北师大版八年级数学下册举一反三 专题12 等边三角形-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析）

专题L2等边三角形.重难点题型

【北师大版】

。*甲一反三

【知识点1等边三角形】

(D定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

(2)等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.

(3)等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三前形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为60V的等腰三角形是等边三甬形.

【题型1等边三角形的性质(角度问题)】

【例1】(2023秋•赫山区期末)如图，等边三角形ABC中，ADA.BC,垂足为。，点E在线段AD上，NEBC

=45°,求NACE的度数.

【变式1-1］（2023秋•河东区期中）如图，点M,N分别在正三角形A8C的8C,C4边上，上BM=CN,

AM,8N交于点Q.求证：NBQM=60".

【变式1-2］（2023秋•肥东县期末）如图，△A8C是等边三角形，延长BC到E,使CE=.点。是边

AC的中点，连接E。并延长交A8于尸.

（1）求NEFB的度数;

(2)求证：DE=2DF.

D

B-

【变式1-3](2023秋•郑州期末)如图,已知408=120°,AC。。是等边三角形(三条边都相等,三个

角都等于60°的三角形)，O例平分N3OC.

D

(1)如图I,当乙40。=3()°时，NDOM=：

(2)如图2,当NAOC=100°时，ZDOM=；

(3)如图3,当NAOC=a(00<a<180°)时，求/。OM的度数，请借助图3填空.

解：因为NAOC=a,NAO8=120°,

所以N8OC=NAOC-NAOB=a-120°,

因为OM平分NBOC,

所以NMOC=NBOC=(用a表示)，

因为△COO为等边三角形，

所以NQOC=60°,

所以NQOM=NMOC+NOOC=(用a表示).

(4)由(1)(2)(3)问可知，当/AOC=0(0°<p<180°)时，直接写出NOOM的度数.(用0

来表示，无需说明理由)

【题型2等边三角形的性质(规律问题)】

【例2】(2023春•渠县期末)如图，已知NMON=30°,点4,42,A3,…在射线ON上，点Bi,次，仍，…

在射线OM上，△AiBi/h,△A2BM3,△A3B3A*…均为等边三角形，若04=2,贝必46尻47的边长为

)

【题型3等边三角形的性质(动点问题)】

【例3】(2023春•渭滨区期末)如图，在等边△ABC中，AB=\2cm,现有M,N两点分别从点A,8同时

出发，沿△A8C的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1c〃心，点N的速度为2c"/s,当点N第一

次到达8点时，M,N同时停止运动，设运动时间为I(s).

(1)当/为何值时，M,N两点重合？两点重合在什么位置？

(2)当点M,N在8c边上运动时，是否存在使AM=AN的位置？若存在，请求出此时点M,N运动的

时间；若不存在，请说明理由.

【变式3-1］如图，已知△A8C是边长为6c〃?的等边三角形，动点P、Q同时从A,8两点出发，分别沿A3、

BC匀速运动，其中点。运动的速度是点Q运动的速度是2c〃次，当点Q到达点。时，P、Q两

点都停止运动.设运动时间为：I(s),当z=2时，判断△BQP的形状，并说明理由.

【变式3-2］（2023春•市中区期中）如图，在等边△ABC中，A8=9a〃，点尸从点C出发沿C5边向点8点

以2cm/s的速度移动，点。从8点出发沿84边向A点以5c〃心速度移动.P、。两点同时出发，它们移

动的时间为/秒钟.

（1）你能用/表示和KQ的长度吗？请你表示出来.

（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？

（3）若P、。两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△人BC三边运动，请问经过几秒

钟后点P与点Q第一次在△48C的哪条边上相遇？

【变式3-3］（2023秋•大武口区期末）如图所示，已知AABC中，A8=4C=8C=10厘米，M、N分别从点

4、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N

第一次到达B点时，M、N同时停止运动.

（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？

（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形/IMN?

（3）M、N在/3C边上运动时，能否得到以MN为底边的等股aAMM如果存在，请求出此时M、N运

动的时间？

【题型4等边三角形的判定】

【例4】（2023秋•涌池县期末）下列三角形：

①有两个角等于60°；

②有一个角等于60。的等腰三角形；

③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；

©•腰上的中线也是这条腰H勺高的等腰三角形.

其中是等边三角形的有（）

A.①②③B.①②④C.①③D.0@③④

【变式47】（2023春•平川区校级期末）下面给出的几种三角形：①三个内角都相等②有两个外角为120°

③一边上的高也是这边所对的弟的平分线④三条边上的高相等，其中是等边三角形的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式4-2］（2023春•福山区期末）在下列结论中：

（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形

（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形

（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形

（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形

其中正确的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式4-3］（2023春♦文登区期末）如图，408=120°,OP平分NAOB,且8=2.若点M,N分别在

OA,OB上,且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△灯团7有（）

A.2个B.3个C.4个D.无数个

【题型5等边三角形的判定与性质综合】

【例5】(2023秋•松桃县期末)如图，点P,M,N分别在等边△A4C的各边上，且于点P,MN

_L8C于点M,PN工AC于点N.

(1)求证：4PMN是等边三角形;

(2)若AB=12c/〃，求CM的长.

【变式5/】(2023秋•邵阳县期末)如图，在等边△A8C中，NA8C与N4C8的平分线相交于点O,且0。

//AB,OE//AC

(1)试判定△OOE的形状，并说明你的理由；

(2)若8C=10,求△。。月的周长.

BDEC

【变式5-2](2023秋•浦城县期中)如图，△A8C是等边三角形.

(1)如图①，OE〃BC,分别交48、AC于点。、E.求证：是等边三角形；

(2)如图②，△AQE仍是等边三角形，点B在的延长线上，连接CE,判断NBEC的度数及线段

AE.BE、CE之间的数量关系，并说明理由.

【变式5-3】在△ABC中，AB=AC,ZBAC=\20°,4OJ_BC垂足为G,且AO=AB.NED/=60°,

其两边分别交边AB,AC于点E,F.

(1)求证：△48。是等边三角形；

(2)求证：BE=AF.

D

【题型6等边三角形中的多结论问题）】

【例6】（2023春•武侯区校级期末）己知：如图，△ABC和△OEC都是等边三角形，D是延长线上一

点，人。与BE相交于点P,AC.BE相交于点M,人。、CE相交于点N,则下列五个结论：①AD=BE；

②NBMC=/ANC；③NAPM=60°；④AN=BM；⑤是等边三角形.其中，正确的有（）

【变式6-1］（2023春♦靖边县期末）如图，已知△A4C是等边三角形，。是BC边上的一个动点（异于点B、

C）,过点。作。£J_4从垂定为£QE的垂直平分线分别交4C、AC于点八G,连接/Q.FE.当点

D在8c边上移动时，有下列三个结论：①△。£尸一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③

△FQC可能为等腰三角形.其中正确的有（）

A.。个B.1个C.2个D.3个

【变式6-2］（2023秋•勃利县期末）如图，在△A8C中，ZACB=90°,。是48上的点，过点。作。£_L

AB交8c于点F,交AC的延长线于点E,连接CD,ZDCA=ZDAC,则下列结论正确的有（）

①/DCB=NB；®CD=③△AOC是等边三角形；④若NE=30°,则。E=E/+CF

A.①②®B.①®④C.②③④D.①@③④

【变式6-3］（2023秋•遂宁期末）如图，将含有30°角的直角三角尺/WC绕直角顶点A逆时针旋转到AOE

的位置，使3点的对应点。落在BC边上，连接E3,EC,则下列结论：®ZDAC=ZDCA-,②ED为

4c的垂直平分线；③£8平分/AEQ；④△ABO为等边三角形.其中正确的是.（填序号）

专题L2等边三角形.重难点题型

【北师大版】

【知识点1等边三角形】

(D定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

(2)等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.

(3)等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形：

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.

【题型1等边三角形的性质(角度问题)】

【例1】(2023秋•赫山区期末)如图，等边三角形A8C中，ADLBC,垂足为。，点E在线

段人。上，NEBC=45°,求NACE的度数.

【解题思路】依据等边三角形三线合一的性质，即可得到A。垂直平分BC；利用垂直平

分线的性质即可得到EC=EB,进而得到NEC。的度数；再根据角的和差关系即可得出

结论.

【解答过程】解：•••等边三角形4BC中，AD1BC,

・・・。是8c的中点，

：.AD垂直平分BC,

:.EB=EC,

/.ZEBC=ZECB=45°,

又•・・NAC8=60°,

AZACE=ZACH-ZECB=60°-45°=15°.

【变式1-1](2023秋•河东区期中)如图，点M,N分别在正三角形ABC的8C,C4边上,

且8M=CN,AM,BN交千点、Q.求证：N8QM=60°.

【解题思路】根据8W=CN可得CM=AM易证历CgZ\8NA,得NBNA=NAMC,

根据内角和为180°即可求得N8QM=NACB=60°，即可解题.

【解答过程】证明：•:BM=CN,BC=AC,:.CM=AN,

又.・・A8=AC,/BAN=NACM,

:.XAM8XBNA,贝！/8N4=N4MC,

■:NMAN+NAN8+NAQN=180°

NM4N+NAMC+N4cB=180°,

4AQN=NACB,

丁NBQM=(AQN,

・•・ZBQM=ZAQN=ZACB=60".

【变式1-2](2023秋•肥东县期末)如图,△ABC是等边三角形，延长8C到E,使CE=^BC.点

。是边AC的中点，连接£。并延长交A8于F.

(1)求NEF8的度数；

(2)求证：DE=2DF,

【解题思路】（1）根据等边三角形的性质得出AC=BC,NACB=N8=60°,求出。。

=CE,根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出NE=30°,求出N8FE即可；

（2）连接4Q,求出3D=DE,根据含30°角的直角三角形的性质得出3。=2。八即可

得出答案.

【解答过程】（1）解：:△ABC是等边三角形，

：,AC=BC,NAC8=N8=60°,

•・•。为AC的中点，

：.AD=CD-^AC,

,:CE=&BC,

:.CD=CE,

VZE+ZCD£=ZACB=6O0,

：.ZE=ZCDE=30Q,

VZfi=60°,

.•.ZEFB=180d-60°-30°=90°；

（2）证明：连接B。，

•・•△ABC是等边三角形，

:・AB=BC,ZABC=60°,

•・,。为AC的中点，

・•・ZDBC=ZABD=|Z/4BC=3O°,

VZ£=30°,

：,ZDBC=ZE,

:.DE=BD,

VZBFE=90°,N48O=30°,

:.BD=2DF,

即DE=2DF.

【变式1-3］（2023秋•郑州期末）如图，已知NAOB=120°,△CO。是等边三角形（三条

边都相等，三个角都等于60°的三角形），OM平分/8OC.

D

(1)如图1,当NAOC=30°时，ZDOM=15°；

(2)如图2,当NAOC=IO()°时，NDOM=50°:

(3)如图3,当NAOC=a(0°<a<180°)时，求/。0M的度数，请借助图3填空.

解：因为NAOC=a,/AO8=120°,

所以/BOC=NAOC-NA08=a-120°,

因为OM平分NBOC,

所以NMOC=-NBOC=-a-60°(用a表示)，

-2——2---------

因为△COO为等边三角形，

所以/。。。=60°,

所以NOOM=NMOC+NOOC=-a(用a表示).

~2-

(4)由(1)(2)(3)间可知，当NAOC=0(00<p<180°)时，直接写出NDOM

的度数.(用0来表示，无需说明理由)

【解题思路】(1)首先求出NBOC=90°,利用角平分线可得NCOM=45°,再利用角

的和差可得答案；

(2)同(1)的思路；

⑶首先求出N8OC=a-120°,利用角平分线可得NCOM=/a—60°,再利用角的

和差可得答案；

(4)根据(3)的思路可得答案.

【解答过程】解：(1)・.・NAOC=30°,NAC阳=120°,

・・・/BOC=120°-30，=90°,

•・・OM平分N8OC,

・・・NCOM=9004-2=45°,

.\ZMOD=60°-45°=15°.

故答案为：15°.

(2)VZAOC=\0()<>,ZAOB=120°,

・・・NBOC=120°-100°=20°,

河平分N30C,

，NCOM=20°4-2=10°,

：.ZMOD=60°-10°=50°.

故答案为：50°.

（3）解：因为NAOC=a,ZAOB=120°,

所以NBOC=NAOC-NAOB=a-120°,

因为0M平分/BOC,

所以/MOC=』NBOC=71一60°（用a表示），

因为△COQ为等边三角形，

所以NOOC=60°,

所以NQOM=NMOC+NQOC=2a（用a表示）.

故答案为：二a—60°,-a.

222

（4）当NAOC=0（0°<p<180°）时，/D0M=，.

因为NAOC=0,NA03=120。,

所以NBOC=NAOC-N4OB=0-120°,

因为OM平分N8OC,

所以NMOC=*NBOC=*0-60°,

因为△CO。为等边三角形，

所以/。。。=60°,

所以NOOM=/MOC+NZX）C=

【题型2等边三角形的性质（规律问题）】

【例2】（2023春•渠县期末）如图，已知NMON=30°,点4,42,43,…在射线ON上,

点81,Bi,田,…在射线OM上，△A181A2，Z\A282A3,ZXA383A4,,,•均为等边三角形,

若。4i=2,则△A6B6A7的边长为（）

128

【解题思路】由等边三角形的性质得到N8IAIA2=60°,AIBI=4A2,再由三角形外先

的性质求出乙41用。=30°,WJA\B\=A\Ai=OA\,同理得A2&=AM3=042=204,

A3B3=A3A4=22*OA\,A4B4=A4A5=23•0A1,由此得出规律A,tBn=A,iAn+\=2n'l*0A]=

2”，即可求解.

【解答过程】解：•••△AIBA2为等边三角形，

工N8I4A2=60"，A\B\=A\Ai,

・・・N4BIO=NBI4IA2-NMON=60°-30°=30°,

・•・ZA\B\O=ZMON,

.\A\B\=OA],

-*.A\B\=A\A2=OA\,

同理可得AIBI=A2A?>=OA2=20A1,

.*.A3B3=A3A4=OA?»=2OA2=22*OA\,

A484=/UA5=OA4=2OA3=2^•(M1,

・•・A”B”=4,4+i=2”7・O4=2”,

:.ZXA686A7的边长：ASB6=26=64,

故选：C.

【变式2・1】（2023秋•新化县期末）如图，NMON=30°,点Ai,A2,43,…在射线03上,

点81,心，仍，…在射线OM上，△48142,AA2B2A3,△43—44…均为等边三角形.若

OA\=\,则△A,B4+i的边长为2〃一1.

分析：根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A,BI//A2B2//A^,以及4处=

281A2,得出A3B3=4BIA2=4,44&=88认2=8,生阴=168认2…进而得出答案.

【解答】解：:△A4认2是等边三角形，

：,A\B\=A1B\,Z3=Z4=Z12=60°,

.*.Z2=120°,

•・・NMON=30°,

AZ1=180°-120°-30°=30°,

又,.・/3=60°,

.•.Z5=180°-60°-30°=90°,

•・・NMON=N1=30°,

C.OA\=A\B\=\,

•二△A28M3、Z\A383A4是等边三角形，

AZH=Z10=60°,Z13=60°,

VZ4=Z12=60°,

/.AiBi//A2B2//A3B3,B]A2//BIA3>

AZ1=Z6=Z7=30C,N5=N8=90°,

：,A1B2=2B\A2,&A3=2BM3，

.•・4383=44IA2=4,

/UB4=8BIA2=8,

ASB5=16BIA2=16,

以此类推:的边长为2/r,.

故答案是：2〃！

【变式2-2】如图，等边△AICIC2的周长为1,作4c2于Eh,在C】C2的延长线上

取点C3,使。IC3=QCI,连接。1C3,以C2c3为边作等边4A2c2c3；作C2D2_LA2c3于

。2,在C2c3的延长线上取点C4,使D2c4=。2。2,连接02c4,以C3c4为边作等边△

A3c3c4;…且点Al,A：,A3,…都在直线ClQ同侧，如此F去,则△4C1C2,AA2c2c3,

2n-l

△433c4,△4〃GiC〃+i1.

。…，的周长和为—on-1—且〃为整数）

分析：根据等边三角形的性质分别求出△A1C1C2,ZU2c2c3,△人3c3c4,…，△A〃CnC"+l

的周长即可解决问题.

【解答】解：•・•等边△AICIC2的周长为1,作CQ14C2于。1,

：,AiD\=D\C2,

,△A2c2c3的周长=iAAiCiCz的周长=

乙乙

•••△4C1C2,Z\A2c2c3,ZXA3QC4,…，△4,CnC〃+1的周长分别为1,4,1

2222n-1

・••△ACQ,2c3,△43。3c4,…，△△G1G+I的周长和为1+鼻当+•••+±

L221

2n-l

故答案为赤r

【变式2-3］（2023秋•汉阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形48C,其

中B,。的坐标分别为（1,0）和C（2,0）.若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿

着大轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A,8,C中，会过点（2023,

【解题思路】先作直线），=1,以C为圆心以1为半径作圆，发现在笫一次滚动过程中，

点A、8经过点（2,1）,同理可得，再根据每3个单位长度正好等于正三角形滚动一周

即可得出结论.

【解答过程】解：由题意可知:

第一次滚动：点A、8经过点（2,1）,

第二次滚动：点8、C经过点（3,1）,

第三次滚动：点A、C经过点（4,1）,

第四次滚动：点A、B经过点（5,1）,

发现，每三次一循环，所以（2023-1）+3=673,

・•・这个正三角形的顶点A、8、C中，会过点（2023,1）的是点4、C,

故答案为：A,C.

【题型3等边三角形的性质（动点问题）】

【例3】（2U23春•渭滨区期木）如图，在等边△A8C.中，现有M,/V两点分别

从点4,B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为点N

的速度为2c加s,当点N第一次到达8点时，M,N同时停止运动，设运动时间为Ms）.

（I）当/为何值时，M,N两点重合？两点重合在什么位置？

（2）当点M,N在边上运动时，是否存在使AM=4N的位置？若存在，请求出此时

点M,N运动的时间；若不存在，请说明理由.

【解题思路】（1）首先根据M、N两点重合，表示出M,N的运动路程，N的运动路程

比M的运动路程多\2cni,列出方程求解即可；

（2）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACMgA/WN,可得CM=BN,设出运

动时间，表示出CM,NB,NM的长，列出方程，可解出未知数的值.

【解答过程】解：⑴由题意，IX1+12=2。

解得：7=12,

・••当f=12时，M,N两点重合,

此时两点在点。处重合；

（2）结论：当点M、N在4C边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形.

理由：由（I）知12秒时M、N两点重合，恰好在。处，

B

如图，假设是等腰三角形，

：.AN=AM,

:.NAMN=NANM,

・•・ZAMC=/ANB,

•••△AC8是等边三角形，

：./C=NB,

在△ACM和△ABN中，

zC=Z.B

Z.AMC=4ANB，

AC=AB

:.△ACMWAABN（AAS）,

:・CM=BN,

设当点M、N在8c边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，

：,CM=y-12,NB=36・2y,

'；CM=NB,

：.y-12=36-2y,

解得：），=16.故假设成立.

当点M、N在8c边上运动时，当运动时间为12秒或16秒时，AM=AN.

【变式3-1］如图，已知△ABC是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A,8两点

出发，分别沿人从8c匀速运动，其中点P运动的速度是Isi/s,点Q运动的速度是2cmJs,

当点Q到达点C时，P、。两点都停止运动.设运劭时间为：，（s）,当1=2时，判断

△8QP的形状，并说明理由.

【解题思路】当f=2时，可分别计算出BP、B。的长，再根据/B=60°对△BPQ的形

状进行判断即可.

【解答过程】解：4BP。是等边三角形，

当/=2时，AP=2Xl=2,8Q=2X2=4,

：.BP=AB-AP=6-2=4,

:.BQ=BP,

又•・・/4=60°,

•••△BPQ是等边三角形.

【变式3-2］（2023春•市中区期中）如图，在等边aABC中，AB=9c〃i,点P从点C出发沿

C3边向点B点以2cm/$的速度移动，点。从3点出发沿84边向A点以5cm/s速度移动.P、

。两点同时出发，它们移动的时间为f秒钟.

（1）你能用，表示BP和3Q的长度吗？请你表示出来.

（2）请问几秒钟后，仪2为等边三角形？

（3）若P、。两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△4AC三边运动,

请问经过几秒钟后点尸与点。第一次在△A8C的哪务边上相遇？

【解题思路】（1）由三角形48c为等边三角形，根据等边三角形的三边相等得到.48=

BC=9cm,由P的速度和时间，表示出。走过的路程CP的长，然后用边长8c减去CP

即可表示出BP；由Q的速度及时间/,即可表示出。走过的路程8Q；

（2）若△"8Q为等边二角形，根据等边二角形的边长相等则有PB=BQ,由（1）表示

出的代数式代入即可列出关于/的方程，求出方程的解即可得到满足题意的t的值；

（3）同时出发，要相遇其实是一个追及问题，由于Q的速度大于尸的速度，即Q要追

及上P,题意可知两点相距AB+AC即两个边长长，第一次相遇即为Q比0多走两个三

角形边长，设出第一次相遇所需的时间，根据Q运动的路程-P运动的路程=18列出关

于/的方程，求出方程的解即可求出满足题意的/的值，然后由求出/的值计算出P运动

的路程，确定出路程的范围，进而判断出P的位置即为第一次相遇的位置.

【解答过程】解:（1）••.△ABC是等边三角形，

:・BC=AB=9cm，

•・•点P的速度为2c〃而，时间为ts,

：.CP=2t,

则PB=BC-CP=（9-2r）cm；

•・•点Q的速度为5c〃而，时间为ts,

：,BQ=5h

（2）若△PBQ为等边三角形，

则有BQ=BP,即9-2/=5/,

解得t=2,

所以当/=有时，△P6Q为等边三角形；

（3）设6时，Q与P第一次相遇，

根据题意得：5/-2，=18,

解得t=6,

则6s时，两点第一次相遇.

当£=6s时,一走过得路程为2X6=12cm,

而9V12V18,即此时P在A8边上，

则两点在43上第一次相遇.

【变式3-3］（2023秋•大武口区期末）如图所示，已知△ABC中，A8=AC=BC=10厘米，

M、N分别从点4、点8同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1座米/秒，

点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达8点时，M、N同时停止运动.

（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？

（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形AMN?

（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△4MM如果存在，请求

出此时Af、N运动的时间？

【解题思路】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M,N的运动

路程，N的运动路程比M的运动路程多10”〃，列出方程求解即可；

（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形4MM然后表示出AM.AN

的长，由于/A等于60°,所以只要AM=AN三角形ANM就是等边三角形；

（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM丝△/WM可得CM=BN,设出运

动时间，表示出CM,28的长，列出方程，可解出未知数的值.

【解答过程】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，

xX1+10=2匕

解得：x=10；

（2）设点“、N运动厂秒后，可得到等边三角形如图①，

AM=tX\=t,AN=AB-BN=10-2t,

•••△八/WN是等边三角形，

解得/=3

10

・••点M、N运动三•秒后，可得到等边三角形AMM

（3）当点、M、N在GC边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形,

由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在。处，

如图②，假设AAMN是等腰三角形，

：.AN=AM,

:./AMN=/ANM,

:.ZAMC=NANB,

*：AB=BC=AC,

•••△4C8是等边三角形，

・・・NC=N8,

在△ACM和△4BN中，

Z-C=zF

•/Z/1MC=乙ANB,

AC=AB

.•.△ACMdABN（AAS）,

:.CM=BN,

设当点M、N在8C边上运动时，“、N运动的时间y秒时，△八MN是等腰三角形，

：,CM=y-10,NB=3D-2y,CM=NB,

y-10=30-2y,

解得：）=竽.故假设成立.

・•・当点M、N在BC边上运动时,，能得到以MN为底边的等腰△AMM此时M、N运动

40

的时间为G■秒.

国②

图①

【题型4等边三角形的判定】

【例4】（2023秋•港池县期末）下列三角形:

①有两个角等于60°；

②有一个角等于60°的等腰三角形；

③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；

④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.

其中是等边三角形的有（）

A.①②③B.C.D.①®③④

【解题思路】根据等边三角形的判定判断.

【解答过程】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正

确；

②这是等边三角形的判定2,故正确；

③三个外角相等则三个内角相等,则其是等边三角形,故正确：

④根据线段的垂直平分线的性质.可.以证明三边相等，故正确.

所以都正确.

故选：D.

【变式4-1］（2023春•平川区校级期末）下面给出的几种三角形：①三个内角都相等②有

两个外角为120。③一边上的高也是这边所对的角的平分线④三条边上的高相等，其中是

等边三角形的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解题思路】根据等边三角形的判定定理、三角形的外角的概念、三角形的面积公式判

断即可.

【解答过程】解：三个内角都相等的三角形是等边三角形；

有两个外角为120°,则两个内角都是60°,

・•・这个三角形是等边三角形；

一边上的高也是这边所对的角的平分线的三角形是等腰三舛形；

根据三角形的面积公式可知，三条边上的高相等的三角形是等边三角形，

故选：B.

【变式4-2］（2023春•福LI区期末）在下列结论中：

（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形

（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形

（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形

（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形

其中正确的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解题思路】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等

边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的

定义可解答本题.

【解答过程】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°,已知有一个外角是

120°,即是有一个内角是60“，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形.该结

论正确.

（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，

故不能确定该三角形是等边三角形.该结论错误.

（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不

能保证该三角形是等边三角形.该结论错误.

（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形.正确；

故选：C.

【变式4-3］（2023春•文登区期末）如图，ZAOB=\20a,OP平分NAO8,且OP=2.若

点M,N分别在08上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△2,团7有（）

0

A.2个R.3个C.4个D.无数个

【解题思路】如图在0A、08上截取。石=。〜=0。，作NMPN=60°,只要证明

g△产ON即可推出△2/的是等边三角形，由此即可得结论

【解答过程】解：如图在。4、。8上截取OE=Or=0尸，作NMPN=60°.

•••。2平分/4。-

・・・NEOP=/尸0/=60°,

;OP=OE=OF,

:.4OPE,b是等边三角形，

:.EP=OP,/EPO=/OEP=/PON=/MPN=6C,

JZEPM=/OPN,

在和△PON中，

ZPEM=乙PON

PE=P0,

Z-EPM=乙OPN

:ZEMQAPON（ASA）.

:.PM=PN,VZMPN=60°,

••.△PNM是等边三角形，

，只要NMPN=60°,△PMN就是等边三角形，

故这样的三角形有无数个.

故选：D.

【题型5等边三角形的判定与性质综合】

【例5】（2023秋•松桃县期末）如图，点P,M,N分别在等边aABC的各边上，且MP_L

AB于点P,MNtBC于点、M,PN上AC于点、N.

（1）求证：△PMN是等边三角形；

（2）若A8=12cm,求CM的长.

【解题思路】（1）根据等边三角形的性质得出NA=/B=NC,进而得出NMP8=4NMC

=ZPNA=90°,再根据平角的意义即可得出/NRW=NPMN=NMNP,即可证得4

PMN是等边三角形；

（2）易证得△夕得出PA-BM-CN,PR-MC—AN,从而求得

BM+PB=AB=\2cm,艰据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB=

BM,即可求得尸8的长，进而得出MC的长.

【解答过程】解：（1）•••△43C是正三角形，

**.N4=NB=NC,

MNLBC,PN1.AC,

:./MPB=/NMC=NPNA=9U",

・•・NPMB=NMNC=NAPN,

；・NNPM=NPMN=NMNP,

.••△PMN是等边三角形；

(2)根据题意△PBMg/XMCN0△M1P,

:,PA=BM=CN,PB=MC=AN,

：.BM+PB=AB=\2cm.

「△ABC是正三角形，

AZA=ZB=ZC=6C°,

：.2PB=BM,

：.2PB+PB=\2cm,

:.PB=4cni,

:.MC=4cm.

【变式5-1](2023秋•邵阳县期末)如图，在等边△ABC中，/A8C与NAC8的平分线相

交于点。，且。。〃4&OE//AC

(1)试判定△OOE的形状，并说明你的理由；

(2)若8C=10,求AODE的周长.

【解题思路】(1)证明NABC=NAC8=60°；证明NOOE=NA8C=60°,ZOED=

ZACB=6()°,即可解决问题.

(2)证明BO=OD；同理可证CE=OE；即可解决问题.

【解答过程】解：(1)ZSOOE是等边三角形；理由如下：

•••△48C是等边三角形，

・・・NA8C=NACB=60°；

VOD//AB,OE//AC,

・・・NOQE=/A8C=6Q°,NOEO=NAC8=60°,

•••△。。£为等边三角形.

(2),・・OB平分/4BC,OD//AB,

/.ZABO=/DOB,NABO=NOB。，

:・/DOB=NDBO,

:・BD=OD；同理可证CE=OE;

:.△ODE的周长=BC=10.

（1）如图①，DE//BC,分别交AB、AC于点。、E.求证：△AQE是等边三角形；

（2）如图②，△AQE仍是等边三角形，点4在的延长线上，连接CE,判断N4EC

的度数及线段BE、CE之间的数量关系，并说明理由.

【解题思路】（1）根据等边三角形的性质得到N8=NC=60°,根据平行线的性质和

等边三角形的判定定理证明即可；

（2）证明八Og/XCAE,得到B/）=CE即可证明.

【解答过程】（1）证明：•••△A6C是等边三角形，

/.ZB=ZC=60°,

♦：DE"BC,

・・・NAOE=NE=60°,NAEO=NC=60°,

•••△AQE是等边三角形；

(2)解：AE+CE=BE.

*：ZBAD+ZDAC=60c,NCAE+NOAC=60°,

：.ZBAD=ZCAEf

在△84。和△CAE中，

AB=AC

乙BAD=乙CAE,

AD=AE

(SAS),

:,BD=CE,NAEC=/AQ8=120°,

:.BE=BD+DE=AE+CE,CE=BD=DE,

・・・NEBC=30。,

/.ZBEC=60°.

【变式5-3】在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AD1.BC,垂足为G,且AO=A8.Z

EDF=60°,其两边分别交边AB,AC于点E,F.

(1)求证：△A3。是等边三角形；

(2)求证：BE=AF.

【解题思路】（I）连接8D由等腰三角形的性质和己知条件得出NH4O=N/MC=

|xl20°=60°,再由4。=48,即可得出结论；

（2）由AAB。是等边三角形，得出3D=A£>,ZABD=ZADB=60°,证出N8OE=N

ADF,由ASA证明WiHBE=AF.

【解答过程】（I）证明：连接8。，

'：AB=AC,ADIBC,

：.N8AD=NDAC=

VZBAC=120°,

/.ZBAD=ZDAC=1x120°=60。,

'：AD=AB,

・•・△A3。是等边三角形：

（2）证明：•••△ABO是等边三角形，

・・・/"。=/4。/?=60°,BD=AD

VZEDF=60°,

/.ZBDE=NADF,

在△。。£与△40〃中，

ZDBE=乙DAF=60°

BD=AD,

乙BDE=Z.ADF

：.ABDE^AADF（ASA）,

：,BE=AF.

A

【题型6等边三角形中的多结论问题）】

【例6】（2023春•武侯区校级期末）已知：如图，8c和△QEC都是等边三角形，。是

8C延长线上一点，/W与8E相交于点P,AC.BE相交于点"，AD.CE相交于点M

则下列五个结论：®AD=BE；②/BMC=/ANC；③NAPM=60°；④AN=BM；⑤4

CMN是等边三角形.其中，正确的有（）

【解题思路】根据先证明△AC。，得出人力=BE,根据己知给出的条件即可得出

答案；

【解答过程】解：•••△A8C和△DEC都是等边三角形，

：.AC=BC>CD=CE,ZACB=ZECD=60°,

/.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE,即ZRCE=ZACD,

•••△BCEdAC。(SAS),

：,AD=BE,故选项①王确：

VZACB=ZACE=6(r,由△BCEgZXAC。得：NCBE=NCAD,

・・・NBMC=N4NC,故选项②正确；

由△BCEg△ACO得：ZCBE=ZCAD,

■:NAC8是△ACO的外角，

/.NACR=N'CAO+/AOC=ZCBE+ZADC=60°,

又NAPM是△尸BO的外角，

ZAPM=ZCBE+ZADC=60<>,故选项③正确；

在△AC7V和aBC