2024年高考数学考纲解读与热点难点突破专题24函数与方程思想数形结合思想教学案文含解析

PAGEPAGE7函数与方程思想、数形结合思想【2024年高考考纲解读】数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光视察现实世界，会用数学的思维思索现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性实力，数学核心素养高于详细的数学学问技能，具有综合性、整体性和长久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在详细学习领域的表现.二轮复习中假如能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培育，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.【高考题型示例】题型一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.例1.若0<x1<x2<1，则()A.>lnx2－lnx1B.<lnx2－lnx1C.D.答案C解析设f(x)＝ex－lnx(0<x<1)，则f′(x)＝ex－eq\f(1,x)＝eq\f(xex－1,x).令f′(x)＝0，得xex－1＝0.依据函数y1＝ex与y2＝eq\f(1,x)的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x0∈(0，1)，因此函数f(x)在(0，1)上不是单调函数，故A，B选项不正确；设g(x)＝eq\f(ex,x)(0<x<1)，则g′(x)＝eq\f(exx－1,x2).又0<x<1，∴g′(x)<0，∴函数g(x)在(0，1)上是减函数.又0<x1<x2<1，∴g(x1)>g(x2)，∴，故选C.例2.已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g′(x)，满意g′(x)－g(x)<0，若函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，且g(4)＝1，则不等式eq\f(gx,ex)>1的解集为________.答案(－∞，0)例3.已知f(t)＝log2t，t∈[eq\r(2)，8]，对于f(t)值域内的全部实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，则x的取值范围是__________________.答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析∵t∈[eq\r(2)，8]，∴f(t)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3)).问题转化为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立，当x＝2时，不等式不成立，∴x≠2.令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3)).问题转化为g(m)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上恒大于0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>0，,g3>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2＋x－22>0，,3x－2＋x－22>0，))解得x>2或x<－1.例4.若x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是______.答案[－6，－2]解析当－2≤x<0时，不等式转化为a≤eq\f(x2－4x－3,x3).令f(x)＝eq\f(x2－4x－3,x3)(－2≤x<0)，则f′(x)＝eq\f(－x2＋8x＋9,x4)＝eq\f(－x－9x＋1,x4)，故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a≤f(x)min＝f(－1)＝eq\f(1＋4－3,－1)＝－2.当x＝0时，不等式恒成立.当0<x≤1时，a≥eq\f(x2－4x－3,x3)，则f(x)在(0，1]上单调递增，此时有a≥f(x)max＝f(1)＝eq\f(1－4－3,1)＝－6.综上，实数a的取值范围是[－6，－2].题型二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.例5.已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d等于()A.－eq\f(2,3)B.－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案D解析设等差数列的首项为a1，公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10＝a1＋9d＝10，,S10＝10a1＋\f(10×9,2)d＝70，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝10，,2a1＋9d＝14，))解得d＝eq\f(2,3).例6.已知在数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝eq\f(n＋2,3)an，则eq\f(an,an－1)的最大值为()A.－3B.－1C.3D.1答案C例7.在等差数列{an}中，若a1<0，Sn为其前n项和，且S7＝S17，则Sn取最小值时n的值为____.答案12解析由已知得，等差数列{an}的公差d>0，设Sn＝f(n)，则f(n)为二次函数，又由f(7)＝f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n＝12对称，故Sn取最小值时n的值为12.例8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－2，S6＝3，则nSn的最小值为________.答案－9解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝－2，,6a1＋15d＝3))解得a1＝－2，d＝1，所以Sn＝eq\f(n2－5n,2)，故nSn＝eq\f(n3－5n2,2).令f(x)＝eq\f(x3－5x2,2)，则f′(x)＝eq\f(3,2)x2－5x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq\f(10,3)，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(10,3)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，＋∞))上单调递增.又∵n是正整数，故当n＝3时，nSn取得最小值－9.题型三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量常常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.例9.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8答案B解析不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，圆的方程设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，又可设A(x0，2eq\r(2))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))，点A(x0，2eq\r(2))在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①点A(x0，2eq\r(2))在圆x2＋y2＝r2上，∴xeq\o\al(2,0)＋8＝r2，②点Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))在圆x2＋y2＝r2上，∴5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))2＝r2，③联立①②③，解得p＝4(负值舍去)，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.例10.如图，已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若∠PAQ＝60°，且eq\o(OQ,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))，则双曲线C的离心率为()A.eq\f(2\r(3),3)B.eq\f(\r(7),2)C.eq\f(\r(39),6)D.eq\r(3)答案B解析因为∠PAQ＝60°，|AP|＝|AQ|，所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，设|AQ|＝2R，又eq\o(OQ,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))，则|OP|＝eq\f(1,2)|PQ|＝R.双曲线C的渐近线方程是y＝eq\f(b,a)x，A(a，0)，所以点A到直线y＝eq\f(b,a)x的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)·a－0)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋－12))＝eq\f(ab,\r(a2＋b2))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ab,\r(a2＋b2))))2＝(2R)2－R2＝3R2，即a2b2＝3R2(a2＋b2)，在△OQA中，由余弦定理得，例10.设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.2D.eq\r(5)答案D解析如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQ⊥PF2.又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|＝2|OQ|＝2a.又|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4a.在Rt△F1PF2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得4a2＋16a2＝20a2＝4c2，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).例11.已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))解析因为(－2)2<8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知，△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.因为A(－2，4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝eq\f(1,2).故使△APF的周长最小的点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))).例12.已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________.答案2eq\r(2)解析连接PC，由题意知圆的圆心C(1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt△PAC的面积S△PAC＝