圆的有关性质-圆周角（全国赛课公开课一等奖）课件-九年级数学新人教版上册

人教版九年级上册圆周角教学目标010203理解圆周角的概念，圆周角定理及推论。掌握圆周角与圆心角的关系。

会用圆周角定理及推论进行计算。01重点：掌握圆周角定理几个推论的内容。02难点：会用圆周角定理及推理推论解决问题重难点引入新课5复习备用弧、弦、圆心角1、圆是中心对称图形，对称中心是:

.2、圆心角:

.3、在同圆或等圆中圆心角相等两条弧相等两条弦相等知一推二弦心距相等，两条弦也相等。复习回顾圆心角什么是圆心角呢？你知道它的定义吗？判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.①②③④不是不是不是，顶点在圆周上。圆心角01圆周角概念9情景引入哪一点射门最佳？乙甲仅从射门角度大小考虑，谁相对于球门的角度更好？ABCDO丙新课导入如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB.问题1：∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？问题2：你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下定义吗？ABOC推进新课知识点圆周角的定义及圆周角定理1.圆心角的定义?顶点在圆心的角叫圆心角.ABOC2.图中∠ACB的顶点和边有哪些特点？

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．如图：在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的顶点在圆上①，并且两边都与圆相交②.我们把这样的角叫做圆周角.CAOB（两个条件必须同时具备，缺一不可.）·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA

下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.（2）（1）（3）（5）（6）顶点不在圆上顶点不在圆上边AC没有和圆相交√√√

练一练：归纳总结圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上.②两边都与圆相交.归纳总结圆周角圆心角区别联系角的顶点在圆上角的顶点是圆心一条弧所对的圆周角有无数个一条弧所对的圆心角有且只有一个角的两边都与圆相交02圆周角推论及其应用新知探究CAOB问题：如图，连接AO，BO，得到圆心角∠AOB.可以发现，∠ACB与∠AOB对着同一条弧AB，它们之间存在什么关系呢?圆周角定理及其推论知识点图中圆周角∠ACB和圆心角∠AOB有怎样的关系？ABOC探究先猜一猜，再用量角器量一量.定理证明（1）我发现圆心在∠C的一条边上；如图（1）（2）我发现圆心在∠C的内部；如图（2）（3）我发现圆心在∠C的外部；如图（3）同学们：你能说明他们发现三种情况,成立的理由吗？还有其它情况吗？新知探究探究：画出图形分别测量图中AB所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB的度数，它们之间有什么关系?

CAOB

在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗?由此你能发现什么规律?C1C2新知探究如图，为了证明上面发现的结论，在⊙O任取一个圆周角∠ACB，沿CO所在直线将圆对折，由于点C的位置不同，折痕会:①在圆周角的一条边上;②在圆周角的内部。③在圆周角的外部.AOBCAOBCCAOB圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠C证明：半径相等等边对等角符号“”读作:“推出”,“AB”表示由条件A推出结论B.OABCD圆心O在∠BAC的内部证明：连接AO并延长交⊙O于D.1234BCOAD圆心O在∠BAC的外部证明：连接AO并延长交⊙O于点D.1234归纳总结一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆周角定理CAOB几何语言∵∠C是AB所对的一个圆周角∠AOB是AB所对的一个圆心角∴∠C=∠AOB12归纳总结一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半化归圆周角定理分类讨论完全归纳法圆周角定理化归如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°，则∠A等于()。A.40°B.50°C.60°D.70°【对应训练】解析：⊙O是△ABC的外接圆，OB=OC,所以∠OBC=∠OCB=50°，∠BOC=80°，∠A=∠BOC=×80°=40°.A学以致用1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝30°，则∠ACB的度数为()。A.40°B.30°C.50°D.60°2.如图，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O外，下列结论正确的是()。A.∠C＞∠DB.∠C＜∠DC.∠C＝∠DD.∠C＝2∠DDAAOBCAOBCD3040°AOBC3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝80°，AB＝AC，则∠ABC＝

.4.如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若AB的度数是120°，则∠ACB=

.AOBC60°03圆周角定理的推论在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等.

我们已经学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ABOC那么，圆周角与弧、弦有什么关系吗？

先独立完成互动探究，再同桌相互交流，最后小组交流；33合作探究①弦AB所对的弧有哪几条？②一条弦所对的圆周角分几类？自己画一画.AOB知识点圆周角定理的推论根据圆周角定理可知同弧所对的圆周角相等．ADBCO∴同弧：∠BAC与∠BDC同BC，∠BAC与∠BDC有什么关系？⌒证明：.如图，作出两弧所对应的圆心角.根据圆周角定理可知等弧所对的圆周角相等．∴等弧：ADBCOEBC=CE，∠BDC与∠CAE有什么关系？⌒⌒又由BC=CE可知，∠BOC=∠COE.⌒⌒∠BDC=∠CAE归纳总结

同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.圆周角定理推理1几何语言DCEBFAO∵AB=CD∴∠E=∠F在⊙O中∵∠E=∠F∴AB=CD

显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等.下列说法是否正确，为什么？“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.DBCOE.一条弦所对应的圆周角有两个.这两个角有什么关系吗？如图所示，连接BO、EO.显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为

，所以根据圆周角定理可知∠C+∠D=

.360°180°在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角可能相等，也可能互补.

如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35º.(1)∠BOC=

º，理由是

;(2)∠BDC=

º，理由是

.7035同弧所对的圆周角相等一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半试一试学以致用1、如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝40，∠APD＝75°，则∠B＝（）。A.15°B.40°C.75°D.35°2.如图，CD⊥AB于点E，若∠B＝60°，则∠A＝

.D30°如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？·OACB解：∵OA=OB=OC∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？C1AOBC2C3思考所对应的圆心角为

.则对应的圆周角为

.180°90°归纳总结①半圆（或直径）所对的圆周角是90°；②90°的圆周角所对的弦是直径.圆周角定理推理2OBADEC几何语言∵AB是半圆(AB是直径)∴∠E=90°∵∠E=90°∴AB是⊙O的直径43典例讲评例：如图，点D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A，B，D作⊙O.(1)求证:AB是⊙O的直径.(2)延长CB交⊙O于点E，连接DE，求证：DC=DE.证明:(1)连接BD.ABCO·DE∵BA＝BC，AD＝DC.∴BD⊥AC，∴∠ADB＝90°.∴AB是⊙0的直径.(2)∵BA=BC，∴∠A=∠C.由圆周角定理得∠A=∠E.∴∠C=∠E，∴DC=DE.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.知识点3圆内接多边形ABCDO如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.∵弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角.∴∠A＋∠C＝180°.同理∠B＋∠D＝180°.推论：圆内接四边形的对角互补.证明：04圆周角练习例如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小.OCAB解：

∵AB是☉O的直径

∴∠ACB=90°∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB

=180°-90°-80°=10°.利用圆周角定理及推论求角的度数考点如图，AB是⊙O的直径，∠A＝10°，则∠ABC＝______．80°例

如图，分别求出图中∠x的大小.60°x30°20°x解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.ADBEC(2)连接BFF∵同弧所对圆周角相等∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.60°xABDC

例如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B,求AB、BC的长．B解：(1)∵AC是直径∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中利用圆周角定理及推论进行计算及证明线段相等考点在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2。(2)∵AC是直径∴∠ABC=90°.

∵BD平分∠ADC∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC.

∴∠BAC=∠ACB

∴AB=BC.B解题妙招在圆周角问题中，若题干中出现“直径”这个条件，则找直径所对的圆周角，通过构造直角三角形来解决.∴例

如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于⊙O

∴∠FGD＝∠ACD.

又∵A