC,

VAB1BC,AB=BC=200海里

AAC=V2AB=2OOV2海里，ZC=45°

.*.CD=|AC=10072海里DF=CF,也DF=CD

；.DF=CF*CD萼XI()()^2=100海里

所以，小岛D和小岛F相距100海里。

(2)设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里

EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300—2x)海里

在RtZ\DEF中，根据勾股定理可得方程：X2=1002+(300-2X)2

整理得，3x2—12()0x+100000=0

解这个方程，得：xl=200一丹尼^118.4

x2=200+」号区(不合题意，舍去)

所以，相遇时，补给船大约航行了U8.4海里。

三、巩固：练习，P65随堂练习：1

四、小结：列方程解应用题的三个重要环节:

1、整体地，系统地审清问题；

2、把握问题中的等量关系；

3、正确求解方程并检验解的合理性。

五、作业：P66习题2.8：1、2

六、教学后记:

为什么是0.618（第二课时）

教学目标：

1、分析具体问题中的数量关系，列出一元二次方程；

2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。

教学重点、难点：列一元一次方程解应用题，找出等量关系列方程。

教学程序：

一、复习：

1、黄金分割中的黄金比是多少？［准确数为咛”，近似数为0.618］

2、列方程解应用题的三个重要环节是什么？

3、列方程的关键是什么？（找等最关系）

4、销售利润=____________一

［销售价］［销售成本］

二、新授

在F1常生活生产中，我们常遇到•些实际问题，这些问题可用列•元二次方程的方法来

解答。

1、讲解例题：

例2、新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明，为销售价为2900

元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，

商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价为多少元？

分析：

每天的销售量（台）每台的利润（元）总利润（元）

降价前84003200

降价后8+4啮40()—x(8+§)X(400-x)

每台冰箱的销仙:利润X平均每天销化:冰箱的数量=500（）元

如果设每台冰箱降价为x元，那么每台冰箱的定价就是（2900-x）元，每台冰箱的销

售利润为（2900—x—2500沅。这样就可以列出一个方程，进而解决问题了。

解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得：

（2900-x-2500）（8+4X^）=5000

2900-150=2750元

所以，每台冰箱应定价为2750元。

关键：找等量关系列方程。

2、做一做：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调

查表明这种台灯的售价每上涨一元，某销售量就减少10个，为了实现平均每月20000

的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？

分析：每个台灯的销售利润X平均每天台灯的销售量=10000元

可设每个台灯涨价X元。

(40+X-30)X(600-10x)=10000

答案为：xl=10,x2=40

10+40=50,40+40=80

600-10X10=500600-10X40=200

三、练习：P68随堂练习1

四、小结：五、作'必P68习题2.91六、教学后记：

一元二次方程的复习

教学目标：1、熟练掌握一元二次方程的解法，能灵活选择方法解一元二次方程。

2、能利用方程解决有关实际问题，提高学生的应用能力。

教学重点、难点：一元二次方程的几种解法；列一元二次方程解应用题。

教学程序：一、兔习：1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？它的二次项系

烽，一次项系数，常数项各是什么？

2、一元二次方程有哪些解法？

3、一元二次方程的求根公式是什么？

4..列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？关键是什么？

二、新课讲析：

1、解下列方程：

(1)2(X+3)2=X(X+3)(2)x2—2小x_2=o

解：⑴2(X+3)2=X(X+3)

.*.xl=­3x2=—6

(2)x2-2小x+2=0

这里a=l,b=-2<5,c=2

Ab2-4ac=(-2V5)2-4X1X2=12

即：十曲,x2--\[5--\[3三、练习：

1、解下列方程：

(1)x(x-8)=0

(2)x2+12x+32=0

2、当x为何值时，代数式x2/3x+12=O的值等于42?

3、已知2T5是方程x?-4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值,

4、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无

盖的盒子，已知盒子的容积是400cm)求原铁皮的边长。

四、课堂小结：

1、一元一次方程的一般形式：

ax2+bx+c=0(aK0)

2、一元二次方程的解法：

(1)配方法：方程两边同加上一次项系数一半的平方。

(2)公式法:：x二°土喜F(b2-4ac>0)

(3)分解因式法：方程一边为0,另一边分解为两个一次式的积。

3、列一元一次方程解应用题：

(I)步骤：a、设未知数；b、列方程；c、解方程；d、检验；e、作答。

(2)关键：寻找等量关系。

五、作业：P69复习题：4、6、7、8六、教学后记：

角平分线

教学目标：

1、进一步发展学生的推理证明意识和能力；

2、能够证明角平分线的性质定理、判定定理及相关结论

3、能够利用尺视作已知角的平分线。

A

教学过程：

定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

证明：如图0C是/AOB的平分线，点P在0C

上

PD±OA,PEJ_OB,垂足分别为D、E,

VZ1=Z2,OP=OP,

ZPDO=ZPEO=90°

AAPDO^APEO(AAS)

・・・PD=PE(全等三角形的对应边相等)

其逆命题也是真命题。引导学生自己证明。

定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的下分线上。

做一做：用尺规作角的平分线。

已知：ZAOB

求作：射线0C,使NAOC=NBOC

作法：1、在0A和0B上分别截取OD、0E,使OD=OE

2、分别以D、E为圆心，以大于3DE的长为半径作弧，两弧在NAOB内交于点C。

3、作射线0C

OC就是/AOB的平分线。

读一读：尺规作图不能问题：

三等分一个任意角，倍立方一求作一个

立方体，使该立方体的体积等于给定立方

体的两倍。化圆为方一一求作一个正方形,

使其与给定圆的面积相等。

课堂练习:P32,I、2题

作业：P34,1、2、3题。

线段的垂直平分线（第一课时）

教学目标:

1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。

2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。

3、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能利用尺规作出

等腰三角形。

教学过程：我们曾利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的

距离睛•等，你能证明这一结论吗？

定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

已知：如图，直线MN_LAB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的任意一点。

求证：PA=PB。

证明：VMN1AB,

・•・ZPCA=ZPCB=90°

VAC=BC,PC=PC

AAPCA^APCB（SAS）

・・.PA=PB（全等三角形的对应边相等）

想一想，你能写出上面这个定理的逆合题吗？

它是真命题吗？如果是请证明：

定理到一条线段两个端点距离相等的点，

在这条线段的垂直平分线上。

（利用等腰三角形三线合一）

做一做

用尺规作线段的垂直平分线

已知：线段AB求作：线段AB的垂直平分线。

作法：1、分别以点A和B为圆心，

以大于gAB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D,

2、作直线CD。

直线CD就是线段AB的垂直平分线。A--------------------------B

请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，

并与同伴进行交流。

因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，

所以我们也用这种方法作线段的中点。»D

随堂练习：P26

作业：P27,1、2、3、教学后记：

线段的垂直平分线（第二课时）

教学目标：

1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学牛.的推理证明意识和能力。

2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。

3、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能利用尺规作出

等腰三角形。

教学过程：

引入：

剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，

你发现了什么？当利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线时，你是否也发现了同样的

结论？

定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等C

证明：在aABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点P,连接AP、BP、CP,

•・•点P在线段AB的垂直平分线上

・•・PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等）

同理：PB=PC

・••点P在AC的垂直平分线上

（到一条线段两个端点距离相等的

点，在这条线段的垂直平分线上）。

AAB,BC,AC的垂直平分线相交

于点P。

议一议：1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作

几个？所作的三角形都全等吗？（这样的三角形能作出无数多个，它们不都全等）

2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？（满

足条件的等腰三角形可和出।两个，分加位于已知边的两侧，它们全等）。

做一做：

已知底边上的高，求作等腰三角形。

已知：线段a、b

求作：△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.

ah

作法：

（1）作线段BC=a（如图）:（2）作线段BC的垂直平分线L,交BC于点D,

（3）在L上作线段DA,使DA=h（4）连接AB,AC作业：6.教学后记:

《频率与概率》教案

教学目标：1。经历试验，统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识

和能力。

2.通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定了•理论概率，并可.据此

估计一事件发生的概率。

3.能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率。

教学重点：运用树状图和列表法计算事件发生的概率。

教学难点：树状图和列表法的运用方法v

教学过程：

问题引入：对于前面的摸牌游戏，在一次试验中，如果摸得第一张牌面数字为1，那

么摸第二张牌的数字为几的可能性大？如果摸得第一张牌的牌面数字

为2呢？（由此引入课题，然后要求学生做实验来验证他们的猜想）

做一做：

实验1：对于上面的试验进行30次，分别统计第一张牌的牌面字为1时，第二

张牌的牌面数字为1和2的次数。

实验的具体做法：每两个人一个小组，一个负责抽纸张，另一个人负责记录，

如：1221-----（上面一行为第一次抽的）

2121------（下面一行为第二次抽的）

议一议：

小明的对自己的试验记录进行了统计，结果如下：

因此小明认为，如果摸得第•张牌面数字为1，那么摸第二张牌时，摸得牌面数名为2

的可能性比较大。你同意小明的看法吗？

让学生去讨论小明的看法是否正确，然后让学生去说说自己的看法。

想一想：

对于前面的游戏，一次试验中会出现哪些可能的结戾？每种结果出现的可能性相同吗？

小颖的看法：会出现3种可能的结果:

牌面数字和为2,牌面数

字和3,牌面数字和4,每

种结果出现的可能性相同

小亮的看法：

实际匕摸第一张牌时，可能出现的的结果是：牌面数字为1或2,而且这两种结果出

现的可能性相同;摸第二张牌时，情况也是如此,因此，我们可以用下面的“树状图”

或表格来表示所有可能出现的结果：

开始

第一-张牌的面的数字:

第二张牌的牌面数字：

可能出现的结果（1,1)(1,2)(2,1)(2,2)

第二张牌面的数字

第一12

张牌面的数字

1(1,1)(1,2)

2(2,1)(2,2)

从上面的树状图或表格可以看出,一次试验可能出现的结果共有4种：（1,1）（I,2）

（2,1）（2,2）,而且每种结果出现的可能性相同，也就是说，每种结果出现的概率都

是l/4o

利用树状图或表格，可以比较方便地求出某些事件发生的概率。

例1：随机掷一枚硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是多少？

解：随机掷一枚均匀的硬币两次，所有可能出现的结果如下：

正

总共有4种结果，每种结果出现的可能性相同.而至少有一次正面朝上的结果有3

种：（正，正）（正，反）（反，正），因此至少有一次正面朝上的概率为3/4。

第二种解法：列表法

第二个硬币的面

第一正反

个硬币的面

正（正，正）（正，反）

反（反，正）（反，反）

随堂练习：

1.从一定高度随机掷枚硬币，落地后其朝上的•面可能出现正面和反面这样两种等

可能的结果。小明正在做掷硬币的试验，他已经掷了3次硬币，不巧的是这3次都

是正面朝匕那么你认为小明第4次掷硬币，H现正面的可能性大，还是出现反面

的可能性大，是不是一样大？说说你的理由，并与同伴进行交流。

解：第4次掷硬币时，正面朝上的可能性与反面朝上的可能性一样大。

附加练习：

1.将一个均匀的硬币上抛两次，结果为两个正面的概率为.

课堂小结：

这节课学习了通过列表法或树状图来求得事件的概率。

课后作业:

书本163贞：I,2

§1.2直角三角形

教学目标：1、了解勾股定理及其逆定理的证明方法

2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道

原命题成立其逆命题不一定成立。

教学重点、难点：进一步掌握演绎推理的方法。

教学过程：

一、温故知新

1、你记得勾股定理的内容吗？你曾经用什么方法得到了勾股定理？

（由学生网顾得出勾股定理的内容。）

定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

—学一学

1、问题情境：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，

我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能

证明这个结论吗？

已知:在AABC中，AB?+AC2=BC?

求证：△ABC是直角三角形

a）（!）（2）

G

（讲解证明思路及证明过程，引导学生领会证明思路及证明过程，得出结论。）

结论：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角

三角形。

2、议一议：

观察下列三组命裁，它们的条件和结论之间有怎样的关系？

”如果两个角是对顶角，那么它们相等。

I如果两个角相等，那么它们是对顶角。

「如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。

I如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。

“三角形中相等的边所对的角相等。

三角形中相等的角所对的边相等。

（引导学生观察这些成对命题的条件和结论之间的关系，归纳出它们的共

性，进一步得出“互逆定理”的概念。）

3、关于互逆命题和互逆定理。

（1）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论

和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命

题的逆命题。

（2）一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。如果一个定理的

逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理.，这两个定理称为互

逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

（引导学生理解掌握互逆命题的定义。）

4、练习：

（1）写出命题“如果有两个rr理数相等，那么它们的平方相等”的逆命

题，并判断是否是真命题。

（2）试着举出一些其它的例子。

（3）随堂练习1

5、读一读“勾股定理的证明”的阅读材料。

6、课堂小结：本马.课你都掌握了哪些内容？

（引导学生归纳总结，互逆定理的定义及相互间的关系。）

三、作业

1＞基础作业：P20页习题1.41、2、3。

2、拓展作业：《目标检测》

3、预习作业：P21-22页做一做

板书设计:

1.2直角三角形

勾股定理：互逆定理

课后记:

§1、2直角三角形（2）

教学目标：1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

2、能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理既解决实际问题。

重点：能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。并且用纸解决问题。

难点：证明“HL”定理的思路的探究和分析。-

教学过程：

一、复习提问

1、判断两个三角形全等的方法有哪儿种？

2、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中

一个角是直角呢？请证明你的结论。

（思考交流引导学生分析证明思路，写出证明过程）

二、探究

两边及其一个角对应相等的两个三角形全等吗？如果相等说明理

由。如果不相等，应如何改变条件？用目己的语言清楚地说明，并写出

证明过程。

问题1,此定理适用于什么样的三角形？（适用于直角三角形）

2、判定直角三角形的方法有哪些，分别说出？

（HL,SAS,ASA,AAS,SSS.先考虑HL,在考虑另外四种方法。）

三、做一做/A

如图利用刻度尺和三角板，能否/

做出这个角的角平分线？并证明。

（设计做一做的目的为了让学生体会数学°〜一―一~B

结论在实际中的应用，教学中就要求学生能用数学的语言清楚地表达自

己的想法，并能按要求将推理证明过程写出来。）

四、练习随堂练习P23-1

判断命题的真假，并说明理由

1、锐角对应相等的两个直角三角形全等。

2、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。

3、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、一条直角边和另一条宜角边上的中线队以相等的两个比角三角形全

等。

（对于假的命题要举出反例，真命题要说明理由。教师分析讲解。）

五、议一议

如图：已知NACB=NBDA=90,

要使ZIACB^ZJBDA,还需要什么条件？

把他们写出来，并说明理由。

（教学中给予学生时间和空间，

鼓励学生积极思考，并在独立思考的基础上

通过交流，获得不同的答案，并将一种方法写出证明过程。）

六、小结：

1、本节课学习了哪些知识？

2、还有那一些方面的收获？

七、作业：

1、基础作业：P23页习题1.51、20

2、拓展作业：《目标检测》

3、预习作业：预习：线段的垂直平分线。

板书设计:

§1.2直角三角形（2）

斜边宜.角边定理：如图：已知NACB=NBDA=90

要使/ACB且/BDA,还需要什

么条件？把他们写出来，并说明

理由。

§1.1＞你能证明它们吗（二）

一、教学目标：

1、进一步了解作为证明基础的儿条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写

格式。

2、经历“探索一发现一猜想一证明”的过程,能够用综合法证明等腰三角形

的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结

论。

3、能够用综合法证明等腰三角形的判定定理。

4.了解反证法的推理方法。

5、会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题。

二、教学重点：正确叙述结论及正确写出证明过程。熟悉作为证明基础的儿

条公理的内容，通过学习，掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学难点：等腰三角形的定理应用及由特殊结论归纳出一般结论。

三、教学方法：探究式教学法自主探究与合作探究

四、教学过程：

复习回顾：

你知道等腰三角形具有怎样的性质吗?、

探索一一发现猜想一一证明

1、引导探索：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线具有上述的

性质,那么，两底角的平分线、两腰上的中线和高线乂具有怎样的性质呢？

（提出问题，激发学生探究的欲望。学生猜想）

2、探究中发现：在等腰三角形中做出两底角的平分线，你会发现图中有那

些相等的线段？你能用文字叙述你的结论吗？

（学生动手画图、探索发现相等的线段并思考为什么相等）

3、证明：

（1）例1证明：等腰三角形两底角的平分线相等。

（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证。）

已知：如图,在△ABC中，AB=AC,BD,CE是

△ABC的角平分线。

求证：BD=CE（一生口述证明过程，然后写出证明过程。）

证明：（略）BC

此题还有其它的证法吗？

（2）你能证明等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？

（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证并证明。其它证法合作

交流完成。）

4、议一议1：

在上图的等腰4ABC中，如果NABD=1/3NABC,NACE=1/3NACB,那么

BD=CE吗？如果NABD=1/4NABC,ZACE=1/4ZACB呢？由此你能得到•

个什么结论？

（根据图形引导学生分析归纳得出一般结论。学生分组思考、交流，在充分

讨论的基础上得出一般结论写出证明过程。）

（3）如果AD=1/2AC,AE=1/2AB,那么BD=CE吗？如果AD=1/3AC,AE

=1/3AB,呢？由此你能得到一个什么结论？

议一议2：

把“等边对等角“反过来还成立吗？你能证明？

定理证明

已知：在AABC中/B=NC

求证：AB=AC（引导学生证明定理）

方法如下：

（课堂小结1：

（1）归纳判定等腰三角形判定有几种方法，

⑵证明两条线段相等的方法有哪几种。（讨论、交流）A

随堂练习：A

已知：在AABC中，AB=AC,D在AB上，DE/7ACD/\

求证：DB=DE/\\

（引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出